复合应用题的算术法解题策略

沈冬琴

摘  要：复合应用题是由基本应用题组成的，解决复合应用题应打好解决基本应用题的基础。分析复合应用题的解法，应根据题目条件寻找解题策略，数量关系分析法、线段图法、转化法、逆推法、假设法、比较法、设数法等解决复合应用题的方法，各具特色，彼此间又互相交错。有时一个问题可以运用多种策略解决，教学时应重视一题多解。

关键词：小学数学；复合应用题；解题策略

一、数量关系分析法

（一）综合法

运用综合法解复合应用题，就是从题目的已知条件出发，解决一个易于解决的问题，再把得到的结论作为条件继续解决下一个问题。

例１． 读一本３２０页的小说书，读了７天，每天读了３０页。剩下的要在２天读完，平均每天要读多少页书？

分析：在剩下的２天内要读完，就必须知道７天已经读了多少页，还剩下多少页没读。通过分析建立解题思路：先求出７天已读的页码数，再求出剩下未读的页码数，最后求出最后２天中平均每天要读的页码数。（３２０－７×３０）÷２＝５５。平均每天要读５５页书。

（二）分析法

分析法，就是执果索因，由未知追溯到已知。采用分析法解决问题，从题目中的问题入手，分析数量关系，找出解答问题的两个条件，倘若这两个条件有一个未知，那么就通过其他条件解决这个未知的事项。不断推理，直到找出所需要的条件为已知条件为止。

例２． 甲、乙两班车分别从兴化的边城车站和南京的江宁车站同时出发，甲车从边城前往江宁，每小时８５千米，乙车从江宁前往边城，每小时７５千米。两车在途中相遇时，甲车比乙车多行了１５千米。兴化的边城车站与南京的江宁车站相距多远？

分析：欲求兴化与南京相距多远，要么需要知道两车各行了多少千米，要么需要知道两车相遇时行驶了多长时间。可是两个条件都不具备。继续分析，当他们相遇时，甲车比乙车多行了１５千米，这看似多余的条件，却起着关键性的作用。正是由于有这个条件，才能判定两车相遇时行走的时间。１５÷（８５－７５）＝１．５。两车相遇时，都行驶了１．５小时。８５×１．５＋７５×１．５＝２４０（千米）。兴化的边城车站与南京的江宁车站相距２４０千米。

用分析法解复合应用题，对提高学生分析问题解决问题的能力很有帮助。

（三）分析综合法

分析综合法就是解决问题时同时运用分析法和综合法，两种方法交替运用，有顺水推舟，有逆流而行，灵活多变，相辅相成。

例３． 合唱队有６０名成员，因场地限制，只能派部分成员参加演出。选出了女生人数的 和８名男生组成新的演出队伍，剩下的男生和女生人数恰好相等。合唱队中的男生和女生人数各是多少？

分析：女生人数选出了 ，还有 ，男生选出８人后与女生剩下的人数相等，也是女生人数的 。接下来就要考虑具体数量与分率之间的对应关系。当男生选出８人后，总人数成了６0－８＝５２（人）。这５２人中包含了全体女生和部分男生人数相当于女生的 。５２÷１＋ ＝４０（人）。合唱队中女生有４０人，男生有２０人。

解题时，把可能得到的结果也落实下来，再从结论往前推，看需要求什么，从哪些地方着手。理清解题思路再落笔。

二、線段图法

（一）利用线段图帮助学生理清各部分数量关系

小学生以形象思维为主，一些具体的数据和事物对他们比较敏感，做起来得心应手。而复合应用题中的数量关系往往比较抽象，对小学生来说理解起来略有困难，阻碍着他们顺利解题。线段图能有效地帮助他们厘清题目中各数量之间的关系，达到解决问题的目的。

例４． 为了帮助政府控制疫情，减轻人民群众的痛苦，为民口罩厂人停机不停，２４小时不停生产。上半年完成了全年计划的 ，下半年完成了全年计划的 ，结果全年超额生产了１２０箱口罩。为民口罩厂全年计划生产多少箱口罩。

分析：解分数应用题，找出数据及其对应分率很重要，用数据除以对应的分率得到总数，可以进一步解决题目中的其他问题。本题中已知的两个分率与已知的数据都不对应。画出线段图，如图１。借助线段图找出１２０这个数据所对应的分率。

由线段图可以发现全年完成的比“单位１”多了 ＋ －１＝ 。这正是１２０箱所对应的分率。所以全年计划生产１２０÷ ＝２８８（箱）。为民口罩厂全年计划生产２８８箱口罩。

（二）借助线段图能形象直观地描述数量关系

线段图可以直观地表示出物体运行的轨迹，借助线段图可以解决一些比较复杂的动点运行的问题。

例５． 甲、乙两车同时从Ａ、Ｂ两地相向而行，在距Ｂ地６４千米处相遇，两车各自到达对方车站后，立即返回原地，途中又在距Ａ地４８千米处相遇。求两次相遇地点之间的距离。

分析：这是一道比较抽象的应用题，很多学生拿到题目无从下手，从已知条件到问题的解答几乎找不到关联之处。倘若画出线段图演示出过程（如图2）就能豁然开朗。

从线段图可以看出，甲乙两车第一次相遇时，两车所行路程之和恰为Ａ、Ｂ两地之间的距离，两车相遇点距离Ｂ地６４千米，就是乙车行了６４千米；当两车第二次相遇时，两车所行路程之和恰为Ａ、Ｂ两地之间的距离的３倍。由此可以算出当第二次两车相遇时，乙车总共行驶了６４×３＝１９２（千米）。而两车第二次相遇点距离Ａ地４８千米，可以知道Ａ、Ｂ两地之间的距离为１９２－４８＝１４４（千米）。最终得出两次相遇地点之间的距离为１４４－４８－６４＝３２（千米）。

三、转化法

把不容易解决的问题，转化为一个熟悉的问题，或者从另一个角度审视原来的问题，找到解决问题的突破口，这种解决问题的方法称为转化法，转化法是解决复合应用题常用的方法之一。

例６． 小明和小红分别从Ａ、Ｂ两地同时出发，相向而行，小明行了全程的 与小红相遇，小明每小时行９千米，小红行完全程需要２．４小时。求Ａ、Ｂ两地间的距离。

分析：小明和小红同时出发相向而行，当小明行了全程的 与小红相遇时，小红行了全程的 。可见小明行的路程与小红行的路程之比为３∶５，在时间相同的情况下，说明小明的速度与小红的速度之比亦为３∶５，而小明的速度是９千米／小时，所以小红的速度是１５千米／小时。２．４×１５＝３６（千米），Ａ、Ｂ两地间的距离是３６千米。

本题把小明和小红两人所行路程之间的关系，转化成两人的速度之间的关系，根据已知的小明的速度，求出小红的速度，最后求出Ａ、Ｂ两地的距离。也可以把小红行完全程需要２．４小时，把同一时间两人所行路程之间的关系，转化为行完全程两人所需时间的关系为５∶３．注意在路程不变的情况下，速度与时间成反比。小红行完全程需要２．４小时，那么小明行完全程就需要４小时。９×４＝３６，得到两地之间的距离为３６千米。

四、逆推法

数学学习中，加法和减法、乘法和除法、乘方和开方之间都存在着逆运算，利用它们之間的关系，在解决复合应用题时，从最后的情况开始往前一步一步地逆推，得到初期的相关数据，这种方法称为逆推法。常说的反过来想一想，其实就是运用的逆推法。

例７． 疫情防控期间，李叔叔用拖拉机把Ａ地的蔬菜义务运到Ｂ地。拖拉机装满油从Ａ地出发，到Ｂ地时油箱中的油用去了 ，加了１０升油返回。在从Ｂ地返回Ａ地的途中用去了Ｂ地加油后油箱中油的 。李叔叔再次加９升油从Ａ地启程，此时油箱中有１３升油。该拖拉机油箱装满时有多少升油？

分析：从结果往前推，如果第三次不加油，油箱中应存油１３－９＝４升，这４升是用去 后剩下的，那么在Ｂ地加油后，油箱中有油４÷１－ ＝１６（升）。在Ｂ地加油前，油箱中存油１６－１０＝６（升），这６升油是Ａ地加满油箱用去 后剩下的。６÷１－ ＝１８（升）。拖拉机一开始装满油是１８升，也就是该拖拉机油箱装满时有１８升油。

五、假设法

根据题目的条件或结论，用假设的方法算出某种结果，将这个结果与实际情况做比较，找出其中的偏差，再分析出现偏差的原因，实施纠偏，达到解决问题的目的，这种方法称为假设法。

例８． 甲、乙两堆煤共重２４０吨，从甲堆煤调出 ，乙堆煤调出 ，共调出１２０吨。两堆煤原来各有多少吨？

分析：假设从乙堆煤也调出的是 ，那么两堆煤应调出２４０× ＝９６（吨），与实际１２０吨相差２４吨，究其原因是实际从乙堆煤调出的是 。２４÷ － ＝１４０（吨），２４０－１４０＝１００。原来甲堆煤有１００吨，乙堆煤有１４０吨。

六、比较法

通过对应用题条件之间的比较，或难与易题目的比较，找出它们之间的联系与区别，分析测试联系与区别的原因，从而确定解题思路的一种方法就是比较法。

例９． 用两种卡车装货，８辆大卡车和５辆小卡车一次能装货１７０吨，７辆大卡车和６辆小卡车一次能装货１６５吨。每辆大卡车和小卡车一次能装多少吨货物？

分析：比较两次装货的情况，第一次８辆大卡车和５辆小卡车，共装货１７０吨；第二次７辆大卡车和６辆小卡车，共装货１６５吨。第二次比第一次少装１７０－１６５＝５（吨），究其原因是第一次与第二次相比，大卡车多８－７＝１（辆），小卡车少６－５＝１（辆）。

车辆总数不变，将其中一辆大卡车换成了一辆小卡车，结果就少装了５吨货，可见每辆大卡车比每辆小卡车多装５吨货。回到第一次“８辆大卡车和５辆小卡车一次能装货１７０吨”中，如果８辆大卡车换成８辆小卡车，则将会少装８×５＝４０（吨），１７０－４０＝１３０（吨），１３０÷（８＋５）＝１０（吨），每辆小卡车一次能装１０吨货物，每辆大卡车一次能装１５吨货物。

七、设数法

小学数学中，有的应用题看似缺乏一些关键数据，致使学生难以解答。其实类数的大小对解决问题的结果没有影响，这时不妨对关键的数设一个具体的值。解答好了以后，鼓励学生换一个数再试试，是否与刚才的结论一致，如果确实一致，说明解答正确。

例１０． 早晨，小刚从家到学校，平均速度是２６０米／分；晚上，小刚从学校回家，平均速度是２４０米／分．这天小刚往返一趟的平均速度是多少？

分析：本题中，既没有小刚其中某次行驶的时间，也没有小刚家与学校之间的距离，可谓是缺少关键数据。然而这些所谓的关键数据对解题的结果没有丝毫影响。不妨设小刚上学时的时间是５分钟，那么小刚放学回家的时间就是２６０×５÷２４０＝ 。小刚往返的平均速度是（２６０×５）÷５＋ ＝ 。

各种解题策略其实是针对不同类型的问题，解决问题之前，先审题，然后选择确定用哪种策略，有些问题可以运用不同的解题策略。指导学生学法时，引导学生尽可能多地用起来。

参考文献：

［１］林伟慧． 如何提高学生解答分数应用题的能力［Ｊ］． 考试周刊，２０１６（８５）：５２－５３．

［２］曾光． 浅谈应用题的算术解法到代数解法的过渡［Ｊ］． 江西教育，１９８５（０１）：３０－３１．

［３］徐辉． 论小学生解题能力［Ｊ］． 教育研究，１９９８（１０）：２８－３３．

（责任编辑：罗  欣）