义务教育阶段学生数学量感的教育价值及其实现路径

甘水英 武小鹏

[作者简介]甘水英（1994—），女（布依族）贵州贵定人。硕士研究生，主要研究方向为数学课程与教学。*[通信作者]武小鹏（1986—），男，甘肃天水人。博士，教授，硕士生导师，主要研究方向为教育测量与评价、数学课程与教学。[摘要]量作为刻画世界万物最为关键的一面，受到人们的普遍推崇。量感作为公民最基础的量化素养的核心概念，同样得到了教育界的普遍认同。新一轮课程标准也将量感作为义务教育阶段的核心素养。但量感一词在一线教师当中还是比较陌生。从量的内涵出发，刻画了量感的基本特征，并深入分析了量感的重要价值，在此基础上，从5个方面提出了量感的培养途径，为深入理解量感的内涵以及落实量感的培养提供了参考。

[关键词]量感；核心素养；义务教育；课程标准

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]1005-4634（2023）01-0081-05

学生应该学习哪些知识，一直以来都是教育学科讨论的重点。随着课程改革的不断推进，发展学生素养为中心的教学将逐渐取代以知识为本的教学。近年来，我国启动了各学科核心素养的研究与培养。在数学教育中，义务教育阶段将量感引入新课程标准，其已成为和数感并列的重要核心素养。量在内涵和外延等方面都具有明确的特征。因此，本研究聚焦“义务教育阶段学生的数学量感有什么内涵和特征？学生数学量感的培养有何种教育价值？学生数学量感的培养应该在哪些方面入手？”等问题进行分析。

1量感的内涵及特征

1.1量的内涵与特征

数学是一门研究数量关系、空间结果、信息等概念的科学[1]，其中“数”是用来度量不同事物的概念，是客观存在量的意识表述[2]。数的本身是不包含单位量的，当需要数表示一个事物的量时，必须在数后带上单位量，并且一个事物的量可以用不同的数来表示。因而，单纯的数并不能表示出一个事物所固有的客观存在的量。“数”是主观规定的，是可以进行改变的，而“量”是客观实在的，不随人们的意志而改变。辩证唯物主义认为：任何事物都可以从质和量两个方面进行分析。质的存在让人们更好地区分事物间的不同点，量却向人们反馈了事物间的相同点。事物的相同点是指任何事物都可以用本身的一个小部分作为“标准的尺度”，来对事物进行度量的共同属性。这些共同属性一般包括事物的大小、范围、轻重等多个方面。胡世华等人认为：基础数学通常研究事物量的性质，并且是纯粹的量[3]。如各种数系、点、直线、平面、图形、因变量、代数方程、微积分方程、群、环、域、范畴、同构、同态等都是纯粹的量。总结起来，这些量具有以下6个方面的特征。

（1） 抽象性：量这个概念具有高度的抽象性，它能涵盖较广的范围，同时量要抽去事物各种质的外壳，只从量的角度、形式去探索它的规律。

（2） 确定性：数学所研究的必须是从事物中抽象提取出的某一确定的对象[3]。这种确定性往往保证了结果的唯一性和客观性，即在遵循一定的量的运算规律和逻辑判断的基础上，结果是唯一确定的。

（3） 可运算性：数学中一些相关的量，按照某一特定的运算（律）进行运算后，会得到一个新的量。并且这些运算是封闭性的，得到的这个新的量还可以继续与相关的量进行运算，它呈现出量的运算是可以无限循环下去的。但无论进行多少次运算，其运算产生的量都是封闭的。

（4） 关联性：在对量表述时，各个部分间、部分与整体间都会存在一定的关联性，不可能是独立存在的。它们之间必定会有顺序、多少、大小和等价等关系，并且相关的量之间有一定的进率，它们之间是可以互相转化和相互表示的。

（5） 可系统地符号化：对于量的表述，不仅可以用文字语言加以表示，还可以通过图形或特定的（数学）符号加以描述，并且这些（数学）符号的表示和使用不断统一和规范，这种表示就像编程一样，必须遵循一定的编码规范及要求。

（6） 一定的结构：在对量进行多次运算、变换后就会得到一个新的量，而这个新的量常常具有一定的结构。量有不同的表述形式，并且具有可运算性，这些都体现了学习量的复杂程度。

现实中常用的量可分为两类[4]：一是具体而直观的量，如毫米、分米、厘米等长度单位。这些量是可以被具体刻画和表示出来的，教师通过形象的语言和动作进行讲解，学生们也相对好理解和掌握。二是较抽象的量，如时间单位的秒、分、时，重量单位的克、千克、吨等。这类量是比较抽象的，很难用语言和动作描述出来。此时需要教师进行指导，持续不断地让学生感悟不同的量。

1.2量感的内涵

量感作为一个相对较新的概念，通常有3种观点：（1）直接把量感和数感等同起来，认为两者是同一个概念，即数量的体会与领悟，就是人们所提到的量感。（2）把视觉与触觉等感官对物体的规模、重量、厚度等的感性认识看作是量感[5]。这是从宏观角度给出的量感的界定。（3）量感是人們对事物的量的感知，也就是说是通过人自身的感觉对事物的量的猜测与推断[6]（称为量的推断），或对实际事物和数学中的有关量的单位之间的相符性进行推理判断的一种感悟（称为量的区分）[7]，这种界定是从微观角度给出的。量的推断和量的区分组成了量感两个要素。一般情况下，在人们的日常生活中，多数是在进行量的推断，而量的区分一般出现在数学教学中。

在数学中，量感通常表示对数学研究对象的感性认知，一般包括它的时间、重量、面积、体积、长度等[8]。义务教育阶段是学生量感逐渐形成和不断发展的关键期，它通常表现为对量的比较和量的估算的深入感悟。这一阶段学生的量感通常分为两类：生活量感和数学量感。生活量感是指人们在生活中，通过不断地使用量来解决问题，从而对量所产生的一种直觉。生活中遇到的量感往往是一时的、片面的、不确定的，是一种对事物基本的量化感知，但是随着生活经验的不断丰富，这种自发的直觉会不断完善。数学量感往往具有一定的客观性，它是在一定数学基本知识的支撑下，通过对事物的观察、触摸、思考、推断、测量等活动，形成具体的数量表征，并循序渐进地内化成稳定的判断能力。这种判断能力更有可能是理性的、全面的、精确的、稳定的。这两种量感是相互促进、相互依赖的。

1.3量感的特征

量感的建立是一个持续的、重复体验的、陆续改变的历程。量感的培养依附于人们的感性认识，而感性认识的准确率依赖于事物直接刺激人的感觉器官时在头脑中所产生的对事物的表征。因此，要获得感性认识，学生必须在教师的指导下，持续地参加社会实践活动，直接与客观事物接触，这样才能形成更加精确的量感。量感的形成往往与学生的生活经验、学习体验、环境感知等多方面因素紧密结合。因此，在量感的培养中，一定要通过具体事物的感知，逐渐形成对事物比较稳定的认识。当学习者具备有关活动的经验，会迅速而准确地在头脑中形成量的表征，此时拥有的生活量感，会为课堂上学习数学量感奠定基础。在学习的过程中，不仅使得学生的数学量感不断形成，更能使得生活量感不断完善。

“量感”的培养迫切需要渗透于整个数学的教学中[9]。专家们通过不断修订课标，让教师们意识到量感的习得是数学教学的重点目标。量感是一种特殊的感觉，在教学中，需要教育工作者把量感的习得不断渗透在教学中，丰富数学与学生实际生活的联系，带领学生进行适当的测评，让学生开展大量的数学实践活动，让学生在活动中潜移默化地形成和完善量感[10]。

2量感的教育价值

2.1提升公民的基本量化素养

公民的基本量化素养是指人们在遇到社会上的各种信息时，能用数量的形式表示出来的能力。量化的必要条件是划分出在数量内容上不相同的同质客体[11]。量化是描述社会现象的一种形式。在义务教育阶段，量化素养的培养首先是从人们对基本的物体长度、面积、体积、重量等量的估测开始，再到对不同量的比较和识别依序开展。在高中及以上阶段，表现为对基本量的推理和运算。这些是公民生活中必不可少的基本素养。

爱因斯坦曾言：“教育指的是人们把在学校所学的知识全部忘掉后剩下的东西。”[12]这里所说的“教育”，其实是一种素养。如果学生在学校形成、发展、完善了数学量感，当毕业许久后，他们可能会忘记相关单位之间的换算关系式，但会有如下行为：能较准确地描述看到场所离自己的距离；能够估计从家到某个熟悉的地点行走所需的时间；通过拎一拎就能估计所买物品大概有多少斤等。这些都是他们在学习“量与计量”之后所形成的量化素养，这些量化素养形成最关键的就是量感的培养。

2.2提高学生分析和解决数学问题的能力

在学习“量与计量”的学习之后，学习者可能会出现一些低级的偏差。如在填写一些量的单位时，如“一支普通铅笔的重量大概4（）”，会出现千克或斤这样的答案。出现这些答案的根本在于学生没有相关的生活经验，也没有建立相关的量感。若学生建立了量感，就会去思考“1克有多重？1千克有多重？1斤有多重？重量单位间的进率”等，然后根据生活经验和对量的对比得出，一支普通铅笔不可能重4千克或者4斤，所以应该写“克”。再如，估计每分钟写出阿拉伯数字的个数、计算十以内的加减法的题数和正常呼吸的次数等时，可以采用以下3种方法进行测量：（1）测量半分钟，然后用所得的数据乘以2；（2）直接测量1分钟；（3）测量2分钟，将所得的数据除以2。教师可以引导学生感悟第一种方法的省时，但可能不太准确；第二种方法会比第一种好一些，但是效果并不是那么明显；第三种方法虽然比较麻烦，但可能更准确一些。教学中，学生要在教师的帮助下，通过尝试、体验，进而选择稳定可靠的量感。当学生建立了量感后，遇到问题时，学生会分析问题并根据脑中已建立的生活经验、单位量感、叠加量感等，选择最好的估测方法。然后，经过不断思考、矫正，给出正确的结果，以达到解决遇到的（数学）问题的目的。

2.3提高学生测量估计能力

估计是在没有使用任何测量工具的前提下，通过一定的推测方法，得出测量结果的一种心理过程[13]。估测是根据已有的信息进行合理推测得到的，因此，估测是一种较为实用的生活技能。日常生活中，人们常常不具备（精确的）测量工具，但需要对各种量进行估计，这时拥有量感必不可少。让学生掌握并会用估测，教师则需要让学生多次运用一些估测策略。常见的有效估测策略有单位迭代、参照点、对比等[14]。但无论学生选择哪一種估测策略，最关键的是拥有有关量感，此时的估测才是有意义的，学生的估测能力才能有所提高。

2.4培养和拓展学生的思维能力

思维能力是人们生活中重要的能力之一。当人们在遇到问题要加以解决时，总是会在头脑中构建问题解决的方案，通过分析构建方案的能力就是思维能力。通俗地讲，就是人们遇到困难时，总会认真地“想一想”，这个想的阶段就是思维的过程[15]。这个过程通过类比、归纳、分析、概括等活动，对信息进行提取、加工，将书面材料进行加工得到理性思维以解决实际问题。学生在对量的大小进行推断和估计的过程，其实也是在不断地训练学生的思维能力的过程。在教学中，教师引导学生通过类比推理的思维方式去构建量感，让学生通过体验、对比、推理、反思等活动找到解决问题的思维通道，感悟量感的构建过程。思维能力决定了量感构建的效率，而量感的完善简化了思维活动的过程。

3量感培养的实现路径

3.1积累感性材料，形成具身经验

“量”（liàng）来源于“量”（liáng）。学生量感的形成过程是通过视觉、触觉和听觉等多种感官活动创设的[10]。量感的建立需要不同感官相互协调与配合，学生经历看一看、猜一猜、量一量等感知活动，从而建立相关的量感。量感形成的过程，尤其对于复杂的抽象量而言，往往需要通过直观具体的情景才可以将抽象的量所代表的内涵呈现出来，通过这种感知过程才可以形成量的清晰表征。可见，学生量感的形成不仅是对不同量的把握，而且是对量的计算的理解[16]。学生在建立清晰的量的表征之后，更能够接受有关的数学知识。如在1千米的量感建立时，可采用下列3种方法：（1）在课堂上进行相应的讲解。（2）让学习者自行在操场的跑道上直接步行，体验1千米到底有多长。（3）在上课之前，学生在长辈们的陪伴下，多次向不同的方向按直线匀速步行1千米，课堂上教师进行相应的讲解。第一种方法学生难以获得体验，无法积累感性材料，对1千米的认识只停留在概念上，所以学生对1千米这一量没有形成感知，也无法获得有效的量感；第二种方法对学生形成1千米的量感有一定程度的帮助，但因跑道一般都是椭圆形的，学生还是难以建立准确的1千米表征；第三种方法是从学生自身体验出发，学生通过对1千米这一概念的多次感知形成了具身经验，并且这种经验通过抽象化已成为学生较稳定的量化感知能力和一种基本素养。再经过课堂上教师形象的讲解，学生就能循序渐进地建立1千米的量感。

3.2加强单位意识，形成单位量感

单位量感作为最直观和最早接触到的素养，在小学阶段就应该得到较好的养成。如长度单位：米、分米、厘米；重量单位：克、千克；时间单位：小时、分钟、秒等。不论是教材的编写，还是教育工作者的教学，都会花费许多的时间和精力，采取各种各样的方式，让学生通过看一看、猜一猜、量一量等操作性活动去感悟量的大小，进而形成具体而清晰的量的表征，在过程体验中获得单位量感。如对1千克的量感体验时，上课前，教师可以将学生分组，并购置一些苹果、梨、香蕉等学生感兴趣的水果。在设置教学活动时，教师可以让学生以不同的单位量分配水果，并设计如下基于真实情景体验的教学活动：（1）相同数量的水果，为什么重量是不一样的呢？（2）重量相同的物品，提起来的时候感觉一样重吗？（3）相同重量的棉花和各种水果，提起来的时候感觉一样重吗？这样可以引导学生对现实生活中遇到的不同重量单位的东西进行感知、思考，并形成较为稳定的对质量这一单位的量感。这样学生可以排除如水果的颜色、种类、大小等非本质的因素，从1千克这一量的本质属性出发，感知它们的重量[17]。

3.3丰富感性材料，构建叠加量感

学生遇到的事物往往是复杂的，仅仅拥有单位量感还远远不够。叠加量感是在比较不同单位大小的同时，构建起来的较为多元复杂的量感。现实生活中多数都是对叠加量的估测，如某某同学有多高、课堂上随机估计离下课的时间、所购买的物品的重量、学校到家的距离等，让学生逐渐形成不同的量感。如在学习单位“米”后，学生头脑中已有1米的量感，则需要循序渐进地增加数量，让学生形成3米、5米、8米、10米、15米、30米等数量的量感。当学生拥有叠加量的量感后，在估测时，就能灵活选择恰当的数量作为参照点进行估测了[18]。再如估计教室到食堂的距离时，学生就不会再使用几米的小单位去迭代，而是采用恰当的参照点，如采用20米、70米或100米等作为参照点去估测，这样估测是最有效率的。叠加量感的运用为人们的生活提供更多的便利。

3.4开展估测活动，形成稳定量感

量感在学生中稳定的形成不仅需要积累较多的感性材料，同时还需要有效的教学方法。估计多少、估算大小、目测长度等教学活动，是通过学生感知和对具体结果的研究，进一步强化学生量感的有效方法。考虑到量感依赖于学生的感觉，因此，教学应开展大量的估算和概算活动，让学生在不同的实践活动中用不同的方式感受量。因为量感是估测的基础，而估测活动可以使量感不断精确。如学习“厘米和米”后，让学生从小区里的某个地方到某个地方大约是多少米，学生每次完成估测后，陪同的人立刻用一些工具测量一下结果，说出误差，并让学生不断地矫正。在不断估测和矫正中，学生的量感则会不断完善。同时，数学实验活动不仅揭露了数学知识的本质，而且开发了儿童的思维，挖掘出学生的探索潜能。再如小学四至五年级“认识升”的学习，先让学生观察家中的水杯、食用油桶、牛奶瓶、饮料瓶等容器装了多少液体，并把这些信息记录下来。这为学生学习“升”提供了感性材料和经验基础。课堂上，从学生们喝水的杯子中取出3个容量相近的水杯，让学生比较容量的大小，并说明理由。使他们认识到容量大小是根据能容纳液体的多少进行比较的，还知道当不能直接比较出容器容量大小时，要使用量筒测量，或者是把同一水杯作为参照物。课后，让学生学会自制1升的量器估测家中容器的容量。

3.5注重知识联系，提升量的内化

量感不是一个独立的概念，它和数学中的其他概念有着紧密的联系。数感，数是量的表征，它们之间往往联系紧密，同时量的多少还与数学运算、数学抽象等多种因素相关。数学中不同知识和概念之间的连接与转化，往往是形成一种素养的关键。因此在量感的形成中，教師要在知识与知识之间的交汇点上设计活动，通过让学生体会知识之间的联系，进而促进学生对量的进一步感知[19]。如“认识多位数”后，有练习如下：一支2B铅笔的长度约为20厘米，则可以计算得出5支这样的铅笔的长度约为1米，那么100支2B铅笔的长度约为多少米？再如一支2B铅笔重量大概5克，照这样计算，1 000支2B铅笔重量大概5千克，那么1 000 000支2B铅笔大约重多少吨？这样的问题设计目的在于使学生对不同单位量进行有效的转化，这样更能让学生感悟到厘米和米、克和千克之间的联系。让学生理解并掌握相关量间的进率，准确把握知识间的链接点，有效拓展了量的内化领域，促进了量感的形成和完善[20]。

3.6遵循学生身心的发展阶段，分层提升量感素养

学生心智的成长具有阶段性和层次性，量感的培养要遵循学生身心发展的阶段性。皮亚杰把认知发展划分以为4个阶段，分别为感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段、形式运算阶段[21]。小学基本处于具体运算阶段，该阶段的儿童开始具有逻辑思维和运算能力，他们对长度、重量、面积和体积等已经有一定的认知，运算形式和内容以具体事物为依据。1～3年级着重培养学生关于长度、面积（规则的平面图形）和重量的量感；4～6年级着重培养学生关于体积和容积的量感。初中阶段（7～9年级）学生逐渐过渡到形式运算阶段，该阶段学生的思维具有灵活性、系统性、抽象性和可逆性，该阶段着重培养学生关于面积（平面图形）的量感。义务教育阶段对于量感的培养是循序渐进的，教师要引导学生经历观察、体验、探索的全过程，只有“感”之后，学生才能“悟”，学生的量感才能拾级而上。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实施稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2] 刘文.隐喻认知下小学数学概念表征研究[D].武汉：华中师范大学，2019.

[3] 杨之.数学量的一般特征及其对数学教育教学的意义[J].数学教育学报，2010 （1）：55-59.

[4] 彭玲.小学生的数学量感之培养[J].新课程（上），2016（9）：200.

[5] 梁培斌，张先锋.量感的内涵、特征、价值与培养策略[J].江苏教育，2020（65）：33-35+39.

[6] 孙思雨，孔企平.“量感”的内涵及培养策略[J].小学数学教师，2021（Z1）：44-47.

[7] 周国蓉.6年级学生量感现状调查与分析[D].重庆：西南大学，2014.

[8] 陈黎春.循度量本质 育量感素养[J].小学数学教育，2021（Z4）：73-75.

[9] 刘晓婷.量感培养：困惑、根源及策略[J].小学数学教师，2021（Z1）：54-56.

[10] 陈雨婷.在"感量"中培育学生的“量感”[J].数学教学通讯，2018（19）：2.

[11] 张轶娜.以行为科学方式获取建筑设计依据[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2007.

[12] 黄津成.学校教育应该给学生剩下什么[J].课程教学研究，2014（3）：92-93.

[13] 徐文彬，孙敏.估算、估算教学及其育人价值[J].江苏教育，2019（89）：7-11.

[14] 吴海龙.对小学生数学估计能力的认知诊断研究[D].漳州：闽南师范大学，2017.

[15] 刘德洪.小学生小数数感的培养策略研究[D].重庆：西南大学，2020.

[16] 余晓华.让“量感”自然生长——以长度单位的教学为例[J].小学数学教育，2021（10）：22-23.

[17] 姜华.长线培养小学生量感的策略探索[J].小学数学教师，2021（Z1）：50-54.

[18] 杜煜.“量感”感悟中的“不单一”——特级教师吴正宪《认识面积》片断赏析[J].小学教学设计，2021（26）：63-64.

[19] 李怀军.在度量教学中丰富学生的量感[J].小学教学（数学版），2021（5）：8-10.

[20] 梁培斌.科学利用数学教材培养学生量感[J].教学与管理，2017（2）：43-45.

[21] 李美华.新编心理学[M].沈阳：东北大学出版社，2014：23.

AbstractAs one of the most important criteria for describing everything in the world， quantity has attracted widespread attention. Quantity sense is the core concept of citizens′ basic quantitative literacy， which has been attached great importance by educational researchers. The new curriculum standard also takes quantity sense as one of the core literacy of compulsory education. But the term "quantity sense" is still relatively unknown among front-line teachers. Starting from the connotation and characteristics of quantity， this paper describes the basic characteristics of quantity sense， and deeply analyzes the important value of it. On this basis， this paper puts forward five ways to cultivate students′ quantity sense， which provides a reference for further understanding the connotation of quantity sense and the cultivation of students′ quantity sense.

Keywordsquantity sense; key competence; compulsory education; curriculum standards

[責任编辑马晓宁]