基于深度学习的小学数学单元教学实践——“植树问题”单元教学的思考与实践

文/吕素芬

引 言

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）指出，教师要改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联[1]。本文以人教版五年级（上册）第七单元“数学广角——植树问题”为例，探讨基于深度学习的小学数学单元教学的实践样态。

一、研读教材，整体把握

教师可以从知识领域的视角切入，整体了解教材，系统梳理和分析单元、课时教学目标、教学内容、教学方法等，厘清知识间的本质联系，抽象出知识背后的数学本质与关键要素，实现对单元教学的整体把握。

本单元教材安排了3 个例题。例1 是关于在一条线段上植树，并且两端都栽的情况。例2 是关于在一条线段上植树，并且两端都不栽的情况。例2 下面的“做一做”第2 题是关于在一条线段上植树，并且只栽一端的情况，探究的都是线段上的植树问题。例3是关于在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题，相当于在一条线段上的植树问题中的“只栽一端”的情况。

植树问题的三种类型的本质是探究点与段之间，也就是棵数和间隔数之间的关系。教材中的问题题材丰富，都是学生熟悉的生活问题，这些都有助于教师创设真实的学习情境，引导学生立足几何直观，通过画线段图，探索解决植树问题的思路与方法，促进学生思维能力的发展。此外，教材习题设计大多涉及已知总长和间隔长度，求棵数、个数、根数、盏数等问题。因此，解决问题的关键是先用总长除以间隔长度，得到间隔数，也就是“总数÷每份数=份数”。

二、分析学情，思考策略

教师只有通过分析学情找准学生的学习起点，确定单元教学主题，设定单元教学目标，重组单元教学内容，形成整体教学规划，才能使学生实现深度学习[2]。

植树问题知识较抽象。小学生的思维以具体形象思维为主，较难理解和记忆植树问题的三种类型。在学习过程中，学生往往会将“两端都栽”“两端都不栽”“只栽一端”三种类型混淆。学生的抽象逻辑思维需要借助直观思维逐步形成。因此，教师可以引导学生画线段图，通过观察、思考，对比植树问题三种类型的异同，让学生了解数学本质，理解和建立植树问题的数学模型，这一教学策略应贯穿本单元教学的全过程。

三、合理优化，结构重组

基于以上对本单元教材的研读和学情分析，教师的单元教学目标确定如下：（1）经历植树问题三种类型的探索过程，建立不同情况下棵数与间隔数之间的对应关系的数学模型，初步体会植树问题的模型思想；（2）学生会自觉画线段图，尝试用植树问题的方法解决实际生活中的简单问题，习得方法，提升思维品质；（3）感受数学与现实生活的密切联系，获得学习成功的愉悦感。

例1、例2 及例2 下面的“做一做”，探究的都是线段上的植树问题，涵盖了植树问题的三种数学模型。对此，教师可以整合成一节课进行教学，便于学生比较异同，领会植树问题的数学本质都是棵数和间隔数之间的关系，清晰构建植树问题的三种数学模型。这节课是本单元的关键。在第二课时，教师可讲解例3，继续突出线段图的教学，让学生通过画示意图，理解在一条封闭曲线上植树的规律是棵数等于间隔数，有几个间隔就有几棵树。教师可以设计核心问题“在一条封闭曲线上的植树问题可以转化成在一条线段上的植树问题吗？你能找到其中的规律吗？”，鼓励学生积极思考，自主验证，交流想法，让学生理解在一条封闭曲线上的植树问题实质上属于在一条线段上的植树问题中的“只栽一端”的情况。教师运用课件直观演示，可以帮助学生理解、建构这一知识联系。这时，对于植树问题三种类型的完整建构便水到渠成。后续的练习课、单元整理复习课，有利于达成巩固提升的教学预期。重新整合后的教学和整合前相比，优势是能实现教师有结构地教、学生有关联地学，有利于学生深度学习，提高教学效率。以下是整合前和整合后的“植树问题”单元教学框架对比（见表1）。

表1

四、课堂实践，培养素养

以下是重新整合后，本单元的关键课“植树问题”第1 课时的课堂实践。

（一）直观体验，感知“间隔”

师：同学们都有一个聪明的脑袋瓜和一双灵巧的小手。你能找到手上的数学知识吗？

生：一只手有5 根手指，每两个手指之间有个“空”。

师：2 个手指之间有个“空”，在数学上，我们把这个“空”叫“间隔”。（板书：间隔）也就是说，5 个手指之间有几个间隔？4 个间隔是在几个手指之间？

师：我们可以把一个手指想象成一个点，我们一起来数数有几个点？几段？也就是几个间隔呢？（5 个点，4 个间隔）也就是说点数是5，间隔数是4。（师画出线段图，引导理解。）那4 个点之间有几个间隔？3个点呢？2 个点呢？请你和同桌说一说。

师：今天我们一起研究与间隔有关的有趣的数学问题。（板书：植树问题）

（二）大胆猜测，化繁为简

出示例题：同学们在全长100 米的小路一边植树，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵树？

师：你怎么理解题目的数学信息？

生：小路全长100 米，只栽一边，另一边不栽，每隔5 米栽一棵。（生借助尺子比画）“每隔5 米栽一棵”的意思是每两棵树之间的距离都是5 米，两棵树之间间隔5 米。

师：对了，5 米是两棵树之间的间隔长度。请你猜测一下，一共要栽多少棵树？

（生猜测：20 棵、21 棵、19 棵、18 棵……）

师：这是大家的猜测。该如何解决问题呢？

生2：画线段图分析

师：线段图是我们学习的好帮手。用一条线段表示100 米的小路，每隔5 米栽一棵，每隔5 米栽一棵（画线段图展示），照这样一棵一棵种下去，是不是很麻烦？

生：100 米这个数据有点大，画图时会比较麻烦，因此我们可以选择较小数据来分析。

师：把大一些、稍复杂的数据变小，便于思考、探究，在数学上称为“化繁为简”。

（三）经历探究，建构模型

教师出示植树问题学习单（如图1）：

图1

师：请同学们认真思考，完成学习单后，四人为一小组交流、讨论。（教师巡视、指导，收集代表性作品，指名上台回答，相机板书）

生1：假设小路全长20 米，每隔5 米栽一棵，头尾都栽，一共要栽5 棵树。因为20 米里有4 个5 米，也就是有4 个间隔，棵数比间隔数多1，所以要栽5 棵树。列式：20÷5=4（个）， 4 ＋1=5（棵）。

师：你能给这种植树方法取个名字吗？

生1：两边都栽。

师：有不同意见吗？

生2：是两端都栽，就是起点栽，终点也栽。“两边都栽”的意思是路的两侧都要栽树。

师：理解透彻，分析到位！用词精准！你们还有问题要问这位“小老师”吗？

生2：为什么是4“个”，而不是4“棵”？

生1：因为20÷5=4，求的是间隔数，4表示的是4段，是4 个间隔，而不是4 棵树。

生2：那我们要怎么求出间隔数？

生1：总长÷间隔长度=间隔数。

师：两端都栽是植树问题的一种类型。还有不同的植树方法吗？

生3：假设小路全长20 米，每隔5 米栽一棵，但起点栽，终点不栽，我发现有4 个间隔，4 棵树，棵数和间隔数相等。20÷5=4（棵）。这种植树方法可以叫“一端栽，一端不栽”吧！

师：你说得真好！我们也可以说是“只栽一端”。这又是植树问题的另一种类型。

生4：我的栽树方法和他们的都不一样。万一小路的两端有障碍物呢？假如我们在两栋楼之间栽树，那两端都不能栽啊！如果小路长还是20 米，20 米里有4个5 米，有4 个间隔，但只能栽3 棵树，棵数比间隔数少1。20÷5=4（个），4-1=3（棵）。

师：有思考、有探究就有收获！（指着板书）这节课我们探究了在一条线段上植树的问题，有这三种类型：两端都栽，只栽一端，两端都不栽。请你认真观察线段图，理解算式，思考这三种类型有什么联系和区别，在小组中交流想法。

生5：我发现都是先求出有4 个间隔，也就是间隔数，不同的是：两端都栽，棵数＝间隔数＋1；只栽一端，棵数＝间隔数；两端都不栽，棵数=间隔数-1。

生6：要先计算“总长÷间隔长度=间隔数”，都是先求出总长里有几个间隔长度。

师：那为什么间隔数相同，栽树棵数却不同呢？你能借助线段图找到棵数和间隔数关系的奥秘吗？

生5（上台比画线段图）：大家看，我们从第一棵树开始，一棵树对应一个间隔，最后一棵树没有间隔对应，就多出来了，所以棵数比间隔数多1。

生6（上台比画线段图）：大家从最后一棵树看起，一棵树对应一个间隔，起点处的这棵树落单多出来了。棵数比间隔数多1，也就是间隔数比棵数少1。

师：同学们用一一对应的方法理解了“棵数=间隔数+1”。请你用这样的方法和同桌互相说说，怎么理解“棵数＝间隔数”，“棵数=间隔数-1”？（再借助课件直观演示，促进理解）

师（展示作品）：有的同学选择的数据不是20 米，而是10 米、15 米、25 米、30 米……总长变了，间隔长度5 米不变，什么会变？但什么不变？

生7：总长变了，间隔长度不变，间隔数会变，棵数也会变，但相同种树情况的规律不变。

师：如果小路的全长是n 米呢？你会列式吗？

生7：两端都栽，棵数=n÷5+1；只栽一端，棵数=n÷5；两端都不栽，棵数=n÷5-1。

（四）应用模型，验证猜测

学生独立完成例题，教师巡视指导，指名回答，呈现三种解法。

（五）解决问题，内化模型

教师给出两道习题，要求学生独立完成，可以同桌交流解题思路及注意点，再全班交流。

（六）全课总结，提升感悟

师：通过这节课的学习，同学们肯定收获满满，和大家分享分享！

生1：遇到复杂的问题，可以化繁为简。

生2：我们可以用画线段图的方法解决植树问题。

生3：我们要认真审题，根据题中的已知条件先判断是植树问题的哪种类型，再用对应的规律解答。

生4：植树问题的三种类型反映的都是棵数和间隔数之间的关系，可以用一一对应的方法来理解记忆。

结 语

总之，教师要立足《课程标准》的要求，以全局视角，整体把握单元教学，根据单元教学内容和学生学情，把零散的、关联的知识点进行整合，设计教学活动，引导学生主动探究，构建知识网络，获得学习能力的提高，达到核心素养的阶段培养目标。