“问”出来的深度学习历程——《四则运算》毕业复习拓展课教学实录

文|赵元中

【缘起】

在“四则运算”的毕业复习课中，笔者用苏教版六年级上册中的素材（如下图）来引导学生进一步认知运算之间的联系，学生通过观察再次认知到具有一定规律的两个分数的差等于它们的积。

正当笔者以两个应用练习来进一步巩固学生对这个规律的认知时，一个学生却提出了这样的问题：“两数之和等于两数之积有规律吗？我只知道有两组：3 和1.5、6 和1.2，还能像上面差等于积那样找到其他组吗？”笔者这位在学生们看来比较“能”的老师被问住了，老师的卡壳极大地激发出学生的“战斗”热情，课堂中充斥着躁动，学生都急切地改变了原来的学习航向忙碌地试找起来。为了给这个爱思爱问的学生一个交代，为了平息课堂中的躁动，为了巩固“能”的地位，笔者果断调整了剩余十分钟的课堂学习预定进程，组织学生分小组合作探寻，全班学生终于帮他找到了另外一组：4 和。下课时，我能感受到学生并没有多少成功的喜悦感，更多的是不甘和深陷迷雾之感。

课后，笔者和同年级的教师就这一问题展开了研讨，大家一致认为，为了让学生清除迷雾、柳暗花明，应该增上一节“新”课。

【课前研学及学情了解】

笔者以如下两个问题作为学生课前自主研学的内容。

问题二：对于两个数四则运算结果之间的关系，你还想提出哪些问题进行探究？

课前研学基本情况统计如下：

问题一：无作答的12 人；找到其他例子，并用文字的方式陈述规律的有25 人；寻找到规律，举了一些其他例子，并用符号（或字母）陈述规律的有8 人。

问题二：提了一至两个问题的有10 人；提了两个以上问题的有29 人；提了一些问题并作了探索和陈述的有7 人。

【教学过程】

一、依例探寻，初步归纳

师：今天就从让我们意犹未尽的问题展开交流探究。如何使两数之和等于这两数之积？课前我认真阅读了大家的探寻过程、方法和结论，大部分同学依据已知的三组例子，进行了深入的观察、分析，得出了自认为的规律并作了不同方式的陈述。下面分四人小组，把你的探寻过程和结论在小组里汇报交流，并借助小组集体智慧进行验证、修正，形成你们小组共同的结论。

（四人小组合作交流）

师：请第五小组的同学面向全班汇报。

生1：我们把例子中的小数转化成分数后发现，每组中都是一个整数和一个分数组成，其中分数的分子就是这个整数，而分母比这个整数小按这个规律列举几组验证下来都是对的。

生2：我们认为整数有无数个，所以像这样的情况应该有无数组。

师：请对这一小组的探寻过程和发现作评价、补充或质疑。

生4：他们小组的发言很精彩，讲得很清楚。我们小组也得出了类似的规律，只不过对他们的字母表示有不一样的看法。我们认为这里的a 要注明是大于1 的整数，否则那个分数就不成立了。如果a 等于1，分母就是0 了，分数的分母不能为0；如果a 是0，就不够减1 了，所以这个整数我认为不能为0 和1，要大于1。

生5：我也基本同意他们小组的发言，但难道必须是一个整数和一个分数吗？能不能找到不是这样的情况？

二、质问探寻，修正扩展

师：刚才我们认真聆听了这一小组的汇报发言，老师赞赏他们从已知出发、观察发现规律后再找出新的例子的探寻学习过程，以及在这一过程中自觉灵活地运用列举、转化、假设和归纳总结等策略与方法的学习研究能力，为他们的精彩发言鼓掌喝彩！但老师更加钦佩后面两位提出补充和质疑的同学，我要为他们的独立精神和真诚品质点赞！整理一下这两位同学的补充和质疑：一是a要为大于1 的整数；二是必须是一个整数和一个分数吗？

师：结合前面小组的看法和这两位同学的补充、质疑，大家再次进行探究交流。

（小组合作交流）

师：大家对“a要为大于1 的整数”有什么看法？

生1：我们讨论认为这个整数只要不等于1 就可以了，因为如果a=1，则中的分母是0，就没有意义了，但当a=0 时，则是成立的呀！

生2：我反对这个同学a=0 的说法，因为如果这样的话，这两个数就是相同的数了，不符合要求。

生3：我赞同生1 的看法，反对生2 的看法，因为照他这么说当a=2 时，=2，岂不是a 是要大于2 的整数了。

生4：综合他们的看法，我认为如果要保证两个数不同的话，最好a为大于2 的整数。

师：我也赞成这个同学的意见，如果要使这两个数不同，最好a为大于2 的整数。其实随着我们认识数的范围扩大，这里的整数a还能有更广泛的取值，所以大家以后还可以作进一步的思考，这也符合我们的学习经验，规律有时是在一定范围里存在的，有范围性、有限制性，有时还会有扩展性。那大家对“必须是一个整数和一个分数吗？”发表意见。

师：感谢这个同学的突破性实践，看样子两个可以都为分数，请每位同学列举出这样一组，跟着实践理解一下。

学生列举后汇报，并板书：

师：大家观察一下两个都是分数的例子，你有什么要说的吗？

生：我发现两个分数的分子相同，且是两个分数分母的和，例如第一组分子5 等于分母3+2，第二组分子12 等于分母7+5。

师：大家又有了新的发现。那老师问你们，如果现在再让你列举一组，你是选前面的，还是选现在的？

生：我当然选择现在的，因为更简单、更快。

师：看样子，真是应了那句话“真理越辩越明”。

三、辨理探寻，融会贯通

师：可老师有点想不通，同样的要求，让两个数的积等于这两个数的和，怎么会有两种规律呢？

（小组合作交流）

师：现在你们又有什么发现？

生1：是的，我发现a 是分数且分子比分母大1 时，另一个数就会是整数，例如：a=时，

生2：我在这两位同学的提示下发现，把整数都写成分母是1的分数时，就完全一样了。

师：又是一个精彩的发现，现在统一了，那大家能不能用一种方式表示出这个规律呢？想一想。

师：你们同意他的表示吗？（板书上面的等式）评价一下。

生4：我基本同意他的表示，但我认为要注明a、b≠0，并且a≠b 才好。

师：有道理吗？

生6：我认为有必要，因为a、b 为分母，分母不能为0，a 也不能等于b，否则就是相同的一个数，都是2。

［在上面的等式后面补写上（a、b≠0，并且a≠b）］

（班上响起热烈的掌声）

师：真是教学相长！身边人人都是老师，感谢这位同学的爸爸给予我们的帮助，感谢这位同学的激情讲解。

四、提问探寻，再启新程

师：今天这节课大家在不断追问思考，探寻出了让我们迷惑的一个隐藏规律。请四人小组再次回顾交流总结一下我们整个探究的过程和结论。

（四人小组回顾交流总结）

师：课前研学的第二项是：对于两个数四则运算结果之间的关系，你还想提出哪些问题进行探究？老师相信通过今天的交流学习你肯定有更多办法、策略、路径去探究了。课前我把大家提的问题分类汇总了一下（见下表），请大家利用今天学习所得的经验和提示来探究这些问题，当然也欢迎你提出其他新的问题进行探究，老师期待你们的精彩发现，把你的探究问题、过程和发现写下来贴在班级的“问题墙”上，让我们彼此互相学习。

同级运算1.如何使两数之和等于两数之差？2.如何使两数之积等于两数之商？不同级运算1.如何使两数之积等于两数之差？2.如何使两数之商等于两数之和？3.如何使两数之商等于两数之差？