初中数学辅导的有效性策略研究

蔡育伟

摘 要：随着数学知识的深入学习，数学的学习难度也在逐渐上升.初中阶段是学生数学成绩出现分化的重要时期.很多学生无法做到将课堂上所学的数学知识进行有效的消化，所以就需要教师在课后服务阶段对学生进行辅导，从而将所学的数学知识进行巩固.“1+X”课后辅导模式即是立足于课堂教学来进行课外拓展，本文将结合初中数学二次函数的解题辅导来对“1+X”课后辅导模式进行分析，从而提升数学课后辅导的有效性.

关键词：初中数学；课后辅导；学习拓展；“1+X”课后辅导模式

“1+X”课后辅导模式是立足于课堂教学的基础上，在课后辅导的过程中拓展数学学习活动.在“1+X”课后辅导模式中，“1”代表的是课堂教学内容，“X”则表示的是课后辅导的各种形式和内容.一般包括阅读、实践以及解题讲解等数学活动方式.下文将结合二次函数的解题辅导来对“1+X”课后辅导模式进行说明.

1 试题呈现

例1 （2022年四川绵阳中考试题24题）如图1所示，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1.

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB=180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，则说明理由；

（3） 过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，求M点的坐标，若不存在，请说明理由.

2 “1+X”课后辅导模式下的数学试题阅读

在数学课后辅导的解题辅导中，需要根据“1+X”课后辅导模式来让学生对数学问题进行阅读以对试题进行分析.

例如在这道试题中，根据已知条件抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1.通过对已知条件的阅读就可以对抛物线的情况进行分析，根据抛物线顶点的横坐标为1，就可以知道抛物线的对称轴为x=1.然后结合抛物线交x轴于A（-1，0），B两点，就可以对B点的坐标进行计算，然后就可以根据A，B，C三个点的坐标来计算得到关于抛物线的方程式.

根据第二小问的题意，在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB=180°，所以这时就可以假设存在这样的P点，这样就可以构成一个四边形，根据题意∠APB+∠ACB=180°，所以就存在∠CAP+∠CBP=180°，所以就可以得到A，B，C，P是四点共圆的关系，如图2所示.然后根据（1）中关于B点的坐标计算结果，就可以得到△OBC为等腰直角三角形，從而就可以知道∠OBC=∠OCB=45°，然后根据四点共圆四个点连成同侧共底的两个三角形顶角相等就可以得到∠ABC=∠APC=45°，所以△OAP为等腰直角三角形，所以OA=OP=1，这样就可以得到P点的坐标.然后是对第三个问题的阅读，通过阅读可以得到如图3所示的图象.根据（1）计算所得到的抛物线解析式以及抛物线的对称轴就可以对D，E两点的坐标进行计算，然后根据两点之间的距离公式来得到AD，DE，AE的长度，进一步分析就可以得到△ADE是直角三角形，得到这个直角三角形的两条直角边的比值关系，然后根据相似三角形的性质来对三角形EFM的两条直角边的比值关系进行分析，从而得到M点的坐标.

3 “1+X”课后辅导模式下的解题实践

通过对题目的阅读分析，后续进行的就是根据阅读分析的结果来对题目进行解题实践.通过实践的方式来判断自己在阅读过程中的分析是否正确.

解：（1） 因为抛物线顶点D的横坐标为1，

所以抛物线的对称轴为x=1，

又因A（-1，0），

所以B点的坐标为（3，0）；

将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）分别带入到y=ax²+bx+c可得：

所以抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2） 存在这样的P点，坐标为（0，-1），理由如下：

假设存在这样的P点，因为∠APB+∠ACB=180°，

所以∠CAP+∠CBP=180°.

所以A，B，C，P四个点为四点共圆的关系，如图2所示，

由（1）可知OB=OC=3，

所以△OBC为等腰直角三角形，即∠OBC=∠OCB=45°，

根据四点共圆的性质可得∠ABC=∠APC=45°，

所以△OPA为等腰直角三角形，

OA=OP=1，

所以P（0，-1）；

（3） 存在这样的M点，理由如下：

根据题意可得到图形如图3所示，

根据（1）所得的解析式y=-x²+2x+3以及抛物线的对称轴为x=1可得：

D，E两点的坐标分别为D（1，4），E（2，3），

因为A点的坐标为A（-1，0），

因为AD²=DE²+AE²，

所以△ADE为直角三角形，且∠AED=90°且DE∶AE=1∶3，

根据题意设点M的坐标为M（t，-t²+2t+3），又因点M在直线l的下方，

所以t的范围是t＜0或者t＞2，

所以EF=|t-2|，MF=t²-2t，

要让△MEF与△ADE相似，则需要EF∶MF=1∶3，或者MF∶EF=1∶3，

4 “1+X”课后服务模式下的讲题教学

学生通过自己对例题的阅读和解答之后，就需要教师对学生进行引导，让学生利用自己的语言讲解对这个例题的理解、解题思路以及思维过程.在这过程中需要让学生能够将自己对这个例题的理解清晰地表达出来，然后能够对这个数学问题所采用的数学思维进行说明.通过这样让学生对试题进行讲解的方式来让学生在班级或者小组内进行讲题训练，从而让学生加深对这类知识的理解.

例如在这个例题中，求解一个二次函数的解析式需要将抛物线上的三个点的坐标带入到二次函数的一般式中来进行求解，所以需要根据题意来得到抛物线上的三个点的坐标，所以在求解析式的过程中最关键的一步就是通过抛物线的对称轴x=1来对抛物线与x轴的交点B点的坐标进行计算，实现对抛物线解析式的求解.而第二个问题则是侧重考查了四点共圆的相关关系，通过对角之和为180°的关系来判断出A，B，C，P四个点属于四点共圆的关系，然后结合四点共圆中以相同边AC所作的△ABC与△APC的顶角∠ABC=∠APC，从而通过角的关系来判断出边的关系，得到P点的坐标.然后是第三个问题，通过对问题的分析可以发现需要构造出一个△EFM与△AED相似.而观察图形可以发现两个三角形没有直接的几何关系上的联系，所以就需要通过直角三角形两条直角边的比值相等这个判定方式来对三角形相似进行判定，所以就需要利用△AED的边长关系来判定三角形是否为直角三角形，从而确定三角形的直角边.

通过学生对这个例题的解题思路的讲解，可以促进学生对讲解过程中存在的一些问题进行进一步的分析和说明，从而使学生加深对这类问题的理解.同时讲解完成之后可以根据这个例题来进行进一步的延伸，对二次函数中常见的问题进行进一步的讲解，使学生对二次函数问题有更加深入的了解.

5 “1+X”课后辅导模式的有效性分析

数学学习的过程就是对知识点的学习，然后通过试题来对所学知识进行应用，而“1+X”课后辅导模式注重的就是学生在课后辅导解题练习过程中对试题的阅读、解题实践以及对试题的讲解.在课后练习的过程中通过这样的辅导模式可以让学生对所学知识点进行有效的应用，通过对试题的仔细阅读分析，来实现学生对试题的全面剖析，从而找到解决试题的思路和方法，然后通过解题实践来对自己所寻找到的解题思路和方式进行验证，来判断自己的思路和方式是否存在问题.最后通过试题讲解的方式来說明和总结自己对这类问题的理解，从而进一步地提升了对这类问题的掌握程度.这种课后辅导模式有效强化了学生对课堂所学知识的掌握度，使课后辅导的效果得到有效的提升.

6 结 语

综上所述，本文通过一道中考数学二次函数试题来对“1+X”课后辅导模式应用在初中数学课后辅导中的有效性策略进行了说明.通过“1+X”模式对试题进行阅读分析、解题实践、讲解思路的方式能够有效地提升课后辅导过程中的辅导效率，使学生能够更好地将课堂所学的知识进行有效的应用，从而使学生的数学成绩得到稳步的提升.

参考文献：

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［2］ 陈亮.“双减”政策下初中数学课后延伸辅导——提升学生“学力”路径研究［J］.课程教育研究，2021（15）：114-115.

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