带滑块的太阳帆航天器刚柔耦合动力学建模与姿态控制

陈劭博，严佳民，卜奎晨

带滑块的太阳帆航天器刚柔耦合动力学建模与姿态控制

陈劭博1，严佳民2，卜奎晨1

（1. 中国运载火箭技术研究院，北京，100076；2. 南京航空航天大学，南京，210016）

为了对滑块控制的太阳帆航天器的姿态控制进行研究，利用动量矩定理建立了太阳帆的刚柔耦合动力学方程，并利用非约束模态方法，求得了可解的控制学方程，在此基础上提出了90°定向任务这一新的姿态控制任务情景。以90°定向任务为切入点，对带滑块的太阳帆航天器姿态-控制非线性耦合的特点进行了讨论，并针对其给出了一种能够适应这种非线性耦合特征的变增益PD控制器。对90°定向任务进行了仿真，结果表明，当姿态角接近90°时，姿态-控制器非线性耦合程度较强，定增益PD控制器控制效果差。此时，变增益PD控制能够对非线性特性凸显，对定增益PD控制难以实现的90°定向任务进行精确控制，在可接受的控制时间内将姿态角定向为90°。

太阳帆航天器；非约束模态；PD控制；非线性控制

0 引 言

太阳帆航天器作为一种新型航天器，近年来受到了学者广泛重视。相比于传统的工质推进航天器，太阳帆依靠大且轻薄的帆膜反射太阳光，从入射的太阳光中吸取冲量，是现今研究中唯一不依靠喷射工质产生反作用力的航天器推进方式。太阳帆的加速度来源为太阳光，只要其能接收到太阳光的照射，就能产生持续的加速度，经过较长时间的加速，太阳帆可以达到依靠传统工质推进难以达到的高速度，能实现如悬浮轨道等一系列传统航天器难以实现的轨道规划[1-3]。

与通常的卫星、探测器等传统航天器不同的是，太阳帆航天器具有非常大的尺寸。虽然质量通常不大，但由于帆膜的巨大尺寸，转动惯量非常大，导致其刚度较差，在进行姿态控制和变轨的过程中容易出现颤振等问题。传统的姿态控制方法已经不适用于太阳帆的姿态控制。

在众多太阳帆姿态控制机构中，滑块控制具有控制机构简单、输出控制力矩大等优点，同时不影响有效载荷与太阳帆本体之间相对位置，利于实现对特定位置定向和对特定目标跟踪，具有较好的应用前景。

1 研究现状

太阳帆航天器是一个典型的非线性系统。其特点是控制器能输出的最大力矩随太阳角的变化而变化。尤其对于通过改变质心位置来进行姿态控制的带滑块太阳帆航天器而言，控制机构所能输出的转动力矩的大小与太阳帆航天器质心相对压心的偏离程度和太阳帆航天器所受光压大小相关。滑块作为控制器的执行机构只能控制太阳帆航天器质心相对于压心的偏离程度，并不能直接控制太阳帆航天器所受光压大小，而太阳帆航天器帆面所受光压大小只与姿态及该点的太阳光密度有关。若定义太阳光矢量与太阳帆面矢量所夹的锐角为太阳角，该角的对角为姿态角，随着太阳角增大，太阳帆航天器的迎光面积变小，单个光子能够提供给太阳帆航天器的冲量也变小，所能实际输出的控制力矩越小。当太阳帆帆面与太阳光矢量平行时，控制器几乎无法提供任何控制力矩。若实际飞行任务中需要使太阳帆定向于太阳角接近90°的姿态，如基于太阳帆的太空望远镜需要对北极点附近的卫星进行精确定向，或者太阳帆在深空机动变轨途中需要暂时性地关闭推力时，就对太阳帆的控制系统性能提出了较高的要求。

中国学者针对太阳帆姿态控制技术进行了一些研究。刘家夫[4]等利用矢量力学和非约束模态法建立了带控制杆的太阳帆航天器的刚柔耦合动力学方程，设计了俯仰轴Bang-Bang PD控制器，对运行在超地球同步转移轨道上的对地定向任务进行了模拟。崔乃刚[5]针对同时具有控制杆和控制小帆的太阳帆航天器，设计了一种基于Bang-Bang控制的PD控制器，对运行在超地球同步转移轨道上的对地定向任务进行了模拟。吴利平[6]等针对滑块控制的太阳帆航天器，设计了一种自适应抗扰控制律并进行了模拟分析。张震亚[7]等基于拉格朗日力学，在不考虑太阳帆结构弹性振动的条件下建立了基于滑块控制的太阳帆的姿态动力学方程，利用变增益LQR控制和非线性变增益PD控制设计了双环控制器，并对行星际轨道转移任务进行了模拟。

上述文献虽都设计了基于不同控制理论的姿态控制律，并在仿真中取得了较好的控制结果，但其进行仿真时大都基于目标姿态角为35°时的任务情景（此时能为绕太阳公转的太阳帆航天器提供最大的航向推进力），并未对太阳帆在太阳角在90°附近精确定向的任务情景单独进行研究和仿真，所提出的控制律在90°附近的控制品质并不能得到有效的保证。

以张震亚等设计的变增益LQR控制器举例，该控制器基于增益调度，每间隔10°姿态角取特征点求取状态反馈矩阵。之后采用加权算法根据特征点的状态反馈矩阵求取每一点的实时反馈矩阵。这种方法针对姿态角不接近90°的情况下显然是有效的，但当目标姿态角接近90°的情况下时，基于最优LQR的控制器对于输出控制力矩随姿态角余弦下降而下降的特性缺乏预见性。比如，目标姿态角为90°时，变增益LQR控制器在姿态角为70°时将控制力矩调节为反向最大，控制器“认为”此时开始减速就可以在姿态角为90°附近时实现太阳帆的刹车，但这个决策是控制器基于姿态角为70°时刻系统状态所作出的。也就是说，变增益LQR控制器“以为”接下来的控制过程中滑块所能输出的最大控制力矩都可以保证姿态角70°时的状态。但实际上，随着姿态角接近90°，控制器的控制力矩输出能力也在同步下降，这个输出能力的下降在姿态角接近90°附近时尤其明显。如：当姿态角从35°变化到45°，姿态变化了10°，控制器能输出的最大力矩下降了25.48%。但当姿态角从75°变化到85°时，姿态同样变化了10°，控制器所能输出的最大控制力矩却下降了88.66%。这种控制力矩随姿态的非线性衰减是变增益LQR控制器所不能预见的。当控制过程运行在姿态角较小的区间时，控制全程的姿控非线性耦合程度不强，靠着控制器的鲁棒性尚且能控制住。但当姿态角接近90°时，控制力矩的衰减对姿态角变化非常敏感，姿态角一旦稍有变化就会导致控制力矩的很大改变。所以，在未针对90°附近区间进行针对性优化的前提下，采用变增益LQR控制器的太阳帆在面对90°附近的定向任务时有可能会“刹车太晚”，从而导致姿态角在90°附近大幅震荡，控制品质不佳。图1为最大输出控制力矩随姿态角衰减的关系。

图1 最大输出控制力矩随姿态角衰减的关系

在接下来的研究中，本文采用滑块作为太阳帆的姿态控制执行器，将太阳帆撑杆视作欧拉-伯努利梁模型，建立了刚柔耦合动力学方程，并从机理上分析了太阳帆控制力矩与姿态的非线性耦合问题，给出了一个可以应用于90°定向问题的变增益PD控制器。

2 太阳帆航天器的刚柔耦合动力学方程

2.1 太阳帆航天器力学模型、相关假定及坐标系定义

太阳帆相关坐标系、各构件的编号和相关姿态角如图2所示。太阳帆航天器由太阳帆航天器帆面系统和有效载荷系统组成。前者包括帆面、支撑杆、4个控制滑块（位于支撑杆上）和相关器件。后者主要包括中心刚体（有效载荷）部件。从与轴正方向重合的撑杆开始，沿逆时针方向4根撑杆依次命名为撑杆1、2、3、4，其上的滑块也依次命名为滑块1、2、3、4。滑块可以在撑杆上限定的区间内自由运动。

图2 太阳帆航天器示意

太阳-地球公转惯性系：为地球质心；平行于太阳指向地球的连线，指向太阳系外侧；垂直于，指向地球绕太阳公转角速度方向。呈右手正交系。

图3 太阳角与姿态角示意

在接下来的研究中，为简化推导与计算，忽略滑块与支撑杆的相互作用，将帆面的质量均匀等效到4个支撑杆上。假设有效载荷位于航天器中心（中心刚体），不计支撑杆的纵向变形，不计撑杆在面内的振动。此外，本文只考虑太阳帆航天器模型在面内绕的运动，即只考虑太阳帆俯仰轴上的控制。偏航轴的控制与俯仰轴逻辑一致，本文不再单独研究，只考虑轴上的两撑杆及其上的滑块作用，此时，太阳帆模型可被简化为图4的形式。

图4 太阳帆俯仰轴简化模型

2.2 太阳帆航天器姿态动力学建模

将式（1）标量化处理，可得：

其中，

图5为太阳帆航天器复合质心位置以及撑杆弹性位移示意。

2.3 太阳帆航天器帆面支撑杆振动方程

在太阳帆振动模型的建模过程中，忽略太阳帆航天器帆面与支撑杆之间相互作用，将2个支撑杆视为悬臂欧拉-伯努利梁模型。此外，忽略滑块与支撑杆之间的相互作用，忽略滑块随撑杆振动对动力学模型的影响，忽略梁的轴向变形，只考虑梁的横向振动位移。

3 太阳帆航天器动力学方程的刚柔耦合

为了简化计算，在接下来的推导过程中对模型进行一些简化。

最近有机会看到何军为庆祝广西壮族自治区成立六十周年创作的八幅国画作品，不禁有些惊讶！这些绘画作品的元素全部来自广西，有广西港口题材、广西少数民族题材，基本每幅国画尺寸都达到两米多，画面复杂，气势宏大，而且都是在这一年多时间里创作的。艺术源于生活，听说为了创作这些作品，他多年前就注重素材的积累，一直收集广西港口、少数民族资料。多次到防城港、钦州、北海、融水、三江、龙胜、那坡、武鸣等地采风，体验生活，了解广西港口的发展成就和少数民族风情。从这一系列的国画作品来看，可以读出画者对家乡的热爱，对广西的赞美，让广西绚丽多姿的民族文化和发展繁荣的时代风貌跃然纸上。

撑杆1和撑杆3在面内的横向振动位移以轴为对称轴，可分为正对称和反对称两个分量。其中撑杆1、撑杆3振动的正对称分量对太阳帆航天器点的动量矩相互抵消，反对称分量对太阳帆航天器点的动量矩相互叠加，故在式（7）中只考虑撑杆横向振动的反对称分量影响。于是有：

此时，式（7）可简化为

使用假设模态法[8]，将悬臂梁振动位移和转角离散成振型函数和模态函数两部分：

于是有：

联立式（7）、式（8）、式（10）至式（12），有：

式中

4 变增益PD控制器设计与仿真

4.1 任务定义与相关参数假设

定义俯仰通道90°定向任务：假设太阳帆航天器运行在地球同步轨道，轨道偏心率为0，轨道平面与黄道面平行，该任务的控制目的是使太阳帆航天器姿态角（太阳角）定向于90°，使太阳帆航天器始终侧对太阳；太阳帆航天器入轨时姿态角为0，位置角为 2.84 rad。初始状态时，帆面支撑杆的各阶振动的模态位移亦为0。

俯仰通道90°定向任务从太阳帆所受光压最大处起始，直到光压最小处结束，完整经历了可用控制力矩随姿态角非线性变化的全过程，是定向任务中最难实现的工况，可以较好验证控制器的性能。

太阳帆航天器结构与几何参数定义见表1。

表1 太阳帆航天器结构与几何参数

Tab.1 Structure and geometric parameters of solar sail spacecraft

太阳帆航天器结构与几何参数参数值 方形太阳帆航天器的尺寸（正方形边长）/m100 太阳帆总面积/m210000 太阳帆帆布质量/kg1.95 太阳帆悬臂梁质量总和/kg28.28 太阳帆帆面系统总质量/kg30.23 悬臂梁的等效线密度/(kg·m-1)0.071534 太阳帆有效载荷质量/kg60 滑块质量/kg10 太阳帆效率2 悬臂梁杨氏模量/MPa124 滑块可活动的长度/m±12 支撑杆悬臂梁截面惯性矩/m42.145×10-8 悬臂梁的抗弯刚度/（N· m-2）2660 一根悬臂梁质量/kg7.07

4.2 变增益PD控制器设计与仿真

将90°定向任务分解为前、中、后3个阶段，分别进行有针对性的补偿，构建：

其中，

图6 太阳帆航天器定/变增益PD控制90°定向偏差对比

Fig.6 Comparison chart of 90° orientation deviation achieved by constant/variable gain PD controller for solar sail spacecraft

图7 太阳帆航天器变增益PD控制实现90°定向的悬臂梁前二阶模态位移曲线

从位移量级上看，一阶模态位移比二阶模态约大3个数量级，符合振动力学理论预测。在控制过程初期阶段，系统由静转动，并且直接以最大控制力矩驱动，对悬臂梁系统造成了较大的冲击。在控制的中后期由于控制力矩的减小以及其变化趋于平滑，悬臂梁系统所受激励改变，其两阶模态坐标的位移曲线也随之平滑起来。由此可见，相较基于Bang-Bang PD控制策略靠小帆控制的太阳帆航天器而言，带滑块的太阳帆航天器由于其控制力矩变化相对平滑，对悬臂梁的激励效果较弱，对抑制悬臂梁的振动效果较好[4]。

5 结束语

本文针对太阳帆航天器刚柔耦合动力学建模与控制问题进行了研究。针对太阳帆可用控制力矩随姿态角非线性变化的特点，设计了变增益的PD控制器，并分别利用定增益PD控制器和变增益PD控制器模拟了太阳帆航天器的90°定向任务。文中提出的变增益PD控制器在不过分牺牲系统快速性和对其他类型的姿态控制任务的兼容性条件下，成功实现了90°定向任务的控制。

滑块控制作为太阳帆航天器的一种重要的控制方式，具有提供的控制力矩大、结构简单等优点，搭配设计可靠的控制策略，在太阳帆未来的实际应用中或具有较大的前景。

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Dynamic Modeling and Attitude Control of Rigid-Flexible Coupling for Solar Sail Spacecraft with Slider Controller

CHEN Shaobo, YAN Jiamin, BU Kuichen

(1. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076; 2. Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing, 210016)

In order to study the attitude control of solar sail spacecraft controlled by sliding block, the rigid flexible coupling dynamic equation of solar sail is established, and the solvable control equation is obtained by using the unconstrained mode method. On this basis, a new attitude control mission named 90°orientation mission is proposed. Taking the 90°orientation mission as the breakthrough point, the nonlinear coupling characteristics of attitude control of solar sail spacecraft with slider are discussed, and a variable gain PD controller which can adapt to the nonlinear coupling characteristics is proposed. The simulation results show that when the attitude angle is close to 90°, the nonlinear coupling degree of attitude controller is high, and the control effect of constant gain PD controller is poor. At this time, the variable gain PD controller can accurately control the 90°orientation task which is difficult to achieve by the constant gain PD controller, and the attitude angle can be oriented to 90°within the acceptable control time.

solar sail spacecraft; unconstrained mode; PD controller; nonlinear control

2097-1974(2023)02-0005-06

10.7654/j.issn.2097-1974.20230202

V41

A

2021-02-05；

2021-04-14

陈劭博（1998-），男，硕士研究生，主要研究方向为制导与控制。

严佳民（1972-），男，研究员，主要研究方向为飞行器总体设计。

卜奎晨（1976-），男，博士，研究员，主要研究方向为飞行器总体设计。