圣彼得堡数学学派

庞军霞

摘 要：圣彼得堡数学学派创立于19世纪下半叶，该学派是俄罗斯在数学领域创建最早、实力最强、影响最大的学派，是推动19世纪数学发展的一支重要生力军，不仅在许多领域作出了巨大的贡献，还培养了多位著名的数学家.通过对文献的分析，本文将对圣彼得堡数学学派的成因及具有代表性的历史伟人作些梳理分析.

关键词：圣彼得堡；圣彼得堡数学学派；切比雪夫

1 圣彼得堡数学学派的崛起

俄罗斯跨欧亚两个大州，其地理位置决定了科学文化，势必将东方理性与西方想象两个最主要的文化元素结合起来，甚至把整个地球上的人类文化融入其文明之中.［1］18世纪初，俄罗斯在科学、政治、经济和文化等方面的发达远远落后于其他西欧国家，即便是一个幅员辽阔的大国.由于东正教会对俄罗斯的巨大影响，导致俄罗斯在文学、数学等自然学科方面，没有任何的进展，甚至没有大学，没有初等数学教科书，直至1682年，《买卖物品的简便计算手册》第一部算求书才出版.1687年左右，俄罗斯科学事业几乎一片空白，而同时代的西欧文学和科学事业却在蓬勃发展.马格尼茨基渴望祖国摆脱愚昧落后的状态，在《算术》的扉页醒目写道：让所有俄罗斯人都得到智慧和地位，真正属于自己而不是外国的.［1］

1689年，彼得大帝于亲政后，在诸多方面做出了改革，目的是改变俄罗斯落后的经济状况.1700年，彼得大帝开始了对瑞典的21年北方战争，夺取了英约尔曼兰，为俄罗斯争夺面向西欧的出海口.1703年，修建新城市——圣彼得堡，此城由该域第一座建筑物-扼守涅瓦河河口的圣彼得堡罗要塞命名.圣彼得堡的建造是俄罗斯融入欧洲社会的起点，跻身于欧洲强国，成为俄罗斯瞭望欧洲之窗口.由此，俄罗斯进入繁荣时期.

1725年，圣彼得堡科学院建成，为了更好地发展基础科学，彼得大帝引进世界上许多著名的科学家来彼得堡科学院担任职务.其中有欧拉（L. Euler，1707—1783），也有德国数学家哥德巴赫（C. Goldbach， 1690—1764），荷兰数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli， 1700—1782）等等.成立之初，只设立数学、物理学和社会科学三大学科，其科学院院士大多都是外国人，尤其是德国人最多，形成了“彼得大帝的城市，德国人的科学院”之局面.［1］据记载其名称不断地更改，但依旧动摇不了其地位.直到1917年，圣彼得堡科学院仍是俄罗斯的最高学术机构.

建校初期，圣彼得堡大学设有3个系：哲学-法学系，历史-语文系和物理-数学系.物理-数学系的目标是培养4个专业方向的专家：数学家，计算数学家，力学家和天文学家，［2］其培养方式是把学生训练成知识渊博，专业精深的专业人才.圣彼得堡大学的建立为我们开启了众多数学学派，如切比雪夫创建的圣彼得堡数学学派.

“学派”术语源于希腊文σχολη［skhole］，其最初含义为空闲时间及其利用，主要包括学习和探索知识的各种活动.［2］因此，围绕着同一个数学主题，数学家们运用不同或者同一种数学思维在就近的范围内进行相关的研究，彼此之间相互沟通，相互探讨，慢慢地就形成了一个团体，称之为数学学派.

数学史家李文林先生将数学学派定义为：数学学派是指数学本质、原理和方法有共同的群体定义的数学家集合.［1］“共同的群体定义”——这是李文林老师给出的关于学派这一概念的一个核心，即由某个共同的数学思维或思想把不同的数学家个体联系在一起.据记载，数学学派可被分为两类：一类是聚集在某“数学大师”周围的研究团体，简称为“M”型；另一类是因相同的数学思想而联系在一起的数学研究团体，简称为“I”型.

圣彼得堡数学学派的奠基人是切比雪夫，因此有时该学派也称“切比雪夫学派”.切比雪夫1821年生于奥卡多沃，其父亲是一名退役军官，母亲出身名门，是一位不苟言笑的女人.在他十一岁那年，父母带领全家迁居莫斯科.1837年，年仅十六岁的切比雪夫成为莫斯科大学哲学系-物理数学专业的一名学生；1841年毕业于莫斯科大学，开始了硕士学习生涯；1847年，切比雪夫被选为彼得堡大学副教授，直到1882年退休为止.李雅普诺夫和马尔科夫是他最优秀的两名学生，他们分别于1880年和1878年毕业于圣彼得堡大学数学系，李雅普诺夫以研究微分方程的稳定性理论著称于世；马尔科夫以马尔科夫过程理论扬名世界.切比雪夫研究的领域很广泛，如经典分析到概率论；欧拉选集和数论；瓦特连杆和函数逼近论等.与此同时，切比雪夫也是一个杰出的教育家，他曾讲授过十余门课程，分别是高等代数、数论课程、积分运算、分析力学、傅里叶级数、椭圆函数、有限差分、概率论、机械工程等.他的授课模式深受学生们的欢迎，他总是能用最精辟的语言描述基本概念和有关的背景知识，学识渊博的切比雪夫具有超群的感染力，大家把他的课比作“数学思想课的实验室”.他的一生不仅仅重视纯数学，而且非常看重理論联系实际，即非常重视数学的应用.他的学生也很好地继承了他的优良传统.

圣彼得堡数学学派涉及的研究领域复杂而广泛，科学研究的学者、继承者也大量的涌现出来，日复一日地科研工作并没有使他们的研究轨道发生偏离，反而圣彼得堡数学学派的所有成员都按照切比雪夫的学术风格进行科学研究活动.其主要的学术风格可归纳为以下几点：（1） 经典与基础相互发展；（2） 简洁与高深相互推演；（3） 精确与近似相互转化；（4） 理论与实践相互转化；（5） 科研与教学相互促进.

金无赤足，任何事物都会有不足之处.圣彼得堡数学学派也不例外，存在一些遗憾：（1） 怀疑几何语言的科学性；（2） 排斥统计理论的应用性；（3） 忽略陈述的规范性；（4） 忽视某些数学领域.

尽管如此，愈发凸显出了圣彼得堡数学学派的独具一格.

圣彼得堡数学学派的崛起以及整个成长过程可谓是俄罗斯数学发展的标志，进入鼎盛时期的圣彼得堡数学学派，人才辈出，硕果累累，成为举世瞩目的综合数学研究中心.

2 圣彼得堡数学学派的代表性人物

庞加莱曾认为：“如果我们希望预知数学的将来，适当的途径是研究这门学科的历史和现状”.徐传胜教授曾说：“当我们遨游在数学历史的长河中，我们将会被深深地被艰难曲折的历史所震撼，被一个个里程碑似的定理所振奋，被一个个数学大师的磨砺所感动.”［1］纵观圣彼得堡数学学派，俄罗斯的数学发展尤为让人振奋和震撼.十九世纪末至二十世纪初，圣彼得堡不断涌现一位又一位著名数学家，为俄罗斯这座城市闪发光芒.本文将简单概括几位具有代表性的伟人来凸显圣彼得堡数学学派魅力.

2.1 圣彼得堡数学学派的元宿——奥斯特罗格拉茨基

1801年9月24日，奥斯特罗格拉茨基出生于帕先纳亚（现属于波尔塔瓦）.他儿时就刻苦好学，具有强烈的求知欲，仅用三年就完成了中学课程.1816年，他考入哈尔科夫大学物理数学系；于1820年以优异的成绩通过毕业考试，就在其讨论学位授予问题时，由于杜特洛维奇的极力反对最终奥斯特洛夫斯基未能获得哈尔科夫大学的毕业证书和学位.

为了继续深造学习，于1822年奥斯特洛夫斯基奔赴巴黎，先后分别在巴黎合理工学院、巴黎索邦大学和法兰西学院等学校学习，当时他选修大量的数学和物理等课程.1824—1827年，他写了关于数学物理和微积分的论文，其中一些科研成果深得柯西的认可.

巴黎自由的学术氛围深得奥斯特洛夫斯基的喜欢，促使他沉浸在数学物理的海洋中，但他依旧想报效自己的祖国，并于1928年春回到圣彼得堡，一到圣彼得堡就受到警方的严密监视.他利用自己的研究成果使其发生了改变，1928年得到了圣彼得堡科学院的认可，并被评选为应用数学部助理院士.

据记载，奥斯特罗格拉茨基为俄罗斯理论力学学派开创了原创性著作，被称为其创始者.他主要集中于研究概率论，但也有涉及其他领域，如数学物理、数论和代数学等诸多方面.可他最值得其重视的研究就是在1828年研究热传导理论的过程，并证明了关于三重积分和曲面积分之间的关系公式，即著名的奥斯特罗格拉茨基高斯公式［1］.奥斯特罗格拉茨基不仅是伟大的研究学者，同时也是位卓越的数学教育家，深刻揭示了数学学科的重要性，对数学教育的研究倾注了他毕生的心血，为俄罗斯的数学教学改革作出了巨大的贡献.与此同时，他的教育观点在许多方面也是超前的，为教育教学提供了新颖的理念，为此孕育了俄罗斯几代教育学者，被称为是俄罗斯数学教育界的一代宗师.

2.2 圣彼得堡数学学派的宿儒——布尼亚科夫斯基

布尼亚科夫斯基于1804年12月16日出生于巴尔（现属于文尼察地区）.布尼亚科夫斯基从小就勤奋好学，刻苦努力，对自然科学有着浓厚的兴趣，16岁时就开始欧洲留学，幸遇良师德维利.德维利很赏识布尼亚科夫斯基的能力，1828年在他的極力推荐下布尼亚科夫斯基成功当选为圣彼得堡科学院助理院士.

1823—1825年，布尼亚科夫斯基在巴黎综合理工学院学习，并获得博士学位.1826年，在圣彼得堡拉开了其科学研究和教学研究的帷幕.1830年当选为通讯院士，1841年当选为院士，1864年至1889年任圣彼得堡科学院副院长，其研究范围较为广泛，主要涉及有数论、数学分析、几何学、代数学、力学、流体学和概率论及其应用等等，共发表了168篇论文.切比雪夫的成功归功于布尼亚科夫斯基的发现和培养，他们一起整理了欧拉选集的编辑工作数论部分，为欧拉数学思想的传播作了巨大贡献.他对叠加理论和二次互反律进行了研究，在高斯的基础上证明了二次互反律，［1］并在其1859年的论文中，给出了重要的积分不等式，那就是著名的施瓦茨不等式.

2.3 圣彼得堡数学学派的中坚——马尔科夫

马尔科夫于1856年6月14日出生于梁赞省.年幼时，他的腿部患上骨结核，膝盖肿得像面包一样，整条腿完全不能弯曲，但是倔强的他坚持锻炼，强忍疼痛活动，不公平的命运萌发了他向命运发出的挑战.直到10岁时，经过不断地手术治疗逐渐好转，但依旧留下了后遗症，给他的童年留下了阴影.马尔科夫在圣彼得堡第五中学完成中学全部课程，但由于这是一所东正教习俗管理的学校，要求学生每天死记硬背，举行各种忏悔仪式和祈祷活动，完全限制了学生的自由，禁锢了学生的创新思维.马尔科夫很是厌倦这样的学习环境，因而就流露出了许多不满的情绪，自此导致老师认为他是个坏学生.然而，马尔科夫非常热爱学习，自学了许多课外知识，并数学成绩很好，远远超过了一般的学生水平.

1874年，马尔科夫以优异的成绩进入圣彼得堡大学物理数学系学习，开启他的数学之旅.1878年，《以连分数求解微分方程》这篇出自马尔科夫的优秀毕业论文获得系金质奖，马尔科夫因此留校任教.两年后开始正式任教并完成其硕士论文《论双正定二次型》.1883年，马尔科夫与瓦尔瓦切叶夫娅结婚.1884年，马尔科夫用《连分数的若干应用》论文，顺利通过毕业，同时，获得物理-数学博士学位.

马尔科夫在圣彼得堡大学任教期间开设多门数学课程，为祖国培养出大量优秀、出色的数学人才，其中课程设有微积分、数论、函数论、矩论、计算方法、微分方程、概率论等.1886年当选为副教授，4年后升为副院士，1893年晋升为教授，1896年成为正院士，1905年退休并获得“终生荣誉教授”称号.退休后的他仍在教育行业发光发热，他以院士身份在圣彼得堡开设概率论课程，并修订其概率论讲义-《概率演算》.在马尔科夫教学的23年中，对于学术方面的知识，他有着极其严谨的态度，“忘我”可以说是对马尔科夫最贴切的一个形容词.对于教学，他既能做到因材施教，又能注重学生的思维培养，能够有创新的逻辑与思维.

1917年，查拉伊斯科县城迎来了一位特别的老人，已到花甲之年的马尔科夫带着14岁的儿子来此无偿担任中学课程教学任务.1918年，马尔科夫因患上眼疾离开讲台回到圣彼得堡治疗，术后又在母校继续开设概率论课程讲座.1921年秋，马尔科夫正式离开他热衷的讲台，告别心爱的母校.1922年7月20日，马尔科夫辞别了人世，遗体安葬在圣彼得堡的米特罗方耶夫斯基公墓.

2.4 圣彼得堡数学学派的砥柱——李雅普诺夫

亚历山大·米哈伊洛维奇·李雅普诺夫于1857年6月6日出生在俄罗斯亚罗斯拉夫尔，在诺夫哥罗德，李雅普诺夫接受了中学教育，于1876年从体育馆毕业，并获得了一枚金牌.同年，他成为圣彼得堡大学数学系的一名学生，受到了切比雪夫教授的演讲的影响.1880年，李雅普诺夫大学毕业，因一篇关于流体静力学的论文再次获得金牌.［3］他继续留在大学力学系，撰写了1884年他为之辩护的硕士论文《旋转流体椭球平衡形式的稳定性》.这部作品于1904年翻译成法语，在欧洲确立了他的名字.

1885年秋天，李雅普諾夫晋升为哈尔科夫大学的讲师.在哈尔科夫大学的工作中，李雅普诺夫首先不得不花费大量时间为学生准备力学讲座和笔记，1888年，他陆续开始发表关于运动稳定性的论文.［3］这项工作激发了他最大的热情，进而他于1892年发表了著名的博士论文，题目是《运动稳定性的一般问题》.同年，他在莫斯科大学为这篇论文辩护，茹可夫斯基（俗称Joukowski，“俄罗斯航空之父”）是他的“对手”之一；这篇论文于1908年和1949年以法语、1935年以俄语和英语重新发表.1893年，李雅普诺夫晋升为哈尔科夫大学的教授，直到1902年才开始研究稳定性问题.并于1899年至1902年担任哈尔科夫大学数学学会的主席和通讯编辑.

1902年，李雅普诺夫搬回圣彼得堡，在那里，他被任命为院士，并成为1894年去世的前老师切比雪夫的继任者，他全身心地投入研究，研究牛顿引力作用下匀速旋转流体粒子的平衡形式问题.李雅普诺夫特别指出，梨形旋转流体是不稳定的.这一结果在天文学上有着重要的影响，因为它推翻了目前关于旋转流体（如地月系）形成卫星的理论.剑桥大学的H.达尔文（著名博物学家查尔斯·达尔文的儿子）当时提出了这样一种机制，自然要求梨形身体稳定的.1917年，简斯在剑桥大学的亚当斯奖论文中确认了李雅普诺夫的结果是正确的，因此达尔文的理论是错误的.

后来，革命的悲惨事件、伏尔加河上的家庭庄园被烧毁，包括他父亲和祖父修建的一座大图书馆，以及他妻子的疾病使李雅普诺夫非常沮丧.在他妻子去世的那天，李雅普诺夫用手枪向自己胸膛开枪，于1918年11月3日，即他妻子葬礼的当天去世.在一封自杀信中，他要求和她一起下葬.墓碑上的铭文写道：运动稳定性理论、旋转液团平衡形状理论，微分方程定性理论的方法，概率论中心极限定理以及力学和数学分析领域的其他深入研究的探索者.［3］

2.5 圣彼得堡数学学派的新秀——伯恩斯坦

塞尔吉·纳塔诺维奇·伯恩斯坦1880年3月6日出生于敖德萨，1898年高中毕业.之后，他前往巴黎，在巴黎大学和巴黎综合工科学校学习.伯恩斯坦在巴黎学习期间，即1902至1903年在哥廷根度过.伯恩斯坦提交给巴黎大学的博士论文是解决希尔伯特第十九个问题的一篇优秀作品.这个问题是在1900年的大会上提出，是关于椭圆微分方程的解.1904年，伯恩斯坦在巴黎大学获得博士学位，年仅24岁的伯恩斯坦在博士论文中做了出色的工作，但当1905年回到俄罗斯时，他不得不重新开始他的博士课程，因为俄罗斯不承认外国大学学位的资格.他在哈尔科夫大学攻读硕士学位，通过求解一系列非线性椭圆方程边界条件问题的解析解，继续研究希尔伯特问题.

1908年，伯恩斯坦被授予硕士学位；1913年，他获得了第二个博士学位，这一次来自哈尔科夫大学.从1907年开始，他在哈尔科夫大学持续了25年的教学工作.1933年起，他在列宁格勒大学（圣彼得堡大学）任教，也在工业学院授课.在此期间，他也在苏联科学院数学研究所工作.1943年，伯恩斯坦转到莫斯科大学，在接下来的七年里，他致力于编辑切比雪夫的全集.伯恩斯坦研究函数的最佳逼近理论.他大大扩展了切比雪夫在1854年开始的工作.1911年，他引入了称为伯恩斯坦多项式的方法，对魏尔斯特拉斯定理给出了一个构造性的证明，即在实线有限子区间上的连续函数可以用多项式尽可能接近一致逼近.［1］伯恩斯坦后期也有谈到这项工作，是于1912年剑桥举行国际会议上.然后，他继续发展这些思想，解决插值理论和机械积分方法中的问题，并在1914年引入了一类新的拟解析函数.

伯恩斯坦最重要的工作之一就是概率论.1917年，他试图将概率论公理化.他推广了李雅普诺夫中心极限定理的条件，研究了大数定律的推广、马尔可夫过程和随机过程.伯恩斯坦还研究了概率在遗传学方面的应用.

翻阅文献，浏览圣彼得堡数学学派的初建——形成——一举成名，我们发现毕生投身在数学科学事业中的科学巨人拥有与常人不同的表现，如高瞻远瞩的求真远见、坚定不移的科学信念、勇于开拓的非凡魄力、炉火纯真的研究艺术.其科学思想博大精深、胸怀坦荡，为俄罗斯甚至世界科学发展建立了不朽功勋.

曲径通幽处，禅房花木深.笔者在有限时间内尝试打开圣彼得堡数学学派的一层朦胧面纱.

参考文献：

［1］ 徐传胜.圣彼得堡数学学派研究［M］.北京：科学出版社，2016.

［2］ 徐传胜.彼得堡数学学派的概率思想研究［D］.西北大学，2007.

［3］ 苏淳，刘纯.彼得堡数学学派的健将——念纪A. M. 李雅普诺夫诞生一百三十周年［J］.自然辩证法通讯，1987（2）：5968.

［4］ 徐传胜.圣彼得堡数学学派的发展［J］.科学技术哲学研究，2010（5）：8287.

［5］ 赵晔.莫斯科数学学派的概率思想研究［D］.西北大学，2012.

［6］ 徐传胜.圣彼得堡数学学派的成因解析［J］.自然辩证法研究，2012（12）：8692.

［7］ 刘学鹏，徐传胜.圣彼得堡数学学派的学术风格探析［J］.西北大学学报（自然科学版），2009（6）：955959.

［8］ 苏淳，刘纯.彼得堡数学学派的中坚——纪念A. A. 马尔科夫诞生一百三十周年［J］.自然辩证法通讯，1986（4）：4658.

［9］ 李晓霞，姚远.问道俄罗斯：《圣彼得堡数学学派研究》［J］.临沂大学学报，2019（2）：141144.

［10］ 刘钝，苏淳.彼得堡数学学派的奠基人——纪念П. Л. 切比雪夫逝世九十周年［J］.自然辩证法通讯，1984（6）：6274.

［11］ 李文林.数学史概论［M］.北京：高等教育出版社，2000.