一道圆锥曲线试题的延伸推广

陕西师范大学附属中学 (710061) 李鑫明

数学学习离不开解题.做题不在多而在精,学习者通过做题,深刻理解概念,扎实掌握基本知识,学会运筹帷幄,纵横捭阖,使自己的思维水平不断提升,高屋建瓴;通过解题应将试题进一步延伸推广.本文以一道试题为例予以研究.

(1)求椭圆C的标准方程;

评注:问题的本质是直线l与椭圆相交的相关问题的求解,本解法重点应用了“设而不求”的数学思想,借助向量垂直的表达式,最终化简并证明命题.

图1

图2

借助几何画板进行探究,如图2所示,变动直线PQ,直线PQ始终与圆O相切于点D,尽管点P,Q,D都会发生改变,但OP⊥OQ的位置关系始终不表,由此可见上述思考是成立的.下面笔者将从代数角度进一步证明该结论.

小结:我们应力求做到一题多解,多解归一,用“动”的观点考虑问题,尽可能地拓展思路,训练发达的头脑,做到“八方联系,浑然一体”,最终达到“漫江碧透,鱼翔浅底”的境界.