2023年高考“数列”复习指导

【摘要】数列在新教材中是选修内容，新高考卷对数列的考查一般是一个选择、一个填空和一个解答题，对逻辑推理、数学运算、数学建模、阅读理解和迁移运用的能力有较高的要求. 本文通过“高考考向分析”和“知识点与试题”两个方面，展示数列的核心知识与方法，并与相关内容融会贯通，以便后期加快提高解题能力.

【关键词】高考考向分析；知识点与试题；预测

12023年高考考向分析

从2022年的高考试卷中不难发现，高考对数列的考查主要是数列的性质、通项、求和、最值、递推式数列、数列的证明、与数列有关的大小关系比较、数列文化题，以及与相关知识的交汇题，试题具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点.随着新课标的出台和新课程的实施，近几年的高考和模考，对数列内容的考查很好地体现了新课程理念和逻辑推理、数学运算、数学建模等数学核心素养，充分显示了能力要求和学科素养. 结合《中国高考报告2023》［1］，参考近几年数学试题命制规律，预测2023年的高考对数列的考查应该主要体现在以下几个方面：一是数列的函数特性；二是数列的通项公式；三是数列的求和；四是数列中的不等关系；五是新定义型数列和与相关知识的交汇.试题往往以低中档题为主，难题较少，着重考查数列的核心知识、方法与思想，是高考经久不衰的考查内容.

2知识点与试题

2.1单选

试题1已知数列{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和为Sn，且a2，a5，a7成等比数列，则（）.

A.a1d>0，dS6>0 B. a1d>0，dS6<0

C. a1d<0，dS6>0D. a1d<0，dS6<0

答案：D.

试题2已知等比数列{an}的公比为q，且a4=1，則下列选项中正确的是（）.

A．a2+a6≤2  B. a3+a5≥2

C. 1a1+1a7=a1+a7D. a6－2a5+1≤0

答案：C.

试题3数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论中正确的是（ ）.

A．S2020=F2022+1B．S2020=F2022－1

C．S2020=F2021+1D．S2020=F2021－1

分析本题考查累加法.

答案：B.

试题4在等差数列{an}中， a1>0，3a8=5a13， 使Sn最大的n的值是（）.

A．21B．20C．19D. 18

答案：B.

试题5设n∈N*，xn是曲线y=x2n+1+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标，则xn=（）.

A．2n－12n+1  B．2n+12n－1

C．－2n+1 D．2n－1

答案：A.

试题6设数列｛an}的前n项和Sn=12n2+12n. 若bn=an+2anan+1·2n，则{bn}的前n项和Tn=（）.

A．Tn=1－1n·2n

B．Tn=1－1（n+1）·2n+1

C．Tn=1－1n·2n+1

D．Tn=1－1（n+1）·2n

分析本题一是考查数列的通项公式；二是考查拆项求和法.

答案：D.

试题7数列{an}满足a1=1，an+1=a2n+2an，则使得an+1>2023的最小正整数n的值为（）.

A.4B.5C.6D.7

分析本题考查递推型数列的通项，解题关键是取对数构造出等比数列.

答案：C.

试题8在数列{an}中，已知an>2，a1=2000，且an+1=an·ann+12. 则an与2·103n（n∈N*）的大小关系是（）.

A.an<2·103n B. an≤2·103n

C. an>2·103nD.an≥2·103n

分析本题一是考查递推型数列的单调性；二是考查不等式的放缩；三是考查累乘法.

答案：B.

2.2多选

试题1已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有Sn≤S4，则a5a6的值可能为（）.

A．2B. 12C. 13D. 34

答案：BC.

试题2设b∈R，数列{an}的前n项和Sn=3n+b，则（）.

A.{an}是等比数列

B.{an}是等差数列

C. 当b=－1时，{an}是等比数列

D. 当b≠－1时，an=3+b，n=1，

2·3n－1，n≥2.

分析本题考查等比数列的判定和通项公式.

答案：CD.

试题3数列{an}满足：a1=1，a1+a2+a3+…+an－1=4an（n≥2），则下列结论中正确的是（）.

A.a2=14B.an+1=54an，n≥2

C.{an}是等比数列

D.a1+a2+a3+…+an=54n－1，n∈N

分析本题一是考查数列的函数特征（赋值法）；二是考查等比数列的判定；三是考查数列的求和.

答案：ABD.

试题4已知等差数列{an}满足a21+a24=1，则a2+a3的可能取值为（）.

A.－3B.－2C.1D.32

分析本题一是考查等差数列的性质；二是考查三角代换；三是考查基本不等式.

答案：BCD.

试题5已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且Sn=2Sn－1+n－1（n≥2），则下列结论中正确的是（）.

A.an>Sn－1B. {an+1}是等比数列

C. Sn<2anD. Sn2n是递增数列

分析本题一是考查递推数列的性质；二是等比数列和递增数列的判定；三是考查数列关系式的大小比较.

答案：ACD.

试题6已知0＜a＜1，Sn是等差数列{an}的前n项和， 则a2Sn+1与aSn·aSn+2的大小关系可能是（）．

A.a2Sn+1>aSn·aSn+2B. a2Sn+1=aSn·aSn+2

C.a2Sn+1

分析本题考查作差比较法和分类讨论法.

答案：ABC.

2.3填空

2.3.1一题一空

试题1在等差数列{an}中，a1>0，S4=S13.当n=时，Sn取到最大值.

答案：8，9.

试题2在数列{an}中，nan+1-（n+1）an=1（n∈N*），且a1=1，则通项an=.

分析本题考查递推型数列的通项，解题关键是先变形为an+1－an=f（n）的形式，再累加.

答案：2n-1，N∈N*.

试题3设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且3Sn=（n+t）an（n∈N，t∈R），则Sn=.

分析本题考查递推型数列的通项，先求参数t，再用累乘法求Sn.

答案：n（n+1）（n+2）3.

试题4在数列{an}中，2an=1an－1+1an+1（n≥2，n∈N），且a2=23，a4=25，则a10=.

分析本题考查等差数列的意义.

答案： 211.

试题5已知数列{an}的前n项和Sn=2an－2n+1，若不等式2n2－3n－5<（λ－3）an对任意的n∈N*恒成立，则整数λ的最小值为.

分析本题一是考查数列的函数特性；二是考查构造等差数列法；三是考查恒成立数列不等式的参数范围.

答案：4.

试题6数列{an}的通项公式为an=（2n－1）sinnπ2+1（n∈N），其前n项和为Sn，则S23=.

分析本题考查既非等差又非等比，但具有周期性的数列求和问题，解题关键是寻找其周期性变化规律.

答案：－1.

试题7某空调制造厂用若干台效率相同的机械组装空调. 若所用机械同时开动则需24小时完成某项任务；若一台接一台地开动，每相邻两台启动时间间隔都相同，那么到完成该项任务时，第一台的工作时间是最后一台的7倍，则最后一台工作的时间是小时.

分析本题考查等差数列的实际应用和建模思想.

答案：6.

试题8著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数f（x），若数列{xn}满足xn+1=xn－f（xn）f′（xn），则称数列{xn}为牛顿数列．已知函数f（x）=x2－1，数列{xn}为牛顿数列，an=lnxn+1xn－1，且a1=1，xn>1，则a8=.

分析本题一是考查对新定义数列的阅读、理解和迁移能力；二是考查运算变形水平.

答案：128.

试题9在①Sn=n2+n；②a3+a5=16且S3+S5=42;③bn+1bn=n+1n且S7=56這三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列， ，b1=a1，b2=a1a22，求数列1Sn+bn的前n项和为Tn.

分析本题属于条件开放性问题，是新课程的亮点.其实质是要确定数列{an}，能有效考查思维的批判性、流畅性和深刻性.条件③中的bn+1bn=n+1n，显然与{bn}是等比数列矛盾，不予考虑.只要思考①②即可.

答案：①或②；Tn=2n+1-1n+1-1.

试题10在公差为d（d≠0）的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q（q≠－1）的等比数列{bn}中，.

分析本题考查从等差数列向等比数列的类比，有思维深度.

答案：若Tn是{bn}的前n项和，则数列T20－T10，T30－T20，T40－T30也成等比数列，且公比为q10.

2.3.2一题两空

试题1已知数列{an}的前n项和为Sn=3·2n+1（n∈N），则数列{a2n}的通项公式是，其前n项和为.

答案：a2n=6·4n－1，Sn=2·4n－2.

试题2已知Sn是各项均不为零的等差数列{an}的前n项和，且S2n－1=a2n（n∈N），则数列{an}的通项公式an=；若存在n∈N，使不等式1a1a2a3+1a2a3a4+1a3a4a5+…+1anan+1an+2≥14n2+12nλ成立，则实数λ的最大值是.

分析本题一是考查等差数列的性质；二是考查拆项求和法（分母是三项的积）；三是考查能成立数列不等式的参数范围.

答案：2n－1;445.

试题3在等比数列{an}中，a27=a9且a8>a9，则公比q的取值范围是 ；若∑ni=1（ai－1ai）>0，則n的最大值是.

分析本题一是考查等比数列的性质；二是考查恒成立不等式.

答案：0

试题4设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0（n=1，2，…）.则q的取值范围是 ；若bn=an+2－32an+1，公比q>2，且{bn}的前n项和为Tn，则Tn与Sn的大小关系是TnSn（填>，<或=）.

分析本题一是考查等比数列求和公式和对公比q的分类讨论；二是考查作差比较法.

答案：（－1，0）∪（0，+∞）；>.

2.4大题

试题1在正项数列{an}中，已知an+1=an+mann+12，且m>0. 若对任意n∈N，都有an≤nn+1成立，有且仅有一个n使等号成立，求{an}中项的最小值和m的值.

分析本题一是考查数列{an}的单调性；二是考查累加法求an满足的不等式；三是考查数列恒成立不等式.

试题2已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+n2，其中n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=（－1）nan+2n，求数列{bn}的前2n项的和T2n.

分析 本题一是考查递推数列的函数观点求通项；二是考查并项求和法，注意奇偶讨论.

试题3设数列{an}的前n项和为Sn，且a2n－2Sn·an+1=0，an>0（n∈N）.

（1）求an和Sn；

（2）若n≥3，证明：1S21+1S22+…+1S2n>21－12n.

分析本题一是考查递推数列的函数观点求通项；二是考查和式不等式的证明，注意转化思想的运用.

试题4在正项数列{an}中，a1=1，a5=16.函数f（x）=a2n+1x－anan+2（cosx+sinx），其中n∈N，且满足f′（0）=0.

（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Sn.

分析本题一是考查等比数列的意义，利用f′（0）=0得到递推关系式；二是考查错位相减法求和.

试题5设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）都在直线2x+y-2=0上.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2）是否存在实数λ，使得数列Sn+λ·n+λ2n为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

分析本题一是考查递推数列的函数观点求通项，利用点（an+1，Sn）在直线上得到递推式；二是考查等差数列的意义和性质，利用前三项成等差数列求出实数λ，再代回检验，或直接利用等差数列的充要条件an=pn+q.

试题6对于正项数列{an}，定义An=na1+2a2+3a3+…+nan（n∈N） 为{an}的期望值. 是否存在数列{bn}，其期望值是2n+2？若存在，求出数列{bn}的通项；若不存在，请说明理由.

分析本题考查阅读理解迁移能力，从假设存在出发，探究是否能找到符合条件的数列{bn}.

试题7已知函数f（x）定义在区间（－1，1）内，f12=－1，且当x，y∈（－1，1）时，恒有f（x）－f（y）=fx－y1－xy.数列{an}满足：

a1=12，an+1=2an1+a2n，

bn=1f（a1）+1f（a2）+…+1f（an）.

（1）求证：f（x）在（－1，1）内为奇函数；

（2）求f（an）的表达式；

（3）是否存在自然数m，使得对任意n∈N*，都有bn<14（m－8）成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.

分析本题一是考查奇函数的定义；二是考查抽象函数中的赋值法（在抽象函数关系式中赋数列的通项an）；三是考查数列中的恒成立不等式（先求和式bn，再处理恒成立不等式）.

参考文献

［1］中国高考报告学术委员会.中国高考报告2023[M].北京：新华出版社，2023.

作者简介

李昭平（1963—），男，中学正高级教师（3级）， 安徽省数学特级教师，安徽省太湖中学副校长，安庆市数学会副理事长，安庆市城镇卓越教师班（理科）导师；主要从事高中数学教育教学研究；发表论文580余篇；省内外进行名师交流讲座190多场.