APOS理论下培养数学代数思维的研究

李士英

【摘要】APOS理论在小学数学中的应用可以培养学生的自主思维，对于促进代数思维能力的提升有着积极的作用。结合教学实际，论述APOS理论在小学数学教学中培养学生代数思维能力的应用过程，分析各环节的教学策略，并结合实际案例证明了该方法的有效性。

【关键词】APOS理论；小学数学；代数思维

APOS理论的本质在于强化学生的学习过程，增强过程体验从而达到深化学生认知促进代数思维能力主动建构的目的。本文将APOS理论在小学数学中的应用划分为“前方程”孕育、关系式过渡以及系统建构，通过这三个思路在不同的教学阶段强化学生对代数方法的感知，提升学生的代数运算能力，进而促使学生建立代数模型，实现代数思维的培养和提升。

一、“前方程”，有意孕育

小学数学教学中代数思维的培养是一个长期的渗透过程，并不仅仅存在于高年级的方程阶段。因此，教师应挖掘前期教材中与方程代数相关的数学描述，有意识地结合“前方程”向学生展示代数思维的具体表述形式，从一种具象表述的角度辅助学生建立对代数的初步认知，促进后续代数思维能力的培养。

1.创设情境，认识等号性质

在低年级阶段学生的思维以具体形象思维为主，这就要求教师能够创设直观生动的可视化情境，助力学生在情境中感知代数思想。从算数思维到代数思维转换的核心之一在于对等号关系性质的深度认识，将其与大于、小于这两种比较大小的符号做出区分，明确“相等”的概念，深度认识等号的相等关系。

结合学生的生活经验创设活动情境，可以有效地把握渗透代数思维的契机，提升学生学习的积极性。比如，在学习“6～10认识和加减法”时，在课本中通常会有6=□+□=□+□的问题，针对这些问题，创设活动情境：“同学们喜欢玩跷跷板吗？如果我们想让其保持平衡应该怎么做呢？”根据生活经验同学们会回答需要两边有相等的质量才会平衡。此时教师通过多媒体设备给出跷跷板的简画，并在其左侧画出6颗糖果，并给出6个卡片选项，其中每个卡片上分别画有1～6颗糖果，让学生选择用哪两个卡片放在右侧可以使跷跷板平衡。根据活动经验，同学们会给出答案分别为6和0；1和5；2和4以及两个3，并得出对应的算式为6=6+0=5+1=2+4=3+3。通过观察式子并联系生活经验，同学们会发现等式两边的位置互换以及右侧两个数的顺序交换并不会影响跷跷板的平衡，从而深度理解了相等的含义，学生深度认识了等号在数学学科中的重要含义，为代数意识培养做好了铺垫。

2.语言描述，渗透符号意识

符号语言描述是形成代数思维的第一步，在小学阶段符号语言包括数字符号、关系符号、变元符号、字母符号以及图示符号等几种，分别代表了不同的数学含义，教师应引导学生大胆地使用符号语言做出数学过程描述，促使学生在自然表述的过程中理解符号所表征的数学含义，实现符号意识的孕育。

比如，在学习“运算定律”这一小节时，针对不同的运算律以及简化运算的方式给出典型例题，鼓励学生利用不同的语言表述方式对简化运算的过程进行表述，比较不同表述形式的异同。给出例题如下：88+104+96、234-66-34。针对上述两个算式均可以利用运算定律实现简便运算，对于式1，其可以表示为88+（104+96）=88+200=288，这种方式利用了加法的结合律，用符号语言可以表示为a+b+c=a+（b+c）。对于式2，利用连减运算的定律可以表示为234-（66+34）=234-100=134，同理将其用符号语言表示为a-b-c=a-（b+c）。学生在使用不同语言形式表述的过程中不仅思路愈发清晰，同时提升了利用代数语言进行表达的能力。

3.绘制图示，解决算术问题

代数能力的实践运用是培养学生代数思维的最直接方式，在实践中学生可以直观地感受到代数的应用价值和解题方法，从而促进学生对符号代数的理解。因此，教师应结合实际算数问题的解决，鼓励学生以绘制代数图示的方式，将抽象的代数运算过程具象化，从而加深对代数运算的理解。

利用符号图示表示抽象的算术运算过程，不仅可以训练学生的符号意识，同时可以将抽象的运算过程具象化，从而深化学生的理解。比如，对于5+7、8+8、9+2等存在进位的算式，引领学生利用不同的符号对数字进行表示，规定一个○代表10，△代表5，而◇代表1，用符号替换上述算式然后分析运算过程，发现对于算式5+7会得到两个△和两个◇，其中两个△正好表示一个○，所以对其进行替换，随后得到一个○和两个◇，也就是说最后的运算结果为12，其中两个△替换为一个○的过程就表征了算术运算中的进位过程。在上述课堂教学过程中，学生通过绘制图示的方式直观地表示了复杂抽象的算术运算过程，在这种表述转换的过程中学生直观地感受到了代数图示的魅力，对于学生代数思维的孕育有着积极的作用。

二、“关系式”，做好过渡

小学中年级阶段是代数思维能力培养的过渡阶段，发挥着承上启下的作用。在这一阶段教师应在“前方程”孕育的基础上，深度挖掘这一阶段需要了解的关于公式计算以及运算定律等代数关系式，引领学生细致分析代数关系式与算术运算之间的关联，做好算术运算与代数运算之间的过渡讲解。

1.多元表征，分析数量变化

鼓励学生通过多元表征描述数量变化是培养学生代数思维的高效方法。通过多种形式的表征方法不仅可以培养学生的数学表述能力，同时在不同描述方式的转变过程中有助于培养学生对数量關系的本质特征理解，助力学生深度理解代数内容和实际问题之间的关联。

适当的课堂提问是引领学生积极参与多元表征的常见手段。比如，在学习“倍的认识”这一小节内容时，需要学生建立并理解倍的概念，结合实操活动和课堂提问带领学生积累感性经验，用不同语言形式表达数量之间的关系。首先让学生自己在草稿纸上分别绘制出2、6、10个小苹果，然后分析3幅图中苹果之间的数量关系。同学们首先利用已知的数量关系表达方式分析出前两堆苹果的数量相差4，后两堆苹果数量相差也是4这一数量关系。在此基础上教师引导学生用倍的方式去理解这一关系，此时学生的表述转换为第二堆苹果相当于三堆第一幅画中苹果数量的和，而第三幅图则需要5堆第一幅画中的苹果数量。从而可以带出后两堆的数量分别是第一堆数量的3和5倍这一数量关系。不同的表征方式会牵扯出不同的数量关系，教师应给予学生充分的鼓舞，引导学生通过多元表征的转换感知数量关系的不同分析方法，理解熟练关系的本质特征，促进代数思维的发展提升。

2.科学变式，熟悉公式定律

公式定律是利用代數对数学关系的抽象表示，是最能体现代数思维的知识点。针对公式定律的学习，教师应有意识地引导学生结合实际问题开展科学变式，从不同的角度理解公式的具体含义，从代数表述的转换过程中熟悉公式定律。

根据已有的公式定律，转换已知条件求解未知量是科学变式的常见方法。在学习“面积”时，需要同学们掌握面积计算公式，并且能够根据该公式合理的变式计算不同的未知量。在课堂教学中提出问题：“一个长方形操场的长和宽分别是26米和14米，问该场地的面积是多少？”上述问题是考查了学生对面积公式的掌握程度，但是需要学生根据已知条件合理地对S=长×宽进行变式，在已知长和宽分别为26和14，根据S=a×b可以计算出S=26×14=364平方米。在变式运算的过程中学生能够深度地感受公式中蕴含的代数思想，理解不同数学量在运算中的实际含义。通过科学变式练习，学生在熟悉公式定律的同时对代数思维的实际运用有了深刻的理解，在解决有关数量关系计算的问题时也能够更加得心应手，从不同的角度利用代数方式思考问题。

3.题组练习，提升综合能力

代数思维的培养不能脱离数学学科在生活中的实际应用，大量的生活公式和问题在提炼为数学问题后都是通过代数表示的，因此教师应有针对性地设计题组练习，强化学生提炼生活问题转换为数学代数模型的能力，从而促进学生代数思维能力的提升。

及时地开展应用问题专题教学，组织学生提炼应用问题中的数学代数模型是提升学生文化综合能力的有效手段。比如，设计应用专题课堂，引导学生在总价、单价与数量；路程、速度和时间等生活应用问题中感知代数表示的数量关系。提出问题如下：“一支圆珠笔售价5元，小红需要购买五只这样的圆珠笔应准备多少钱才够用？”根据已有的数量关系公式，同学们对上述问题进行提炼，应根据总价=单价×数量求解，单价和数量均是5，计算出总价为25元。通过有针对性的题组练习，学生可以在解题过程中深刻理解不同的数量公式对应的应用场景，在熟练掌握应用数学计算解决问题的同时深化对于公式代数描述的理解，从而促进学生代数意识的发展，为代数思维能力的发展做好铺垫。

三、“系统性”，建构模型

代数思维的培养应具有系统性的培育架构，在实现“前方程”代数意识孕育以及代数关系式的过渡发展后，教师应结合简易方程的教学以及数学模型思想的渗透系统性地为学生建立代数思维的概念，落实代数内容的本质教学。

1.数形结合，强化函数思想

函数从数量的变换角度分析了数量之间的关系，是代数思想的重要体现之一。在学习代数内容时教师应充分利用函数思想，引导学生分析变量、因变量以及常量之间的数学关系。最后，教师借助图形内容直观地展示数量之间的关联，助力学生建立图形与代数关系之间的关联，感受变与不变的数量本质特征。

比如，在学习“简易方程”时，提出问题如下：“现需要在一面墙的周围围上三面篱笆，与墙面组成一个长方形，现在已知墙面的长度为3米，请问如何表达所需的篱笆总长度呢？”针对这一问题教师应首先带领学生绘制出相应的几何图形模型，在图形中直观地感受数与形的关联。通过图形绘制学生发现墙面充当了长方形的一条边，根据长方形的周长公式L=2×（长+宽）可表达出所需篱笆的长度L为3+2×边长。在这一代数表达式中，L和边长都是未知量，并且L随着边长变化而变化，此时教师及时地渗透函数思想，以边长分别为2和4为例，让学生理解篱笆长度随着这一边长变化而变化的关系。通过图形的绘制，助力学生迅速地建立数学模型，基于抽象的文字表述提炼出对应的数量关系，进而通过未知数设定写出其对应的代数表达式。

2.动手操作，抽象知识本质

代数思维的培养应注重学生在课堂学习中的主体性，设置生动有趣的课堂活动，引领学生在动手操作中获取丰富的代数运算体验，实现对抽象知识本质的理解，促进代数运算模型的建构，落实从算数思维到代数思维的转变。

强化课堂学习中的实践操作环节，将抽象的代数文字表述转换为学生可以实际触摸的实物，可以有效地落实代数本质的感知。在学习“用字母表示数”时，组织课堂活动，在一个盒子内防止不同形状的纸片，纸片上用字母的形式给出了形状参数，比如，在其中三角形纸片内写着底边为a，高为h，长方形纸片上标有长为a，宽为b。学生依次抽取纸片，根据抽取的纸片形状以及纸片上标有的形状参数写出对应的纸片面积大小。这一过程不仅需要学生掌握每种形状的面积公式，同时需要学生实际运用代数方法对面积公式进行表述，比如对于三角形纸片学生应给出答案S=a×h÷2，长方形纸片则给出S=a×b。在游戏活动中，学生的积极性得到了充分的调动，在欢快的氛围中迅速掌握了用字母表示数的数学本质。教师应结合符号代数的抽象特性灵活地开展动手活动，促使学生在实际操作中感受代数本质，实现算术运算到代数表示的转变。

3.联系生活，指导整体代入

方程是与实际生活应用联系十分紧密的知识点，同时也是最直接地体现出代数思维在实际生活中应用方式的学习内容。因此，教师应有意识地在课堂教学中联系生活实际问题，引领学生在生活情境下整体代入方程与代数知识，在应用过程中提升学生的代数思维能力。

结合实际生活问题，引领学生针对实际问题提炼出等量关系并通过设定未知数实现方程求解是培养学生代数思维能力的最直接方法。在学习“交易方程”时，引入生活问题“已知光在空气中每秒可以传播30万千米，这个距离十分长，比地球赤道长度的7倍还大2万千米，请计算地球的赤道长度？”对于这一问题，首先带领学生明确题干中给出的等量关系为光速和赤道长度之间的数量关系，并且光速已经给出，此时设赤道长度为x，结合两者之间的数量关系可以列出方程30=7x+2，解方程可得x=4，从而计算出地球的赤道长度为4万千米。通过实际问题的引入，鼓励学生通过分析题意明确等量关系进而将生活问题整体代入到数学方程求解的问题中可以迅速地实现实际问题的求解，同时完成APOS理论教学的最后应用建构环节，促进学生代数思维应用能力的提升。

综上所述，小学数学教学中的代数思维培养不能局限于高年级阶段的教材内容，应充分挖掘贯穿于不同阶段的代数相关内容和“前方程”雏形，基于APOS理论将代数思维的培养划分为三个主要阶段，从代数内容的具体形式、具象形式以及抽象形式三个环节促进学生代数思维能力的培养提升。

【参考文献】

[1]王倩.“数的运算”教学中学生数学思维能力的培养[J].教学与管理，2021（35）.

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