一道函数不等式引发的指对数跨阶变形的思考

江苏省外国语学校 (215104) 潘小峰 唐 鹏

本文系基金项目:江苏省现代教育技术研究2021年度“基于现代信息技术的高中数学教学模式创新研究”立项课题(编号2021-R-94387)阶段性研究成果.

不等式恒成立问题一直为高考热点,尤其是指数和对数相交叉的隐零点问题,本文主要介绍通过指对数跨阶变形可将复杂函数转换为两个简单的函数复合,再运用指对数的常见不等式情形有助于解决不可分参恒成立问题.

原题已知函数f(x)=x+alnx(a∈R).

(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明:xf(x)+e-x-x≥0.

分析:第1问略,第2问是关于函数不等式恒成立问题,常规思路有两种方法,一种是先进行适合分离,将所求不等式适当变形,再转化为最值来处理,另一种是直接转为求整个式子的最值来处理.

分析:观察形式,不等式两边同乘x,可得(eax+1)ax≥(x2+1)lnx2,由ax=lneax得(eax+1)lneax≥(x2+1)lnx2,则令h(x)=(x+1)lnx,原式转换为证明h(eax)≥h(x2)恒成立.

除了以上两种常规方法,也可以通过指对数适当的跨阶变形,再通过整体换元,将复杂的函数转化为常见的易证函数,具体思路如下:

图1

图2

如果将指数型ex≥x+1和对数型lnx≤x-1进行适当的代换,还可以得到一系列推论.如图3所示.

图3

例1(2022四川泸州三模(理)),已知函数f(x)=ln(x+1)-ax.

(1)若f(x)在[0,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;

(2)若f(x)≤a2ex-a-ax(a>0)恒成立,求a的取值范围.

分析:第1问略,第2问通过观察,结合推论,发现当a=1时,ln(x+1)-x≤0,ex-1-x≥0,而当a>1且逐步变大时,ln(x+1)-axa(ex-1-x)≥0,所以只需验证a≥1即可.

若讨论点A为y=ex任意位置上的点,如图4,由图象可以很直观的看出y=ex上的任意一点A(x0,ex0)处的切线y=ex0(x-x0)+ex0始终在y=ex的下方,这是由于y=ex是下凸函数,凹凸性可由二阶导数来证明,我们可以得到不等式ex≥ex0(x-x0)+ex0②.

图4

进一步x与ex的乘积形式也可以进行放缩,例如将xpeqx-m构造成ef(x)形式xpeqx-m=elnxpeqx-m=elnxp+qx-m=eplnx+qx-m,结合②式可得xpeqx-m=e(plnx+qx-m)≥ex0(plnx+qx-m-x0)+ex0③.此不等式体现了指对数的一个不等关系,可以适用很多情况,当x0=0或x0=1时,即为上述讨论的两种特殊情形.

例2(2022聊城三模)已知函数f(x)=alnx-bx,g(x)=xex-(n+1)x-1(a,b,n∈R).

(1)当b=1时,讨论函数f(x)的单调性;

分析:第(1)问略.第(2)小问通过切线方程可解得a=b=1,原题等价于证明xex≥lnx+nx+1对x>0恒成立,只需在③式中令p=q=1,m=0,x0=0即可得n=1,进一步分析只需回代验证n≤1使得原式成立即可.

用切线去放缩证明不等式,主要是因为指对数的凹凸性不一致,如图5所示,指数型图象为下凸,对数型图象为上凸,直线l可以夹在两图象的中间,但是如果不等号两边图象凹凸性一致,则不能用直线整体放缩,只能局部放缩,或者用其它方法来处理.

图5

指对数跨阶变形可以将复杂的函数转换为两个简单的函数复合,通过整体代换,可以简化证明不等式,熟练掌握几个常见的指对数不等式有利于问题的解决,在日常教学中应注重渗透和引导,让学生对指对数跨阶变形的概念形成过程,概念的特征,以及使用条件的合理性和必要性有深层的认知,让学生经历由熟知到真知的深度学习过程,这样有利于学生对指对数跨阶变形的掌握和灵活运用.