基于广义量词理论的亚氏三段论逻辑的公理化

李 慧，张 呈

（安徽大学哲学学院，安徽 合肥 230039）

亚氏三段论是自然语言中重要的推理形式，早在2300 多年前，亚里士多德及其学派就利用换位法、归谬法和显示法等方法对其有效性进行了非形式化的研究[1]。计算机科学和人工智能的发展，急需逻辑学的形式化和公理化，一些学者利用现代逻辑手段，展开了亚氏三段论的形式化研究[1-3]。

由于亚氏三段论大前提、小前提和结论都可以由A、E、I、O 这四种直言命题组成，而中项在前提中又有四种不同的位置，因此亚氏三段论共有（4×4×4×4=）256 种，其中有效的三段论只有24 种。Łukasiewicz（1957）利用命题推理规则[4]，从AAA-1 和AII-3 这两个亚氏三段论出发，形式化地推导出了另外22 个有效三段论。蔡曙山（1988）在Łukasiewicz 这一工作的基础上[5]，利用一阶逻辑的知识，把AAA-1 和AII-3 这两个亚氏三段论和(aEb→bEa)（即亚氏量词no 的对称性）作为基础公理，对其进行了公理化。张晓君和李晟（2016）利用广义量词理论[1]，则从AAA-1 和EAE-1 这两个亚氏三段论出发，形式化地证明了另外22 个有效三段论。黄梦瑶和张晓君（2020）利用广义量词理论[6]，对Łukasiewicz（1957）的工作进行了阐释。

总之，在已有的文献中，至少是从两个有效的亚氏三段论，才能够推演出其他亚氏三段论（张晓君和吴宝祥（2021））[7]。但是笔者的研究表明：利用亚氏量词的三种否定量词的定义、亚氏量词no和some的对称性、多个命题推理规则，仅仅从EIO-3这一个有效三段论出发，就可以推演出其他23个有效的亚氏三段论。

在亚氏三段论逻辑的可靠性和完全性等元逻辑研究方面，Moss（2008）利用证明树或者典范模型的方法研究了13 个三段论片段的可靠性和完全性[8]，但其证明过程不够规范。张晓君（2020）对Moss（2008）的工作进行了阐释[9]，周北海等（2018）把Axx、Axx--、Ax--x 和Exx-这4 个规律作为基础公理（其中“-”是负词项算子[10]），并把AAA-1和EAE-1三段论、EE-换位率、AI-换位率、EA-换质率和OI-换质率这6个非命题逻辑的规则作为初始规则（因此其基础公理实则是10个），给出了亚氏三段论逻辑的公理系统，并利用典范模型的方法证明了其完全性和可靠性。

笔者的研究表明：仅仅以EIO-3 三段论、all(a,a)（即所有a 是a）和some(a,a)（即有些a 是a）这3个有效公式为基础公理，利用亚氏量词的三种否定量词的定义、亚氏量词no和some的对称性、多个命题推理规则，就可以给出亚氏三段论逻辑的形式化公理系统；而且利用典范模型的方法，就可以直观简洁地证明其完全性和可靠性，从而大大简化周北海等（2018）的完全性和可靠性的证明。

广义量词理论[2][11]认为：（1）亚氏三段论实则表征了四个亚氏量词（all、no、some 和not all）的语义性质和推理性质；（2）这四个亚氏量词是〈1,1〉类型的特殊广义量词；（3）包含任一亚氏量词Q的直言命题都具有Q(x,y)这样的三分结构[12]，其中x 表示主项，y 表示谓项。因此全称肯定命题A、全称否定命题E、特称肯定命题I 和特称否定命题O 可以分别表示为all(x,y)、no(x,y)、some(x,y)和not all(x,y)这四种形式的语句，分别读作：所有x 是y、所有x 都不是y（即没有x 是y）、有些x 是y、有些x不是y（即并非所有x是y）。

一、亚氏三段论系统的语言和语义

1.初始符号

（1）原子词项变元：x,y,z

（2）一元否定算子：﹁

（3）二元蕴涵算子：→

（4）量词Q：all

（5）括号：(,)

2.形成规则

（1）如果Q是一个量词，x和y是原子词项变元，那么Q(x,y)是一个合式公式；

（2）如果p和q是合式公式，那么﹁p和p→q是合式公式；

（3）只有通过（1）和（2）得到的公式才是合式公式。

令D 是原子词项变元的论域，并令Q 是量词，Q 的外否定量词记作﹁Q，Q 的内否定量词记作Q﹁，Q 的对偶否定量词记作﹁Q﹁。

广义量词理论认为，在四个亚氏量词（all、no、some 和not all）中，任何三个亚氏量词都是另一个亚氏量词的三种否定（内否定、外否定、对偶否定）量词之一。具体地说：all与not all、no与some互为外否定；all 与no、not all 与some 互为内否定；all 与some、not all 与no 互为对偶否定。因此任何一个亚氏量词都可以由另一个亚氏量词加以定义。例如：no=all﹁；not all=﹁all；some=﹁all﹁，因此本文作为初始符号的量词只有all，其他三个量词可以通过否定量词的定义得到。

3.相关定义

（1）联结词⋀的定义：(p⋀q) =def﹁(p→﹁q)

（2）联结词↔的定义：(p↔q) =def(p→q)⋀(q→p)

（3）量词Q的内否定量词的定义：Q﹁(x,y) =defQ(x,D-y)

（4）量词Q的外否定量词的定义：﹁Q(x,y) =def并非Q(x,y)

（5）量词not all的定义：not all(x,y) =def﹁all(x,y)

（6）量词no的定义：no(x,y) =defall﹁(x,y)

（7）量词some的定义：some(x,y) =def﹁all﹁(x,y)

由以上形成规则和相关定义可知：all(x,y)、no(x,y)、some(x,y)、not all(x,y)是合式公式，no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))也是合式公式，分别读作“所有x是y”、“没有x是y（即‘所有x都不是y’）”、“有些x是y”、“并非所有x是y（即‘有些x不是y’）”、“如果没有y是z，那么：‘若有些y是x’，则‘并非所有x是z’”。其他与此类似。

由于本文只研究包含all(x,y)、no(x,y)、some(x,y)和not all(x,y)这四种形式的语句，所以不存在任何形式的递归。

二、亚氏三段论公理系统

EIO-3 三段论在亚氏三段论系统中可以被证实，记作⊢no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))，其他记法与此类似。由基础公理和推理规则可以推演出该系统中可以被证实的三段论。

1.基础公理

（1）A0：如果α是命题逻辑中有效公式，那么⊢α。

（2）A1：⊢all(x,x)

（3）A2：⊢some(x,x)

（4）A3（即EIO-3）：⊢no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))

下文将用到如下命题逻辑的推理规则。

2.推理规则

在下列规则中α,β,γ和δ均为合式公式。

（1）分离规则：从⊢(α→β)和⊢α可推演⊢β。

（2）前件互换规则：从⊢(α→(β→γ))可推演⊢(β→(α→γ))。

（3）后件弱化规则：从⊢(α→(β→γ))和⊢(γ→δ)可推演⊢(α→(β→δ))。

（4）逆否规则：从⊢(α→β)可推演⊢(﹁β→﹁α)。

（5）反三段论规则：从⊢(α→(β→γ))可推演⊢(α→(﹁γ→﹁β))。

3.亚氏三段论的证明系统

由以上定义、基础公理和推理规则，可以得到以下定理：

定理1（内否定定理）：

（1）⊢all(x,y)↔no﹁(x,y)；（2）⊢no(x,y)↔all﹁(x,y)；

（3）⊢some(x,y)↔not all﹁(x,y)；（4）⊢not all(x,y)↔some﹁(x,y)。

定理1表示no与all互为内否定，not all与some互为内否定。

证明：此定理可以根据前面给出的相关定义和推理规则加以证明。

[1]⊢some(x,y)=def﹁all﹁(x,y)（根据some的定义）

[2]⊢not all(x,y) =def﹁all(x,y)（根据not all的定义）

[3]⊢some(x,y)↔not all﹁(x,y)（即（3），根据[1]、[2]可得）

其他证明与此类似。证毕。

定理2（外否定定理）：

（1）⊢all(x,y)↔﹁not all(x,y)； （2）⊢not all(x,y)↔all﹁(x,y)；

（3）⊢some(x,y)↔﹁no(x,y)；（4）⊢no(x,y)↔﹁some﹁(x,y)。

定理2表示not all与all互为外否定、no与some互为外否定。

证明：此定理可以根据前面给出的相关定义和推理规则加以证明。

[1]⊢some(x,y)=def﹁all﹁(x,y)（根据some的定义）

[2]⊢no(x,y) =defall﹁(x,y)（根据no的定义）

[3]⊢some(x,y)↔﹁no(x,y)（即（3），根据[1]、[2]可得）

其他证明与此类似。证毕。

定理3（对称性定理）：

（1）some的对称性：⊢some(x,y)→some(y,x)

（2）no的对称性：⊢no(x,y)→no(y,x)

证明：根据前面给出的相关定义和推理规则即可证明。

[1]⊢no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))（即EIO-3，即公理A3）

[2]⊢all﹁(y,z)→(some(y,x)→some﹁(x,z))（根据[1]、内否定定理）

[3]⊢all(y,D-z)→(some(y,x)→some(x,D-z))（根据[2]和内否定量词的定义）

[4]⊢all(y,z)→(some(y,x)→some(x,z))（即AII-3，根据[3]可得）

[5]⊢all(y,y)→(some(y,x)→some(x,y))（根据[4]可得）

[6]⊢all(y,y)（根据公理A1）

[7]⊢some(y,x)→some(x,y)（根据[5]、[6]和分离规则）

[8]⊢some(x,y)→some(y,x)（根据[7]可得)

[9]⊢some(x,y)↔some(y,x)（即（1），根据[7]、[8]和↔的定义）

[10]⊢(some(y,x)→some(x,y))→(﹁some(x,y)→﹁some(y,x))（根据[7]和逆否规则）

[11]⊢﹁some(x,y)→﹁some(y,x)（根据[8]、[10]和分离规则）

[12]⊢no(x,y)→no(y,x)（根据[11]和外否定定理）

[13]⊢no(y,x)→no(x,y)（根据[12]可得）

[14]⊢no(x,y)↔no(y,x)（即（2），根据[12]、[13]和↔的定义）

证毕。

定理4（差等定理）：（1）EO-差等定理：⊢no(x,y)→not all(x,y)

（2）AI-差等定理：⊢all(x,y)→some(x,y)

证明：根据前面给出的相关定义和推理规则即可证明。

[1]⊢no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))（即EIO-3，即公理A3）

[2]⊢some(y,x)→(no(y,z)→not all(x,z))（根据[1]和前件互换规则）

[3]⊢some(y,y)→(no(y,z)→not all(y,z))（根据[2]可得）

[4]⊢some(y,y)（根据公理A1）

[5]⊢no(y,z)→not all(y,z)（根据[3]、[4]和分离规则）

[6]⊢no(x,y)→not all(x,y)（即（1），根据[5]可得）

[7]⊢(no(y,z)→not all(y,z))→(﹁not all(y,z)→﹁no(y,z))（根据[6]和逆否规则）

[8]⊢(no(y,z)→not all(y,z))→(all(y,z)→some(y,z))（根据[7]、外否定定理）

[9]⊢all(y,z)→some(y,z)（根据[8]、[9]和分离规则）

[10]⊢all(x,y)→some(x,y)（即（2），根据[9]可得）

证毕。

在下面定理5中，“⊢EIO-3⇒⊢EIO-4”表示，如果⊢EIO-3三段论，那么⊢EIO-4，即这两个三段论具有可化归性。其他与此类似。由于EIO-3三段论就是基础公理A3，因此有：

定理5：仅以EIO-3 三段论为基础公理，就可以推演出其他23 个有效的三段论。根据证明的顺序，依次有：

（1）⊢EIO-3⇒⊢EIO-4

（2）⊢EIO-3⇒⊢EIO-1

（3）⊢EIO-3⇒⊢EIO-1⇒⊢EIO-2

（4）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2

（5）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4

（6）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒⊢EAE-1

（7）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒⊢EAE-2

（8）⊢EIO-3⇒⊢AII-1

（9）⊢EIO-3⇒⊢AII-1⇒⊢AII-3

（10）⊢EIO-3⇒⊢AII-1⇒⊢IAI-4

（11）⊢EIO-3⇒⊢AII-1⇒⊢IAI-3

（12）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEO-2

（13）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEO-2⇒⊢AEO-4

（14）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒⊢EAO-1

（15）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒⊢EAE-2⇒⊢EAO-2

（16）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEO-2⇒⊢AAI-1

（17）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEO-2⇒⊢AAI-1⇒⊢AAI-4

（18）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEO-2⇒⊢EAO-3

（19）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEO-2⇒⊢EAO-3⇒⊢EAO-4

（20）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒⊢EAO-1⇒⊢AAI-3

（21）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒⊢AAA-1

（22）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒⊢AAA-1⇒⊢AOO-2

（23）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒⊢AAA-1⇒⊢OAO-3

证明：

[1]⊢no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))（即EIO-3，即公理A3）

[2]⊢no(y,z)↔no(z,y)（根据no的对称性）

[3]⊢no(z,y)→(some(y,x)→not all(x,z))（即EIO-4，根据[1]、[2]可得）

[4]⊢some(y,x)↔some(x,y)（根据some的对称性）

[5]⊢no(y,z)→(some(x,y)→not all(x,z))（即EIO-1，根据[1]、[4]可得）

[6]⊢no(z,y)→(some(x,y)→not all(x,z))（即EIO-2，根据[2]、[5]可得）

[7]⊢no(y,z)→(﹁not all(x,z)→﹁some(y,x))（根据[1]和反三段论规则）

[8]⊢all(x,z)→(no(y,z)→no(y,x))（即AEE-2，根据[7]、外否定定理和前件互换规则）

[9]⊢all(x,z)→(no(z,y)→no(y,x))（即AEE-4，根据[2]、[8]可得）

[10]⊢no(y,x)↔no(x,y)（根据no的对称性）

[11]⊢no(z,y)→(all(x,z)→no(x,y))（即EAE-1，[9]、[10]和前件互换规则）

[12]⊢no(y,z)→(all(x,z)→no(x,y))（即EAE-2，根据[2]、[9]、[10]和前件互换规则）

[13]⊢some(y,x)→(﹁not all(x,z)→﹁no(y,z)) （根据[1]、反三段论规则和前件互换规则）

[14]⊢all(x,z)→(some(y,x)→some(y,z))（即AII-1，根据[13]、外否定定理和前件互换规则）

[15]⊢all(x,z)→(some(x,y)→some(y,z))（即AII-3，根据[4]、[14]可得）

[16]⊢some(y,z)↔some(z,y)（根据some的对称性）

[17]⊢some(y,x)→(all(x,z)→some(z,y))（即IAI-4，[14]、[16]和前件互换规则）

[18]⊢some(x,y)→(all(x,z)→some(z,y))（即IAI-3，根据[4]、[14]和前件互换规则）

[19]⊢no(y,x)→not all(y,x)（根据EO-差等定理）

[20]⊢all(x,z)→(no(y,z)→not all(y,x))（即AEO-2，根据[8]、[19]和后件弱化规则）

[21]⊢all(x,z)→(no(z,y)→not all(y,x))即AEO-4，根据[2]、[20]可得）

[22]⊢no(x,y)→not all(x,y)（根据EO-差等定理）

[23]⊢all(x,z)→(no(z,y)→not all(x,y))（即EAO-1，根据[9]、[10]、[22]和后件弱化规则）

[24]⊢no(y,z)→(all(x,z)→not all(x,y))即EAO-2，根据[12]、[22]和后件弱化规则）

[25]⊢all(x,z)→(﹁not all(y,x)→﹁no(y,z))（根据[20]和反三段论规则）

[26]⊢all(x,z)→(all(y,x)→some(y,z))（即AAI-1，根据[25]和外否定定理）

[27]⊢all(y,x)→(all(x,z)→some(z,y))（即AAI-4，根据[16]、[26]和前件互换规则）

[28]⊢no(y,z)→(﹁not all(y,x)→﹁all(x,z)) （根据[20]、反三段论规则和前件互换规则）

[29]⊢no(y,z)→(all(y,x)→not all(x,z))（即EAO-3，根据[28]和外否定定理）

[30]⊢no(z,y)→(all(y,x)→not all(x,z))（即EAO-4，根据[2]、[29]可得）

[31]⊢all(x,z)→(﹁not all(x,y)→﹁no(z,y))（根据[23]和反三段论规则）

[32]⊢all(x,y)→(all(x,z)→some(z,y))（即AAI-3，根据[31]、外否定定理和前件互换规则）

[33]⊢all(x,z)→(all﹁(z,y)→all﹁(x,y))（根据[9]、[10]和no的定义）

[34]⊢all(x,z)→(all(z,D-y)→all(x,D-y))（根据[33]和内否定量词的定义）

[35]⊢all(x,z)→(all(z,y)→all(x,y))（即AAA-1，根据[34]可得）

[36]⊢all(y,z)→(﹁all(x,z)→﹁all(x,y))（根据[35]和反三段论规则）

[37]⊢all(y,z)→(not all(x,z)→not all(x,y))（即AOO-2，根据[36]和外否定定理）

[38]⊢all(x,y)→(﹁all(x,z)→﹁all(y,z))（根据[35]、反三段论规则和前件互换规则）

[39]⊢not all(x,z)→(all(x,y)→not all(y,z))（即OAO-3，根据[38]、外否定定理和前件互换规则）

证毕。

由定理5 可以看出：利用命题逻辑推理规则，仅仅以EIO-3 三段论为基础公理，经过39 步，就可以推演出其他23 个有效三段论。而且在推演的过程中，清晰地揭示了相同或者不相同的格与式的三段论之间的可化归关系。通过这些有效三段论之间的可化归关系，可以看出，24个有效三段论之间，存在着“普遍联系”，并且这种联系的根源在于：四个亚氏量词可以相互定义而且亚氏量词no和some具有对称性。

三、亚氏三段论系统的可靠性和完全性

在给出了亚氏三段论逻辑的公理系统之后，还需要继续研究该逻辑系统的可靠性和完全性等元逻辑性质，进而完成对该逻辑的公理化研究。如果根据一个逻辑系统的句法、公理和推理规则而得到的所有可证公式都是有效的，那么该逻辑系统就是可靠的。如果根据一个逻辑系统的语义解释而得到的所有有效公式都是可证的，那么该逻辑系统就是完全的。一个逻辑系统是可靠且完全的，则说明“根据其句法而得到的可证公式集”与“根据其语义而得到的有效公式集”是一致的。

可靠且完全的逻辑系统是逻辑学家追求的较为完美的系统。因此在给出了亚氏三段论逻辑的公理系统之后，现在对该系统的可靠性和完全性进行证明。

定义1：令x和y是任意原子词项变元，α和β是任意ℒ公式。

（1）all(x,y)与not all(x,y)是矛盾关系，no(x,y)与some(x,y)是矛盾关系；

（2）若α和β是矛盾关系，则称α和β互为矛盾公式；α和β的矛盾命题分别记作﹁α和﹁β。

互为矛盾关系的量词实则是互为外否定的量词，即：all(x,y)=﹁not all(x,y)，not all(x,y)=﹁all(x,y)；no(x,y)=﹁some(x,y)，some(x,y)=﹁no(x,y)。

定义2：令D 是非空论域，℘(D)表示D 的幂集，幂集代数SD=(℘(D),﹁,∩,∪,∅,D)是语言ℒ 的语义结构，简称ℒ结构。

定义3：语言ℒ 的模型ℳ 是一个二元组〈SD,v〉，其中SD=(℘(D),﹁,∩,∪,∅,D)是一个ℒ 结构，赋值v(x)就是原子词项变元集到(℘(D)-{D,∅})的映射，定义：

（1）ℳ⊨all(x,y)，当且仅当，v(x)⊆v(y)；

（2）ℳ⊨no(x,y)，当且仅当，v(x)∩v(y)=∅；

（3）ℳ⊨some(x,y)，当且仅当，v(x)∩v(y)≠∅；

（4）ℳ⊨not all(x,y)，当且仅当，v(x)⊈v(y)。

定义4：令Γ是任意公式集。ℳ⊨Γ，当且仅当，对于任意公式α∊Γ，ℳ⊨α。

定义5：令Γ是任意公式集，α是任意公式。α是Γ的语义后承，记作Γ⊨α，当且仅当，对于任意模型ℳ，若ℳ⊨Γ，则ℳ⊨α。

定义6：令α是任意公式，α是有效的，当且仅当，对于任意模型ℳ，则ℳ⊨α。

定义7：令Γ 是任意公式集，α 是任意公式。从Γ 可以推演α，记作Γ⊢α，其意思是：（1）存在公式序列α1,α2,...,αn（其中αn=φ）,对于任意αi（其中1≤i≤n），αi或者是基础公理，或者αi∊Γ，或者αi是由之前的公式根据规则得到的，此时就称公式序列α1,α2,...,αn（其中αn=φ）是从Γ 到α 的一个推演；（2）如果存在公式β，使得Γ∪{﹁α}⊢β且Γ∪{﹁α}⊢﹁β，那么Γ⊢α。

定理6：令Γ是任意公式集，α是任意公式，那么：Γ⊢α，当且仅当，存在Γ的有穷子集Γ0，使得Γ0⊢α。

证明：（1）如果可推演关系如定义7的（1），那么显然，Γ⊢α，当且仅当，存在Γ的有穷子集Γ0，使得Γ0⊢α。（2）如果可推演关系如定义7的（2），那么：(i)如果Γ⊢α，则存在公式β，使得Γ∪{﹁α}⊢β且Γ∪{﹁α}⊢﹁β。由归纳假设可知，存在Γ∪{﹁α}的有穷子集Γ1，使得Γ1⊢β。令Γ0={x|x∊Γ1且x≠﹁α}，若﹁α∊Γ1，则Γ1=Γ0∪{﹁α}，故Γ0∪{﹁α}⊢β；若﹁α∉Γ1，则Γ1=Γ0，根据Γ1⊢β 和归纳假设可得：Γ0∪{﹁α}⊢β。因此存在Γ∪{﹁α}的有穷子集Γ0∪{﹁α}，使得Γ0∪{﹁α}⊢β。同理可证：存在Γ∪{﹁α}的有穷子集Γ2∪{﹁α}，使得Γ2∪{﹁α}⊢﹁β。再次运用归纳假设可得：Γ0∪Γ2∪{﹁α}⊢β且Γ0∪Γ2∪{﹁α}⊢﹁β，根据定义7的（2）可得：Γ0∪Γ2⊢α。(ii)如果存在Γ的有穷子集Γ0使得Γ0⊢α，则存在公式β，使得Γ0∪{﹁α}⊢β且Γ0∪{﹁α}⊢﹁β。由归纳假设可知：Γ∪{﹁α}⊢β且Γ∪{﹁α}⊢﹁β，根据定义7的（2）可得：Γ⊢α。证毕。

定理7：令α是任意公式，Γ是任意公式集，如果α∊Γ，那么Γ⊢α。

此证明不足道，故从略。

与命题逻辑一样，亚氏三段论系统具有可靠性和完全性。

定理8（可靠性）：令α是任意公式，Γ是任意公式集，如果Γ⊢α，那么Γ⊨α。

证明：

（1）如果Γ⊢α，根据定义7可知：存在公式序列α1,α2,...,αn（其中αn=α），对于任意αi（其中1≤i≤n），αi或者是基础公理，或者αi∊Γ，或者αi是由之前的公式根据推理规则得到的。对于任意模型ℳ=〈SD,V〉，如果ℳ⊨Γ，施归纳于基础公理：

1）当α∊Γ，根据定理7可知，那么Γ⊢α，显然ℳ⊨α。

2）当α是基础公理时：

（i）当α是命题逻辑中有效公式时，根据命题逻辑的可靠性可知：若Γ⊢α，则ℳ⊨α。

（ii）当α=all(x,x)时，显然v(x)=v(x)，故v(x)⊆v(x)，由定义3 可知：ℳ⊨all(x,x)，即ℳ⊨α。

（iii）当α=some(x,x)时，显然v(x)=v(x)，故v(x)∩v(x)≠∅，由定义3可知：ℳ⊨some(x,x)，即ℳ⊨α

（iV）当α 是公理EIO-3 时，假设⊢no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))，即α=no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))，不妨令αi=no(y,z),αj=some(x,y)，则α=not all(x,z)。由归纳假设知，ℳ⊨no(y,z)且ℳ⊨some(x,y)，由定义3 可知：v(y)∩v(z)=∅且v(x)∩v(y)≠∅，现在证明v(x)⊈v(y)。假设v(x)⊆v(y)，由于v(y)∩v(z)=∅，因此v(x)∩v(y)=∅，这与v(x)∩v(y)≠∅矛盾；因此v(x)⊈v(y)，由定义3可知：ℳ⊨not all(x,z)，即ℳ⊨α。

3）当α 是由之前的公式根据推理规则而得到时，由于本文的所有推理规则均为命题逻辑的推理规则，根据命题逻辑的可靠性可知：若Γ⊢α，则ℳ⊨α。

（2）当α 是由定义7 的（2）得到的，则存在公式β，使得Γ∪{﹁α}⊢β 且Γ∪{﹁α}⊢﹁β，假设ℳ⊭α，则ℳ⊨﹁α，所以⊨Γ∪{﹁α}，由归纳假设可知，ℳ⊨β且ℳ⊨﹁β，即ℳ⊨β且ℳ⊭β，矛盾，故ℳ⊨α。

综上所述，ℳ⊨α，因此Γ⊨α。证毕。

定义8：令Γ是任意公式集，Γ是一致的，当且仅当，不存在公式α，使得Γ⊢α且Γ⊢﹁α。

定理9：如果Γ⊬α，那么Γ∪{﹁α}是一致的。

证明：假设Γ∪{﹁α}是不一致的，根据定义9可知：存在公式β，使得Γ∪{﹁α}⊢β且Γ∪{﹁α}⊢﹁β，由定义7的（2）可知，Γ⊢α，这与Γ⊬α矛盾，故Γ∪{﹁α}是一致的。证毕。

定理10：令Γ是任意公式集，Γ是不一致的，当且仅当，存在Γ的一个有穷子集Γ′，使得Γ′不一致。

证明：假设存在Γ 的一个有穷子集Γ′，而且Γ′不一致，则存在公式α，使得Γ′⊢α 且Γ′⊢﹁α。由定理6 可知，Γ⊢α 且Γ⊢﹁α，故Γ 不一致。反之，假设Γ 不一致，则存在公式α，使得Γ⊢α 且Γ⊢﹁α。由定理6可知，Γ′⊢α且Γ′⊢﹁α，故Γ′不一致。证毕。

定义9：令Γ 是任意公式集，Γ 是极大一致的，当且仅当，Γ 是一致的，并且对于任意公式α，若α∉Γ，则Γ∪{α}是不一致的。

定理11：令Γ是极大一致集，则α∊Γ，当且仅当，Γ⊢α。

此证明不足道，故从略。

定理12：令Γ是极大一致集，则α∊Γ，当且仅当，﹁α∉Γ。

证明：若α∊Γ，假设﹁α∊Γ，根据定理7 可知：Γ⊢α 且Γ⊢﹁α，故Γ 不一致，这与“Γ 是一致的”矛盾。反之，若﹁α∉Γ，假设α∉Γ，由定理11 可知：Γ⊬α，因此Γ∪{﹁α}是一致的。由于Γ 是极大一致集，故﹁α∊Γ，这与﹁α∉Γ矛盾，故α∊Γ。证毕。

定理13：令Γ是任意公式集，若Γ是一致的，则存在公式集Γ′，Γ⊆Γ′且Γ′是极大一致的。

证明：令Θ={Γ″|Γ⊆Γ″⊆Form(ℒ)，且Γ″是一致的公式集}，由Γ的一致性可知，Γ∊Θ，故Θ非空。令Λ是Θ 中的一个非空链，并令Γ*=Λ，Γ*是一致的，因为：假设Γ*不一致，由定理10 可知：存在Γ*的一个有穷子集Γ′，使得Γ′不一致。因为Γ′是有穷的，而且Λ 是Θ 中的一个非空链。因此必有一个Γ″∊Λ，使得Γ′⊆Γ″，由于Γ′是不一致，因此Γ″也是不一致，这与“Γ″∊Θ 是一致的”矛盾，因此Γ*是一致的。显然Γ⊆Γ*，故Γ*∊Θ，即Λ∊Θ，由Zorn 引理可知，Θ 中有一个极大元Γ′，并且Γ⊆Γ′，现在只需要证明Γ′是极大一致的即可。显然Γ′∊Θ，故Γ′是一致的。令公式α∉Γ′，则Γ⊆Γ′∪{α}，而且Γ′是Θ中的极大元，必有Γ′∪{α}∉Θ，因此Γ′∪{α}是不一致的，故Γ′是极大一致的。证毕。

定义10：令Γ 是任意公式集，Γ 是“包含证据”集，当且仅当，对于任意not all(x,y)型公式，若Γ⊢not all(x,y)，则Γ中存在原子词项z，使得Γ⊢no(z,y)且Γ⊢some(z,x)。

引理1：任意一致集都可以扩张为“包含证据”的一致集。

证明：令Γ 是任意公式集，对于任意not all(x,y)型公式，若Γ⊢not all(x,y)，引入一个Γ 中未出现过的原子词项变元ž，令αž=no(z,y)，βž=some(z,x)。并令Γ′=Γ∪{αž,βž}，则Γ⊆Γ′，根据定义10可知：Γ′就是“包含证据”的一致集。

引理2：任意极大一致公式的集都是“包含证据”集。

证明：令Γ 是任意的极大一致集，假设Γ 不是“包含证据”集。由于Γ 是一致的，根据引理1 可知，Γ可以扩张为“包含证据”的一致集Γ′，由于Γ 是极大一致的，而且Γ⊂Γ′，故Γ′不再一致，矛盾，故Γ 是“包含证据”集。证毕。

定义11：令Γ 是公式的极大一致集，Γ 中的所有原子词项组成的集合记作AT(Γ)，幂集代数(℘(D),﹁,∩,∪,∅,AT(Γ))称为典范结构。

定义12：令Γ是公式的极大一致集，(℘(D),﹁,∩,∪,∅,AT(Γ))是一个典范结构，AT(Γ)是Γ中的所有原子词项组成的集合，令函数vc: T(Γ)→℘(AT(Γ))，vc(x)={z∊AT(Γ)|Γ⊢all(z,x)}，则称vc是(℘(D),﹁,∩,∪,∅,AT(Γ))上的典范赋值。

定义13：令Γ 是公式的极大一致集，令(℘(D),﹁,∩,∪,∅,AT(Γ))是一个典范结构，令函数vc是(℘(D),﹁,∩,∪,∅,AT(Γ))上典范赋值，则称〈(℘(D),﹁,∩,∪,∅,AT(Γ)),Vc〉是典范模型。

定理14：如果Γ是一致的公式集，那么Γ是可满足的。

证明：由定理13 可知：Γ 可以扩展为极大一致Γ′。考虑典范模型ℳc=〈(℘(D),﹁,∩,∪,∅,AT(Γ)),vc〉。对于任意公式α∊Γ′，由定理11知，Γ′⊢α：

（1）如果α 形如all(x,y)：令vc(x)={z∊AT(Γ′)|Γ′⊢all(z,x)}，vc(y)={z∊AT(Γ′)|Γ′⊢all(x,y)}，所以对于任意z∊vc(x)，都有Γ′⊢all(z,x)，Γ′⊢all(x,y)。由于EIO-3 是公理，因此⊢EIO-3，由定理5 的（21）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2 ⇒⊢AEE-4⇒⊢AAA-1 可知：⊢AAA-1，即⊢all(x,y)→(all(z,x)→all(z,y))，因此由Γ′⊢all(z,x)、Γ′⊢all(x,y)和分离规则可得：Γ′⊢all(z,y)，所以对于任意z∊vc(x)，都有z∊vc(y)，故vc(x)⊆vc(y)，由定义4知：ℳc⊨all(x,y)。

（2）如果α 形如no(x,y)：令vc(x)={z∊AT(Γ′)|Γ′⊢all(z,x)}，vc(y)={z∊AT(Γ′)|Γ′⊢all(z,y)}，所以对于任意z∊vc(x)，则Γ′⊢all(z,x)，Γ′⊢all(z,y)。由于EIO-3是公理，因此⊢EIO-3，由定理5的（20）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒ ⊢EAE-1⇒⊢EAO-1⇒⊢AAI-3 可知：⊢AAI-3，即⊢all(z,y)→(all(z,x)→some(x,y))，因此由Γ′⊢all(z,x)、Γ′⊢all(z,y)和分离规则可得：Γ′⊢some(x,y)，由Γ′的一致性可知：Γ′⊬﹁some(x,y)，即Γ′⊬no(x,y)，这与Γ′⊢no(x,y)矛盾，所以vc(x)∩vc(y)=∅，由定义4知：ℳc⊨no(x,y)。

（3）如果α 形如some(x,y)：令vc(x)={z∊AT(Γ′)|Γ′⊢all(z,x)}，vc(y)={z∊AT(Γ′)|Γ′⊢all(x,y)}，所以对于任意z∊vc(x)，都有Γ′⊢all(z,x)，而Γ′⊢all(x,y)。由于EIO-3 是公理，因此⊢EIO-3，由定理5的（20）⊢EIO-3⇒⊢AEE-2⇒⊢AEE-4⇒⊢EAE-1⇒⊢EAO-1⇒⊢AAI-3可知：⊢AAI-3，即⊢all(x,y)→(all(z,x)→some(z,y))，因此由Γ′⊢all(z,x)、Γ′⊢all(x,y)和分离规则可得：Γ′⊢some(z,y)，所以对于任意z∊vc(x)，都有z∊vc(x)∩vc(y)，故vc(x)∩vc(y)≠∅由定义4知：ℳc⊨some(x,y)。

（4）如果α 形如not all(x,y)：由于Γ′是极大一致集，由引理2 知，Γ′是“包含证据”集，所以存在z∊AT(Γ′)，使得Γ′⊢all(z,x)，Γ′⊬all(z,y)，所以z∊vc(x)且z∉vc(y)，故vc(x)⊈vc(y)，由定义3 知：ℳc⊨not all(x,y)。

综上所述，对于任意公式α∊Γ′，都有ℳc⊨α，因此ℳc⊨Γ′，所以ℳc⊨Γ，即Γ可满足。

定理15（完全性）：如果Γ是一致的公式集，且Γ⊨α，那么Γ⊢α。

证明：用反证法。假设Γ⊬α，由定理9 可知：Γ∪{﹁α}是一致的。再由定理14 可知：Γ∪{﹁α}是可满足的。即存在模型ℳ，使得ℳ⊨Γ且ℳ⊨﹁α，这与Γ⊨α矛盾，故Γ⊢α。证毕。

至此，我们得到了以EIO-3三段论为基础公理的、可靠且完全的形式化公理系统。

四、结束语

综上所述，仅仅以EIO-3三段论、all(a,a)（即所有a是a）和some(a,a)（即有些a是a）这3个有效公式为基础公理，利用亚氏量词的三种否定量词的定义、亚氏量词no 和some 的对称性、多个命题推理规则，就可以给出亚氏三段论逻辑直观简洁的形式化公理系统，而且利用典范模型的方法，就可以较为简洁地证明其完全性和可靠性，从而大大简化了周北海等（2018）的完全性和可靠性的证明。

这里不禁让人联想到：如果以其他23个有效三段论中的任意一个作为基础公理，能否同样得到形式化的三段论逻辑系统？得到的逻辑系统是否也是完全且可靠的？这一联想还有待进一步考证。

对于任意的广义量词Q 而言，现代对当方阵是由量词Q 与其三种否定量词组成，即square(Q)={Q,﹁Q,Q﹁,﹁Q﹁}，因此对于作为特殊广义量词的四个亚氏量词（all、no、some 和not all）而言，也可以组成现代对当方阵，而且任意一个亚氏量词都可以定义其他三个亚氏量词，例如：not all=﹁all；no=all﹁；some=﹁all﹁。亚氏三段论的可化归性的根源在于：四个亚氏量词可以相互定义而且亚氏量词no和some具有对称性。

我们不免会问：本文的研究方法是否具有普适性呢？即这一研究方法可否推广能够组成现代对当方阵的广义量词呢？例如：居间量词most 与其外否定量词at most half of the、内否定量词fewer than half of the 和对偶否定量词at least half of the 可以组成现代对当方阵square(most)，那么这四个居间量词组成的系统的全部有效广义三段论有哪些？这些有效广义三段论之间是否具有可化归性？这一广义三段论系统是否具有可靠性和完全性？等等未知问题，都还有待我们去探索。