两类有关圆锥曲线中弦问题的解法

罗祠军

有关圆锥曲线中弦的问题对同学们的空间想象能力和分析能力有比较高的要求.这类问题往往涉及较多的变量，经常让考生捉摸不透，不知如何下手.只有熟悉并掌握几类经典题型及其解题规律，才能举一反三，从容应对有关圆锥曲线中弦的问题.接下来，通过例题，探讨一下两类有关圆锥曲线中弦问题及其解法.

一、切点弦恒过定点问题

很多圆锥曲线问题涉及了切点弦，切点弦有一些特殊的性质和特征，我们需要熟练掌握.例如，（1）如果过圆锥曲线的准线和长轴所在直线的交点作圆锥曲线的切点，则切点弦长正好与圆锥曲线的通径相等；（2）过椭圆右准线上任何一点，作椭圆的切线时，这个切点弦恒过椭圆的右焦点.在解答切点弦恒过定点问题时，我们可以灵活运用切点弦的这些特殊性质和特征来建立关系式，消去参数，进而求得切点弦的方程，最后根据一元一次方程有无数个解的性质求得定点的坐标.

例1.

证明：

由已知的椭圆方程可求得其右准线的方程，所以可直接设点 M 的坐标，然后通过切线的方程表示出切点弦的方程，进而得到直线 AB 恒过的定点坐标.

二、相交弦过定点问题

任意相交的弦肯定不过定点，但是如果两个满足一定条件的弦相交，就会恒过一定点.在解題时，要注意观察，学会根据相交弦的特征进行分析，寻找一些特殊的位置、点、关系，据此建立关系式，通过消元，求得相交弦的方程.在建立关系式时，要逐步减少变量，这样就容易发现并求出定点的坐标.

例2.

解

先设出 M、N 的坐标；再由 A1 、A2 的坐标，得到直线 A1M、A2M 的方程；然后通过联立方程，求出 M、N 点的坐标，进而求出直线 MN 的方程.解答相交弦过定点问题，需要关注一些特殊点的位置，比如点 P 的位置，既在直线 l 上，也在直线 PA1 、PA2 上，所以点 P 的坐标满足这三个直线的方程，从而建立关系式.

可见解答有关圆锥曲线中弦问题，需注意：（1）明确弦与圆锥曲线的位置关系；（2）关注弦与弦之间的位置关系；（3）根据弦的特征、性质，建立关系式；（4）掌握并灵活运用一些消元的技巧.

（作者单位：江西省玉山县第一中学）