深度挖掘，让概念看得更“清”

张微红

【摘要】数学概念在数学基础知识中有着举足轻重的地位，也是发展思维、培养能力的重要基础。然而对于小学生而言，数学概念大都是抽象的，怎样帮助学生形成概念呢？本文以《平行与垂直》一课为载体，从“多元感知，建立表象”“表征操作，凸显本质”“概括联系，搭建结构 ”三方面阐述了如何让概念“看得”更全面、更精致、更深刻！

【关键词】概念  感知  操作  联系

【中图分类号】G623.5   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2023）06-0139-03

数学概念在数学基础知识中有着举足轻重的地位，也是发展思维、培养能力的重要基础。然而对于小学生而言，数学概念大都是抽象的，怎样帮助学生形成概念呢？笔者以四年级上册《平行与垂直》为例，深度挖掘概念中的内涵，培养学生的数学核心素养，让概念看得更“清”！

《平行与垂直》它是一节概念课，是一单元的起始课。这节课的教学是在学生已经认识了平行四边形、长方形、正方形和直线、射线、线段的特点后进行的。正确认识同一平面内两条直线的位置关系——平行和垂直，将为今后进一步探究平行四边形、梯形以及长方体、正方体等几何知识打下扎实的基础。本节课重点需要思考的问题是“平行与垂直”，学生在平时的生活中虽然有一些感性认识，在图形中也有基本的表象认识，但对概念的描述理解却有一定的困难，对两条直线的位置关系也没有深刻的认识。如何化枯燥为生动，化抽象为具体？如何在本质特征中辨析它们的关系？如何突破平行线中的“在同一平面”这一条件？那如何具体形象地突破概念课中的这些难点呢？

一、多元感知，建立表象——让概念看得更全面

对平行与垂直，课本中是这样描述的：

看似简短的两句文字描述，实质是非常抽象的。课前在一个班曾经做过这样一个实验，让学生自学课本中的概念，然后完成《作业本》第3题：

结果第二幅图有55.6%的学生写了平行，第三副图有66.7%的学生认为既不平行也不垂直。

抽象、推理、模型是數学的基本思想聚焦的三个方面。从具体到抽象是学好数学的基础，可抽象的数学与儿童具体形象的数学思维水平间有一定的差距，如何突破，完美过渡？我认为，多元感知，建立表象是非常必要的。

比如在认识“平行线”的时候，笔者是这样设计的：

（一）课前：

吃好晚饭，在桌上摆一摆两根筷子，看看有几种不同的情况？

（二）课中：

1.画图感知，构建素材

（1）把昨天摆两根筷子的不同情况画在纸上。（2）四人小组交流讨论。（3）展示小组的作品。

2.观察分类，感知特点

（1）把两条直线位置情况分分类。（2）学生介绍自己的分法。（3）小结。

板书：相交、不相交

3.辨析讨论，揭示概念

（1）揭示平行线的概念。（2）说说互相平行的意思。（3）用符号表示平行。（4）辨析哪些是平行线？哪些不是？（5）在生活中和图形中找平行线。

随后我们进行了一个后测：

1.下图中，两条直线互相平行的有（    ），互相垂直的有（   ）。

2.如图：

找出图中所有的平行线，用“∥”表示：（    ）；找出图中所有的垂线，用“⊥”表示：（    ）。

综合两题情况：

从上可以得知：

1.学生已经积累了平行与垂直的表象；2.大部分学生构建了平行与垂直的模型；3.大部分学生能把概念文字化和符号化。

确实，现实生活中的“原型”是抽象、概括科学概念不可或缺的学习素材。概念教学的起始阶段，对接生活原型，可唤醒学生内在的认知经验，再通过摆一摆，画一画，分一分，议一议，说一说，辨一辨，找一找等多元感知，从生活直观抽象出几何直观；由文字描述转化成图像描述，建立两条直线的位置关系的表象，降低学生理解的难度。

二、表征操作，凸显本质——让概念看得更精致

当学生对概念表象具象化时，教学还应借助各种表征活动让概念表象操作化与活动化，实现多种表征之间的来回互译沟通，促进概念的深化理解，这是概念教学精致化的过程。

从学生的数学经验看，学生头脑中已经积累了一定的平行、垂直的表象，在日常生活中已经有了许多的感知与接触，本节课的学习中，需要把那些零散的生活原型进行提炼上升（抽象）到数学模型上来，进而认识、形成概念。但由于学生年龄尚小，空间想象能力和空间观念还不够丰富，导致他们对“永”不相交、“同一平面内”等概念的理解相对困难。如何让学生初步感知“永”不相交、“同一平面”的含义？如何进一步发展学生的空间想象能力等等都是本节课需要思考与尝试解决的问题。

比如在认识“不相交”时，笔者是这样设计的：

像这样在同一张纸上两条直线画得再长再长也不会相交吗？

（1）动手画一画（格子图上）。（2）闭上眼睛想一想。（3）课件演示看一看。

既然学生的想象能力有限，我们不能直接授之以鱼。因为这样学生体验不到数学知识的奥秘，得到的知识是不深刻的。因此，教师要设计好各种活动，尽可能让学生的多种感官参与，体会到知识间的联系，突破难点，深切感受平行线是“永不相交的”。再思考“同一平面内”这个概念，每当教学到这个概念时，总是再三交待学生要牢记“同一平面”这句话，以引起学生注意和记忆，但是每到考试的判断题：不相交的两条直线就叫作平行线（    ），总有不少学生还会选择“对”，让老师伤心至极。这是上届四年级一道判断题测试统计：

基于这些情况，笔者是这样思考的：

1.选择把“同一平面内”的认识安排在辨析不同位置的平行线之后进行更合时宜，能产生思维的碰撞，这也符合从一般到特殊的演绎方式。2.借助多媒体课件：出示长方体的不同面上两条直线延长后不相交，这叫互相平行吗？课本上不是说不相交的两条直线我们把它叫作平行线吗？现在这两条直线不相交怎么就不是平行线了？学生思考、讨论，初步得到“因为它们不在‘同一平面上”的结论。3.进一步理解“同一平面内”。

老师变一个小魔术：通过一折把相交的两条直线变成了永不相交的两条直线，这永不相交的两条直线是平行线吗？当然不是平行线。再次加深对平行线的认识，必须在同一平面内。

空间观念的形成，主要体现在“三动”：一是动脑，想象出所描述的实际物体和物体位置、方向的关系；二是动口，描述图形的运动和变化；三是动手，根据语言描述摆出或画出图形。这“三动”体现了从想象到描述再到画图的递进过程。教学时一开始让学生画一画，想一想，看一看，全面通透地感受永不相交的两条直线叫平行线；接着在长方体中找平行线时发现不相交的两条直线不一定是平行线；质疑中最后通过小魔术深刻感受不相交也不一定是平行线，平行线必须是在“同一平面内”，完善概念水到渠成。总之，认真解读“同一平面”“不相交”，需要教师设计各种表征活动让概念表象操作化与活动化，实现多种表征之间的来回互译沟通，促进概念的深化理解。

三、概括联系，搭建结构——让概念看得更深刻

1.构建概念模型

在数学教学中，教师一边要让难懂的抽象概念变得通俗易懂，一边要把概念的学习与技能的提升有效融合在一起。从一般到特殊，把生活中的数学现象提炼出抽象的数学结论，从而构建概念模型。

为什么在众多的位置关系中只研究平行与垂直，不研究别的位置关系呢？最根本的原因是它的特殊性。任意两条直线，要想呈现平行的关系，不容易，除非刻意为之，同样，在众多相交的情况下，出现垂直也是不易。在一般情况下，同一平面两条直线都会有交点，而平行很特殊，没有交点。相交都会形成四个角，但四个角都相等，少见，这就是垂直。因此，平行与垂直都是两直线位置关系中的特例。那么数学为什么要研究这两个特例？笔者认为这也正是遵循了科学研究从特殊到一般的研究方法。为此，我们的教学活动要在这一大背景下设计学习。

比如，在平行线概念建构中，让学生在同一平面内先画两条直线，再观察分类，认识到有的有交点，有的没有交点，然后是对特殊的没有交点的两条直线看一看，想一想，找一找，辨一辨，议一议，说一说……让难懂的抽象概念变得具体形象容易理解，从特殊到一般，把生活中的数学现象提炼出抽象的数学结论。

又如，在垂线概念的引入环节，让学生观察两条直线相交之后形成了几个角，在观察中发现他们相交的角大小不一，最后出现四组相交的几何图，让学生观察，并问学生：“你能从中找出与众不同的相交吗？”通过观察，学生很容易发现，有一种相交，他们相交后四个角都相等，每个角都是90°，这种特殊的相交，我们就把它称为垂直，垂直的概念水到渠成。在这样的活动中，使学生深切感受到，垂直并不神秘，它是一种特殊的相交，只是相交的每个角都相等而已。

2.构建概念结构

在经历概念深化理解的过程中，需要对学生已有的认知结构进行改组与扩充，促进学生把新、旧概念整合成知识“链”和思维“链”，形成概念网。

在新知学习中笔者做过一个后测，题目是这样的：在同一平面内，两条直线的位置关系有（    ）和（    ）两种。其中（    ）是（    ）的一种特殊情况。

统计结果是：

这个结果吓了笔者一跳，在后来的试教中笔者就作了一個微调：为了凸显平行与垂直的本质及关系，课的最后笔者设计了思维导图：

明确：1.在同一平面内的两条直线的位置关系是相交和不相交（也叫平行），它们是并列关系；2.垂直是相交中一种特殊的位置关系，它和相交是包含关系。

教师对教学理解的深度直接影响学生对概念理解的深度。教师不仅要根据教材，更要根据学生情况开展探究活动，只有经历概念深化理解的过程，搭建知识结构，才能让概念看得更深刻！

概念的学习过程不能仅仅根据几个例子的逻辑推理，或对概念的字面理解。抽象的概念与学生思维的具体形象水平相矛盾，建构概念时，需要老师们为学生：寻得概念的发源地，提供丰富而有意义的素材，帮助学生建立概念表象；打造概念的探究所，为学生设计多元的表征操作活动，帮助学生建构概念本质；创设概念的应用场，为学生搭建多样的应用活动，帮助学生理清概念的结构和内涵。

参考文献：

[1]俞正强.种子课——一个数学特级教师的思与行 [M].北京：北京教育科学出版社，2013

[2]葛素儿.指向思维可视化的数学概念教学[J].小学教学月刊，2020（Z1）：4

[3]李宇韬.促进小学生数学概念深层学习的“意义联结”策略分析[J].中小学教材教学，2016（4）：46-49

[4]张奠宙，巩子坤，任敏龙，张园，殷文娣.“平行与垂直”的教学内涵与设想——基于教材编写的几点讨论 [J].小学数学教师，2017（3）：4-8