归类探究三角函数中的求最值（或值域）问题

刘洪峰

【摘要】三角函数最值问题屡屡受到命题者青睐，求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，求三角函数的最值（值域）是近几年高考的热点之一.本文对三角函数的求最值问题进行粗浅研究，望共同探讨.

【关键词】三角函数；归类；求最值；值域问题

前言

三角函数的最值问题是中学数学的一个重要内容，也是高考中的常见题型，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力.

三角函数求最值问题主要有以下几种类型，掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决.本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴.

一、化成y=asinx+b（a≠0）或y=acosx+b（a≠0）型

1.y=asinx+b（a≠0）的最大值和最小值.

（1）当a>0时，若sinx=1，ymax=a+b；若sinx=-1，ymin=b-a.

（2）当a<0时，若sinx=-1，ymax=b-a；若sinx=1，ymin=a+b.

2.y=acosx+b（a≠0）的最大值和最小值.

（1）当a>0时，若cosx=1，ymax=a+b；若cosx=-1，ymin=b-a.

（2）当a<0时，若cosx=-1，ymax=b-a；若cosx=1，ymin=a+b.

例1已知函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值.

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求函数g（x）在区间0，π16上的最小值.

分析（Ⅰ）∵f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos2ωx（ω>0），

∴f（x）=sinωxcosωx+1+cos2ωx2

=12sin2ωx+12cos2ωx+12

=22sin（2ωx+π4）+12

由于ω>0，依题意得2π2ω=π，

所以ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=22sin（2x+π4）+12，

所以g（x）=f（2x）=22sin（4x+π4）+12.

当0≤x≤π6时，可得π4≤4x+π4≤π2，

所以22≤sin（4x+π4）≤1.

因此1≤g（x）≤1+22，

故g（x）在区间0，π16内的最小值为1.

变式1已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x-2sinx+π4sinx-π4.

（1）若tanα=2，求f（α）；

（2）若x∈π12，π2，求f（x）的取值范围.

变式2已知函数f（x）=sin2x-2sin2x.

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合.

二、化成y=asin2x+bsinx+c（a≠0）或y=acos2x+bcosx+c（a≠0）型

例2已知函数f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx.

（Ⅰ）求fπ3的值；

（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值.

分析（Ⅰ）fπ3=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3

=-1+34=-94

（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x-1）+（1-cos2x）-4cosx

=3cos2x-4cosx-1

=3cosx-232-73，x∈R.

因为cosx∈[-1，1]，

所以，当cosx=-1时，f（x）取最大值6；当cosx=23时，f（x）取最小值-73.

点评此题主要是化为某个三角函数的二次三项式，结合换元法、配方法.

变式3当0

A.14B.12C.2D.4

变式4函数f（x）=cosx-12cos2x（x∈R）的最大值等于.

三、化成y=asinx+bcosx或y=sinx+cosx型

方法：形如y=asinx+bcosx的可引进辅助角化成a2+b2sin（x+φ），再利用有界性.

例3设函数f（x）=cosx+23π+2cos2x2，x∈R，求f（x）的值域.

分析f（x）=cosxcos23π-sinxsin23π+cosx+1

=-12cosx-32sinx+cosx+1

=12cosx-32sinx+1

=sinx+56π+1，

因此f（x）的值域为[0，2].

点评注意熟练掌握

sinx+cosx=2sinx+π4=2cosx-π4

sinx-cosx=2sinx-π4=-2cosx+π4

cosx-sinx=2sinπ4-x=2cosx+π4

变式5已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1（x∈R），求函数f（x）的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值.

四、化成y=csinx+dasinx+b或y=ccosx+dacosx+b型

例4求函数y=3-2sinxsinx-2的最大值和最小值.

分析法一（分离常数法）

y=3-2sinxsinx-2=-2sinx-3sinx-2=-2（sinx-2）+1sinx-2

=-1sinx-2-2.

由-1≤sinx≤1，得

-3≤sinx-2≤-1，-1≤1sinx-2≤-13，

13≤-1sinx-2≤1，

即-53≤-1sinx-2-2≤-1，

∴ymax=-1，ymin=-53.

法二（逆求法）由y=3-2sinxsinx-2可得sinx=y+22y+3，

∵-1≤sinx≤1，

∴-1≤y+22y+3≤1，解得-53≤y≤-1，

∴ymax=-1，ymin=-53.

点评此题是利用了分离常数的方法和逆求法求解的.

变式6设a>0，对于函数f（x）=sinx+asinx（0

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值且有最小值

D.既无最大值又无最小值

五、化成y=csinx+dacosx+b型

例5求函数y=sinx-1cosx-2的最大值和最小值.

分析由已知得ycosx-2y=sinx-1，

∴sinx-ycosx=1-2y，即y2+1sin（x+φ）=1-2y，

∴sin（x+φ）=1-2yy2+1，

∵|sin（x+φ）|≤1，∴1-2yy2+1≤1，

即3y2-4y≤0，解得0≤y≤43，故ymax=43，ymin=0.

点评上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法.虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单.

变式7当0

A.2B.23C.4D.43

六、化成y=sinx+cosx+sinx·cosx型

例6求函数y=sinx-cosx+sinx·cosx的最大值和最小值.

分析设t=sinx-cosx=2sinx-π4，

则-2≤t≤2，

且sinx·cosx=1-t22.

由于y=t+1-t22=-12（t-1）2+1，

故当t=1时，ymax=1；当t=-2时，ymin=-2-12.

点评sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系.sinα·cosα是纽带，三者之间知其一，可求其二.令t=sinx-cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值.应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下.

七、化成y=sin（ωx+φ）·cos（ωx-φ）或y=sin（ωx+φ）+sin（ωx-φ）型

例7已知函数f（x）=sinωx+π6+sinωx-π6-2cos2ωx2，x∈R（其中ω>0），求函数f（x）的值域.

分析f（x）=sinωx+π6+sinωx-π6-2cos2ωx2

=32sinωx+12cosωx+32sinωx-12cosωx-（ωx+1）

=232sinωx-12cosωx-1

=2sinωx-π6-1

由-1≤sinωx-π6≤1，得

-3≤2sinωx-π6-1≤1，

可知函数f（x）的值域为[-3，1].

八、化成y=sinx+asinx型

例8求y=sinx+2sinx（0

分析设u=sinx，则y=u+2u（0

∴当u=1时，ymin=1+21=3.

点评若由sinx+2sinx≥2sinx·2sinx=22，可得最小值22是错误的.这是因为当等号成立时，sinx=2sinx，即sinx=2>1是不可能的.若把此题改为y=sinx+2sinx（0

变式习题答案：

1.解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx+cos2x

=1-cos2x2+12sin2x+cos2x

=12（sin2x+cos2x）+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2α1+tan2α=-35，

所以f（α）=35.

（2）由（1）得

f（x）=12（sin2x+cos2x）+12

=22sin2x+π4+12，

由x∈π12，π2得2x+π4∈5π12，5π4，

所以sin2x+π4∈-22，1.

从而f（x）=22sin2x+π4+12∈0，1+22.

2.解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x-（1-cos2x）

=2sin（2x+π4）-1，

所以函数f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2x+π4=2kπ+π2，

即x=kπ+π8（k∈Z）时，f（x）取最大值2-1.

因此函数f（x）取最大值时x的集合为

x|x=kπ+π8，k∈Z.

3.D

4.34

5.解：由f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1，得

f（x）=3（2sinxcosx）+（2cos2x-1）

=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6，

所以函数f（x）的最小正周期为π.

因为f（x）=2sin2x+π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f（0）=1，fπ6=2，fπ2=-1，所以函数f（x）在区间0，π2上的最大值为2，最小值为-1.

6.B

7.C