徐杰霞 黄如炎
【摘要】本文通过“考查的重点与趋势”和“知识点与试题”两个方面,展示三角函数的核心知识与方法,编拟了部分试题,供复习选用.
【关键词】三角函数;考查的重点与趋势;知识点与试题
1 考查的重点与趋势
2022年全国新高考三角函数试题新颖灵活,规避套路与机械刷题,突出了理性思维和核心素养的考查,对2023年新高考有积极的导向作用. 结合教育部制定的《普通高中课程标准》[1]《中国高考报告2023》[2],并参考前几年高考数学试卷的命制规律,2023年新高考三角函数考查的重点依然是三角函数概念、三角函数图象与性质、三角函数恒等变换、解三角形.题量一般是“两小一大”,题型可能有单选题、多选题、填空题、开放题、解答题、结构不良试题等.选择题、填空题一般以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式、降幂扩角公式、asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)等为基点,考查三角函数的恒等变换和求值问题;以三角函数图象为载体,考查三角函数的解析式、单调性、周期性、对称性、最值等性质.解答题常以平面几何图形为依托,通过三角恒等变换,运用正、余弦定理求三角形边、角、面积和最值等问题.教学中要跳出套路和刷题,贵在启发学生如何根据问题情境与数式结构特征,灵活选择三角公式解决问题.
2知识点与试题
2.1选择题(1—5为单选题,6—10为多选题)
试题1(考查三角函数的定义、二倍角正余弦公式、两角和正切公式)
已知角θ的大小如图1所示,则1+sin2θcos2θ=().
A.-5 B.5
C.-15D.15
答案:A.
提示:由三角函數定义tanθ+π4=-5.由于1+sin2θ=(sinθ+cosθ)2,根据该式特征,余弦二倍角公式应选择cos2θ=cos2θ-sin2θ.从而1+sin2θcos2θ=sinθ+cosθcosθ-sinθ=tanθ+11-tanθ=tanθ+π4=-5.
三角变换要注意三看分析法:“看角、看函数、看式子特征”.
试题2(考查诱导公式、两角差与二倍角三角函数公式、同角三角函数关系式)
若α∈π2,π,2cos2α-sinπ4-α=0,则tan2α=().
A.377B.74C.±377D.±74
答案:A. 提示:由sinπ4-α=22(cosα-sinα),选择公式cos2α=cos2α-sin2α求得cosα+sinα=12,由此求得sin2α,cos2α,进而求得tan2α.
试题3(考查三角函数的诱导公式、余弦二倍角公式;考查化归与转化思想及逻辑推理、数学运算等核心素养)
已知cosθ-π12=33,则sin2θ+π3=().
A.-29B.-13C.29D.13
答案:B. 提示:2θ+π3=2θ-π12+π2.
试题4(考查差角公式、降幂扩角公式、同角正余弦和公式及三角函数图象对称性等问题)
函数f(x)=sinx·cosx-π6图象的一个对称中心为().
A.π12,0 B.π3,0
C.π12,14D.π6,14
答案:C.
试题5(考查两角和差的正弦公式、同角三角函数关系式;考查函数与方程思想及逻辑推理、数学运算等素养)
已知α,β∈(0,π),sin(α-β)=56,tanαtanβ=-14,则α+β=().
A.56πB.πC.76πD.116π
答案:C.
提示:先求sinαcosβ和cosαsinβ,sin(α+β)=-12.
试题6(考查三角函数的图象与周期性、单调性、对称性、最值等性质;考查推理论证能力、运算求解能力)
函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图2所示,给出以下结论,则其中正确的是().
A.f(x)的最小正周期为2
B.f(x)图象的一条对称轴为直线x=-12
C.f(x)在2k-14,2k+34(k∈Z)上是减函数
D.f(x)的最大值为A
答案:AC.
试题7(考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象与性质;考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养)
已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴,给出下列四个结论,其中正确的结论是().
A.f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点
B.f(x)的最小正周期可能是π2
C.ω的取值范围是134,174
D.f(x)在区间0,π15上单调递增
答案:BC.
提示:令ωx+π4=π2+kπ,k∈Z,则x=(1+4k)π4ω,k∈Z,由函数f(x)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴,即0≤(1+4k)π4ω≤π有4个整数k符合,可求出ω∈134,174.
试题8(考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式;考查逻辑推理、数学运算等核心素养)
函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,ω<π)的部分图象如图3所示,则下列结论正确的是().
A.f(x)=2sin13x-π6
B.若把f(x)的横坐标缩短为原来的23倍,纵坐标不变,得到的函数在[-π,π]上是增函数
C.若把函数f(x)的图象向左平移π2个单位,则所得函数是奇函数
D.x∈-π3,π3,若f(3x)+a≥f3π2恒成立,则a的最小值为3+2
答案:ACD.
试题9(考查正余弦定理;考查特殊与一般思想、化归与转化思想;考查逻辑推理、数学运算等核心素养)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=b(a+b),则().
A.c>bB.C=2B
C.a>cD.0
答案:AB.
提示:取特殊三角形,当a=b时,c=2a,此时B=π4,排除C,D,故选A,B.
要证C=2B,化为证sinC=sin2B,sinC=2sinBcosB,由正余弦定理化角为边.
试题10(考查函数周期性、对称性、单调性及零点存在性定理、导数的性质等知识;考查推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想;考查逻辑推理、数学运算等核心素养)
已知函数f(x)=2x-tanx,则().
A.函数f(x)不是周期函数
B.函数f(x)的图象只有一个中心对称点
C.函数f(x)的单调减区间为
2kπ-π4,2kπ+π4,k∈Z
D.曲线y=f(x)-π2<x<π2只有一条过点(1,0)的切线
答案:AD.
提示:设f(x)关于(m,n)中心对称,得到f(x)+f(2m-x)=2n,求出m=kπ2,n=kπ,k∈Z,得到对称中心不止一个,排除B选项;由导函数结合定义域求出函数的单调区间,排除C选项,故选AD.利用反证法,知A选项正确;设出切点,得到切线方程,代入(1,0),化简后得到12sin2x0-cos2x0-x0=0,换元后得到g(t)=12sint-cost-12t,t∈(-π,π),分t∈(-π,0),t∈0,π2与t∈π2,π,得到函数的单调性,极值,最值情况,结合隐零点推出零点个数,D选项正确.
2.2填空题
试题1(考查正弦函数图象与性质、图象变换)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且gπ4=2,则f3π8=.
答案:2.
试题2(考查函数的对称性、奇偶性;考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识及数学建模素养)
写出一个同时具有下列性质(1)(2)(3)的函数f(x):.
(1)f(x+1)=f(-x);(2)f′(x)为偶函数;(3)f16=12.
答案:f(x)=sinπx.
评注:构造函数f(x)的關键是选择符合其特征的基本函数.
1.若f(x)为周期函数且有对称轴或对称中心,则构造f(x)=Asin(ωx+φ)+h或f(x)=Acos(ωx+φ)+h.
2.若f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),则构造f(x)=Acosωx.
3.若f(x)在(a,b)递增,值域为R,则构造f(x)=tan(ωx+φ).
试题3(考查三角函数的图象和性质;考查数形结合、化归与转化思想)
已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间π2,π上不存在极值点,则ω的取值范围是.
答案:0,12∪1,32.
提示:依题意区间π2,π夹在相邻的两条对称轴之间,列式即可求解.
试题4(考查余弦函数图象与性质)
若函数f(x)=2cosωx在-π5,π4上存在最小值-2,则非零实数ω的取值范围为.
答案:[4,+∞)∪(-∞,-4].
试题5(考查正余弦定理的灵活应用)
如图4,△ABC中,AB=1,BC=3,以C为直角顶点向外作等腰直角三角形△ACD,当∠ABC变化时,线段BD的长度最大值为 .
答案:6+1.
试题6(考查余弦定理、基本不等式等知识;考查函数与方程、化归与转化、数形结合思想;考查逻辑推理、数学运算等核心素养)
在△ABC中,BC=2,AB=2AC=2b,D为BC的中点,则AD的取值范围为,tan∠ADC的最大值为 .
答案:13,3;43.
提示:由cos∠ADB=-cos∠ADC,用余弦定理得AD2=5b2-22. 求tan∠ADC的最大值转化为求cos∠ADC的最小值,也可以用坐标法.
2.3解答题
试题1(考查直角三角形边角关系、正余弦定理)
在直角△ABC中,角C为直角,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosB=c-a2a .
(1)求角A的大小;
(2)若c=4,D点在AB边上,且BD=3,求sin∠CDB.
答案:(1)π6;(2)217.
试题2(考查正余弦定理及三角形中线、角平分线、面积公式)
△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sinA-sinBsinC=a-ca+b.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,D为AC边上一点,BD=2,且,求△ABC的面积.从①BD为∠B的平分线,②D为AC的中点这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.
答案:(1)B=π3;(2)选①△ABC的面积s=34ac=332;选②△ABC的面积s=738.
试题3(综合考查两角和、差的余弦公式、正余弦定理、解三角形等知识;考查推理论证能力、运算求解能力;考查化归与转化、数形结合思想)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cos(A-C)+cosB=32.
(1)求角A,B,C;
(2)若b=2,延长BC至D,使△ABD的面积为332,求sin∠CAD.
答案:(1)A=B=C=π3;(2)2114. 提示:根据已知结构特征,用cosB=-cos(A+C)消去B.
试题4(考查两角差的正弦公式、正余弦定理、同角三角函数关系式、三角形面积等公式的灵活应用;考查逻辑推理、数学运算等素养)
△ABC的三边分别为a,b,c,且sin(A-B)=(3-4cosA)sinB.
(1)求证:2c2+b2-a2=3bc;
(2)若△ABC面积为510c2,求bc的值.
答案:35. 提示:由(1)结构特征,选择面积公式S△ABC=12bcsinA=510c2,sinA=5c5b.由(1)cosA=32-c2b,sin2A+cos2A=1,得bc=35.
试题5(考查应用导数研究复杂函数的单调性、极值和不等式等問题;考查分类与整合、化归与转化、函数与方程思想;考查逻辑推理、数学运算素养)
已知函数f(x)=alnx-sinx+x,其中a为非零常数.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)设θ∈π,3π2,且cosθ=1+θsinθ,证明:当θ2sinθ 答案:(1)(0,+∞). 提示:(1)求导后对参数进行分类讨论,然后根据单调性可求出参数的值; (2)求导后分析函数的单调性,然后二次求导后分析其极值. 参考文献 [1]中华人民共和国教育部.普通高中课程标准(2017年版2020年修订)[M].2版.北京:人民教育出版社,2020. [2]中国高考报告学术委员会.中国高考报告2023[M].北京:新华出版社,2023. 作者简介 徐杰霞(1981—),女,福建闽清人,高级教师,福州市骨干教师. 黄如炎(1964—),男,福建闽清人,福建省特级教师,正高级教师.