具有时变时滞的离散时间切换奇异正系统的l1滤波

王金玲, 侯玉晓, 李 强, 谢宝英

(安徽农业大学 理学院, 合肥 230036)

0 引 言

1989年,Dai出版了关于奇异系统理论的第一本专著,系统地介绍了有关奇异系统的基本理论,该著作的发表标志着奇异系统理论的正式形成[1]．奇异系统可以看作是对由微分/差分方程描述的状态空间模型的一种推广．根据应用领域的不同,奇异系统又常常被称作描述系统、隐式系统、广义状态空间系统、半状态系统、微分代数系统等[2-3]．由于奇异系统既包含由微分方程(连续系统)或差分方程(离散系统)描述的慢变子系统,又包含由代数方程描述的快变子系统,因此,对奇异系统相关动力学行为的研究往往比对由单独的微分或差分方程描述的状态空间模型的研究更复杂[4]．值得指出的是,奇异系统模型存在于社会生活的诸多领域,比如常见的Leontief经济模型、Hopfield神经网络模型、害虫治理模型、电路系统、机器人系统、核反应堆系统等[5]．近年来,这类特殊但与现实密切相关的系统开始受到国内外学者的广泛关注[6-8]．奇异系统具有广泛的应用背景,其优点是能更确切地反映现实系统中变量之间的关系．然而,由奇异系统的定义可知,很多对于一般系统成立的结论都不能直接应用到该系统中去,这也是笔者撰写本文的动机之一．

为了更好地刻画越来越复杂的工程实践过程,由多个子系统和一个切换信号所组成的切换系统应运而生．切换系统理论能有效地描述很多复杂的动力学行为,为探索与研究复杂系统的性质提供了一种有效的途径[9]．切换信号的选取对系统的稳定性有很大的影响,具体地： 即使所有的子系统都是稳定的,仍然可以通过限定切换信号来使最终的切换系统是不稳定的[10]; 另一方面,当所有的子系统都不稳定时,在某些特定的切换信号下,也能使最终的切换系统是稳定的[11-12]．在研究切换系统的稳定性时,为了降低所得结果的保守性,目前较为成熟和有效的方法是对其切换信号加以平均驻留时间的约束,即在平均意义下,限制两个连续切换时刻之间的时间差[13]．另外,考虑到信息传递的延迟性和外界环境的复杂多变性,将时变时滞引入到切换系统中进一步完善,使其更接近真实系统是很有必要的[14]．时滞的存在可能会导致系统性能的破坏,甚至会改变系统的稳定性,这是值得探究的外部因素．近些年来,时滞切换系统逐渐成为控制领域中一个热门的研究课题,并且在稳定性分析[15]、滤波器设计[16]、性能分析[17]等方面取得了很多喜人的成果．

前面提到的奇异系统和切换系统,其状态变量和输出变量可以在整个实数空间中取值．然而,很多现实系统都有非负的行为特性,我们称之为正系统．与一般动力系统相比,正系统的最大特性在于其正性,即系统所有的状态变量和输出变量都只能在实数空间的第一象限内取值[18]．作为一类特殊的动力学系统,正系统在实际中有着非常广泛的应用．例如生物学中常见的捕食-被捕食模型、人口模型,以及很多刻画化工工业生产的模型等都需要用正系统来描述[19]．很显然,在对这类特殊的系统进行稳定性分析时,也可以采用经典的二次Lyapunov函数方法,但是这样就不能体现其正性这一有别于一般系统的特性．因而得到的结果必然会有一定的保守性．为了充分利用正系统状态变量非负的特性,本文将通过选取共正Lyapunov函数这一线性形式的函数来研究其稳定性．一般地,共正Lyapunov函数的结构相对简单,并且相比于二次Lyapunov函数来说能得到具有更少保守性的条件,所得结果对工程实践具有重大的指导价值[20]．众所周知,在研究奇异系统的稳定性时,首先要验证其正则性和因果性是否成立,以确保解的存在唯一性．当将时变时滞、切换机制和正性引入后,再分析奇异系统的正则、因果、稳定时难度将大大提升．和已有文献相比,本文所考虑的系统更具一般性,所得结果也更具实用性．

另外,在状态空间模型中,往往很难直接测量得到系统的状态,需要通过系统地输入和输出信息将其重构出来,这就是所谓的滤波问题．滤波问题在工程应用,尤其是在生物学、信号处理、网络控制和过程控制等领域中都具有重要的作用[21]．若所研究的系统中存在外部干扰信号,我们经常对其设计H∞滤波器,此滤波器的好处在于： 不需要知道外部干扰信号确切的统计特性,因而具有一定的鲁棒性．设计H∞滤波器旨在找到一个估计器使得相应的滤波误差系统是稳定的,并且扰动输入到估计误差的传递函数的H∞范数小于某个给定的值γ[22]．然而,对于正系统来说,考虑到其状态变量和输出变量的正性,研究其1-范数更符合实际,也就是说,对其设计l1滤波器更为合适[21]．现有文献中已有很多关于滤波器设计问题的结果[23-26],这些文献分别对不确定时滞摄动系统、时变重复过程、切换系统、切换奇异系统设计了合适的滤波器．然而,系统固有的正性却均未涉及,这是书写本文内容的另一个动机．受上述讨论的启发,本文旨在研究具有时变时滞的离散时间切换奇异正系统的l1滤波器的设计问题．本文的主要创新点和贡献可以概括为以下几个方面： ① 考虑到现实生产过程和外界干扰的复杂多变性,本文探讨了时变时滞、切换以及系统的正性等普遍存在的现象对奇异系统的影响; ② 本文首次对奇异切换正系统设计了具有指数稳定性和l1增益性能的滤波器; ③ 通过利用平均驻留时间和共正Lyapunov函数的方法,给出了滤波误差系统指数稳定和有l1增益性能的充分条件和相应滤波器的设计方法．

本文使用的符号意义如下：Z表示非负整数的集合;A0(⪯0)表示矩阵A的所有元素均非负(非正),AT表示矩阵A的转置, det(A)表示矩阵A的行列式, deg(·)表示多项式的次数, rank(A)表示矩阵A的秩;R(R+)表示所有的实数(正实数)所组成的集合,Rn表示n维实向量空间,表示n维正实向量空间,表示n维非负实向量空间,Rm×n表示所有m×n维实矩阵所组成的集合;Ap,q表示矩阵A的第p行、第q列处的元素,Ar,a表示矩阵A的第a行,Ac,a表示矩阵A的第a列;xp表示向量x的第p个分量,表示向量x∈Rn的1范数,表示矩阵A∈Rn×m的1范数,x∈l1[0,∞)表示向量值函数x：Z→Rn满足表示所有元素都为1的n维列向量,对于任意的表示向量ν分量的最大值,表示向量ν分量的最小值．

1 问 题 描 述

考虑如下具有时变时滞的离散时间切换奇异系统：

(1)

不失一般性,令

(2)

本文的目的是设计如下形式的滤波器：

(3)

通过定义xe(k)=x(k)-xf(k),ze(k)=z(k)-zf(k),可以得到如下的滤波误差系统：

(4)

为了本文研究的需要,引入下面几个定义、引理和假设．

定义3[28]当w(k)≡0时,若存在常数τ>0和0<<1,使得对于任意的非负初始条件和切换信号σ(·),都有

成立,则称滤波误差系统(4)是指数稳定的．

定义4[29]滤波误差系统(4)指数稳定及零初始条件下,若对于给定的常数α>0和γ>0,都有

(5)

成立,则称滤波误差系统(4)具有l1增益性能指标γ．

定义5[30]对于任意的非负整数T2>T1,Nσ(T1,T2)为切换信号σ(·)在区间[T1,T2]上的切换次数,若存在正常数N0和Ta使得不等式

(6)

成立,则称Ta为切换信号σ(·)的平均驻留时间,N0为振动界．

注1 不失一般性,在本文中,取振动界N0为0,从上述定义可以看出,如果切换信号σ(·)满足平均驻留时间的约束,那么两个连续切换时刻之间的时间差在平均意义下是大于等于Ta的．

引理1[31]若对所有的i∈IN,都有Ai4和Ai4-Ki2Ci2是非奇异的,则系统(4)是正则的、因果的．

假设1 对所有的i∈IN,系统(1)中的系数矩阵满足：Ai10,Ai20,Ai30,Ai4-1⪯0,Ad,i0,Bi0和Li0．

对于所有的i∈IN及任意给定的正常数ξ,当矩阵Ai4非奇异,并且Ai4-Ki2Ci2=-ξI时,滤波误差系统(4)可转化为

(7)

Ad,i1K=Ad,i1+(Ai2-Ki1Ci2)Ad,i3/ξ,Ad,i2K=Ad,i2+(Ai2-Ki1Ci2)Ad,i4/ξ,Ai3K=(Ai3-Ki2Ci1)/ξ,Bi1K=Bi1-Ki1Di+(Ai2-Ki1Ci2)(Bi2-Ki2Di)/ξ,Bi2K=(Bi2-Ki2Di)/ξ．

引理2[29]若对于所有的i∈IN和任意给定的正常数ξ,都有Ai4非奇异,并且Ai4-Ki2Ci2=-ξI,则系统(4)为正系统当且仅当系统(7)为正系统．

本文的主要目的是设计一个形如式(3)的滤波器,并探索滤波误差系统(4)在w(k)≡0情况下的正性、正则性、因果性及指数稳定性,另外,在w(k)≠0的情况下,外界扰动输入对滤波误差系统性能的影响也被加以分析和讨论．

2 稳定性分析

在本节中,我们将讨论滤波误差系统(4)的稳定性问题,并通过计算和分析给出该系统是正、正则、因果及指数稳定的充分条件．

(8)

(9)

(10)

(11)

‖Ad,i4‖1<1,

(12)

(13)

(14)

(15)

成立,其中ξ为任意给定的正常数,a,a1∈Is{1,2,…,s},b,b1∈In-s{1,2,…,n-s},则当切换信号的平均驻留时间满足

(16)

和

νi⪯μνj,φi⪯μφj,φi⪯μφj, ∀i,j∈IN

(17)

时,滤波误差系统(4)是正的、正则的、因果的、指数稳定的．另外,滤波器(3)中相应的系数矩阵可以设计为

(18)

其中g∈In{1,2,…,n},t∈Im{1,2,…,m}．

证明条件(8)意味着

(Ki2)r,b(Ci2)c,b1-(Ai4+ξI)b,b1=0,

即

Ai4-Ki2Ci2=-ξI,

因而,由引理1可知,滤波误差系统(4)在假设条件1下是正则的、因果的．

(Ai1)a,a1-(Ki1)r,a(Ci1)c,a1≥0, (Ai2)a,b-(Ki1)r,a(Ci2)c,b≥0, (Ai3)b,a-(Ki2)r,b(Ci1)c,a≥0,即

Ai1-Ki1Ci10,Ai2-Ki1Ci20,Ai3-Ki2Ci10．

因此,由引理2和引理3可知,当w(k)≡0时,滤波误差系统(4) 在假设条件1下是一个正系统．为了分析滤波误差系统(4)的稳定性,我们构造如下的共正Lyapunov函数：

Vσ(k)(k)=Vσ(k)1(k)+Vσ(k)2(k),

(19)

其中

当σ(k)=i时,函数Vσ(k)(k)的增量为

ΔVi(k)=Vi(k+1)-αVi(k)=

(20)

上面的放缩过程用到了时变时滞d(k)的范围以及滤波误差系统(4)的正性,将式(18)代入式(13)—(15),可得

这意味着下面的不等式是成立的：

因此ΔVi(k)≤0,即

Vi(k+1)≤αVi(k)．

(21)

由式(21)可知,当k∈[kr,kr+1)时,有

Vσ(k)(k)≤αk-krVσ(kr)(kr)．

(22)

根据式(17)、(22)和定义5,可得

Vσ(k)(k)≤αk-krVσ(kr)(kr)≤

αk-krμαkr-kr-1Vσ(kr-1)(kr-1)≤…≤

μNσ(k0,k)αk-k0Vσ(k0)(k0)≤(αμ1/Ta)k-k0Vσ(k0)(k0)．

(23)

另外,从式(19)中Vσ(k)1(k)的表达式,有

(24)

(25)

其中

从式(23)和(25)可知,有如下不等式成立：

(26)

其中τβ2/β1>1,αμ1/Ta<1．因而,由定义3可知,是指数稳定的．

(27)

另外,从式(26)可知,当k>d(k)时,有

(28)

继而,易得如下不等式对所有的非负整数k恒成立：

(29)

∀k≥0,

(30)

(31)

(32)

若k∈[d(k),2d(k)],那么k-d(k)∈[0,d(k)],由式(31)和(32),可得

(33)

假设对任意的k∈[(r-1)d(k),rd(k)],都有

(34)

成立．那么当k∈[rd(k),(r+1)d(k)],即k-d(k)∈[(r-1)d(k),rd(k)]时,通过式(31)和(34),可得

(35)

因而,由归纳假设可知对所有的k,都有

(36)

若|Ad,i4‖1<1,通过计算可得

(37)

综上所述,对于所有的k≥0,都可以得到下面的不等式：

其中M=τ+δ/(1-‖Ad,i4‖1)．因此,当w(k)≡0时,滤波误差系统(4)是指数稳定的．证毕．

3 l1增益分析

在本节中,我们将讨论滤波误差系统(4)的l1增益问题,并且给出该系统是正、正则、因果及有l1增益性能的充分条件．

(38)

(39)

(40)

(41)

成立,其中e∈Iq{1,2,…,q}．则当切换信号的平均驻留时间满足条件(16)、(17),滤波器(3)中相应的系数矩阵满足条件(18)时,滤波误差系统(4)是正的、正则的、因果的,并且有l1增益界γ．

(Bi1)a,e-(Ki1)r,a(Di)c,e≥0, (Bi2)b,e-(Ki2)r,b(Di)c,e≥0,

即

Bi1-Ki1Di0,Bi2-Ki2Di0．

因此,由引理3可知,滤波误差系统(4)在假设条件1下是一个正系统．另外,当定理2中的条件满足时,定理1中的条件显然是成立的．因而,当w(k)≡0时,滤波误差系统(4)是指数稳定的．

为了分析滤波误差系统(4)的l1增益性能,我们选取与式(19)相同的共正Lyapunov函数并通过使用类似定理1的证明,可得

Vi(k+1)-αVi(k)+‖ze(k)‖1-γ‖w(k)‖1≤

(42)

Vi(k+1)-αVi(k)+‖ze(k)‖1-γ‖w(k)‖1<0．

(43)

因此,当k∈[kr,kr+1)时,有

(44)

其中Γ(l)=‖ze(l)‖1-γ‖w(l)‖1．由式(17)和(44),可得

(45)

当初始条件为零时,显然有Vσ(k0)(k0)=0,进而有

即

(46)

不等式两边同乘μ-Nσ(k0,k),得

(47)

由平均驻留时间的定义、条件(16)及μ≥1这一事实,可知

μ-Nσ(k0,l)≥αl-k0,μ-Nσ(k0,l)≤1．

因而

(48)

进而

(49)

即

(50)

因此

(51)

根据定义4可知,滤波误差系统(4) 是正的、 正则的、 因果的、 指数稳定的,并且具有给定的l1增益性能指标γ．证毕．

注3 通过使用共正Lyapunov函数方法,本文得到了线性规划形式的判定条件,此类条件便于用MATLAB工具箱验证求解,且计算复杂度较低．当定理1和定理2中的条件存在可行解时,对所有的i∈IN,我们都可以给出一组νi2和Πi的值,使得定理1 和定理2中的条件成立,将νi2和Πi的值代入式(18)中即可求出待设计滤波器的系数矩阵．

4 数 值 例 子

下面我们将通过一个例子来展示本文方法的可行性和有效性．

例1 考虑包含两个子系统的系统(1),相对应的系数矩阵为

显然,本例中的系数矩阵满足假设1和条件‖Ad,i4‖1<1,通过选取ξ=2,d(k)=3 |sin(kπ/2)|+1,α=0.7,μ=5.142 9,以及增益性能指标γ=0.9,并且求解定理1中的条件,可以得到如下可行解：

ν1=(9.987 9,0.442 1,3.406 4,2.638 8,1.985 2,0.603 8,1.636 6,0.574 3)T,

ν2=(9.980 9,0.372 1,3.469 0,2.116 6,2.071 8,0.511 6,1.842 2,0.617 1)T,

φ1=(1.310 7,0.000 1,0.002 9,1.307 1,0.001 4,0.000 1,0.000 7,0.003 0)T,

φ2=(1.290 0,0.000 1,0.001 7,0.925 4,0.007 2,0.000 1,0.003 0,0.011 5)T,

φ1=(0.012 4,0.000 4,0.005 8,0.004 0,0.007 2,0.000 4,0.002 2,0.003 0)T,

φ2=(0.006 3,0.000 5,0.004 5,0.017 4,0.026 8,0.000 4,0.013 2,0.011 5)T,

依据式(18)和上面的结果,可以将相应的滤波器矩阵设计为

将上式中的滤波器矩阵代入,即可得到滤波误差系统(4)中的各系数均为正．当s=1时,计算可得

另外

deg(6.000 1s6-8.024 4s5+3.778 8s4-0.773 6s3+0.075 7s2-0.003 4s+5.596 4×10-5)=

deg(5.599 7s6-6.270 5s5+2.206 0s4-0.258 5s3+0.011 1s2-0.000 1s-1.712 7×10-7)=

因而,滤波误差系统(4)为正的、正则的、因果的．

(52)

扰动输入取为w(k)=5-0.2k．在上面所给的边界条件(52)和如图1所示的切换序列下,滤波误差系统(4)的状态轨迹分别如图2和图3所示．从状态轨迹图2和图3可知,滤波误差系统(4) 是正的、指数稳定的．

在零边界条件和上面所给出的扰动输入下,我们也给出了待估计的输出误差ze(k)的图像,详见图4．此外,通过计算可以得到

进而

因此,由定义4可知,滤波误差系统(4)有l1增益界0.9．

注 为了解释图中的颜色,读者可以参考本文的电子网页版本．

5 总 结

本文为一类具有时变时滞的离散时间切换奇异正系统设计了一个合适的滤波器．通过利用共正Lyapunov函数和平均驻留时间的方法,给出了使得相应的滤波误差系统满足正性、正则、因果以及指数稳定的充分条件．当外部扰动输入不为零时,进一步给出了滤波误差系统具有给定的l1增益性能的限定条件．最后,通过数值仿真检验了本文方法的可行性和有效性．

致谢本文作者衷心感谢安徽农业大学引进高层次人才项目(rc381901; rc382106)对本文的资助．