数学活动

张爱友

[摘  要] 活动是学生数学知识建构的主要方式，也是学生数学智慧生成的源泉. 借助于数学化的活动，不仅能让学生获得相关的知识，更能培育学生的数学思想方法. 以数学活动为载体培育学生的数学思想，可以链接生活，可以借力技术，可以优化导图，可以催生反思. 教师要深入地发掘活动因子，优化组织好数学活动，让数学活动能够个性化地建构学生的“数学课程”.

[关键词] 初中数学;数学活动;数学思想;良好载体

活动是学生数学学习的重要载体、媒介，是学生数学智慧生成的根源[1]. 活动也是学生数学经验建构的主要方式，是学生感悟数学思想的重要载体. 在初中数学教学中，教师要设计、研发高质量的活动，以便借助于活动，引导学生深度思考、探究，让学生在活动中形成“数学的眼光”和“数学的大脑”. 当下的数学活动，一个最为突出的问题是“数学味”的缺失. 如何让数学活动充满“数学味”？笔者认为，一个重要的方法就是要让数学活动能体现相关的数学思想，让数学活动真正成为培育学生数学思想的载体. 高质量的、蕴含数学思想方法的数学活动，往往同时能够成为学生的生命实践的确证与表征，成为学生的本质力量的全面解放与舒展.

链接“生活”，让学生实践数学思想

数学活动是一种学习过程. 一般来说，学生在数学活动中需要经历两个过程：其一是将生活化的内容提炼、抽象、概括成数学的内容，这就是“横向数学化”;其二是在数学世界中对数学进行再塑造、再提煉、再建构，这就是“纵向数学化”. 链接学生的生活，就是要让学生充分经历“数学化”的过程（包括横向数学化和纵向数学化）. 只有经历了“数学化”，才能让学生感受、体验到数学知识中所蕴含着的数学思想，尤其是数学化、符号化、公理化、形式化的思想.

比如教学“锐角三角函数”这一部分内容之后，我们引导学生开展了一次“测量物体的高度”的数学活动. 活动中，我们首先创设了问题情境，让学生从现实性的问题情境中提出相关的数学问题：如何测量旗杆的高度？如何测量大树的高度？如何测量教学楼的高度？在此基础上，我们引导学生提出相关的测量方法，并对相关的方法去粗取精、去伪存真，得到大家认可的“锐角三角函数法”. 在此基础上，我们引导学生成立活动小组，准备测量器械，并且在测量中展开研讨，形成科学的实验活动方案. 在这个过程中，教师要及时跟进、适度介入，对学生的活动进行有效指导，但是不能越俎代庖. 教师要及时发现学生活动中存在的相关问题，并进行有针对性的指导. 由于采用分组活动，教师还可以引导学生展开小组之间的互动、交流、展示、汇报，对相关的方法的优劣进行研讨，对之做出积极合理的评价. 通过评价，不断地优化学生的数学活动，帮助学生积累相关的数学基本活动经验. 在活动中，学生充分地体验到将一个生活中现实性的问题数学化的方法，也体验到一种对应、转化的普遍性数学思想. 这样一种数学化的方法是学生受益终身的数学思想方法，它能让学生在生活中“用数学的眼光来打量事物”、“用数学的大脑来考量事物”.

数学活动中所获得的数学知识、技能等会融入学生的认知结构、技能结构之中，而数学思想方法则会沉积到学生的心理结构之中，成为一只“看不见的手”，有效地促进学生的数学学习、数学应用等. 这种促进作用是无形的、自然的. 正是在这个意义上，荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说，“与其说学生是学习数学，毋宁说学生是学习数学化;与其说学生是学习公理，毋宁说学生是学习公理化;与其说学生是学习形式，毋宁说学生是学习形式化;与其说学生是学习符号，毋宁说学生是学习符号化”[2].

借力“技术”，让学生认识数学思想

技术是学生数学活动的现代化的支撑. 传统的数学活动，往往依靠简单的、质朴的数学学具. 在“互联网”“大数据”“新媒体”“新技术”的时代背景下，教师在引导学生进行数学活动的时候，可以借助于这些“网络”“技术”“媒体”. 相比较于传统的媒体，新媒体、新技术引导下的数学学习更生动、更形象、更直观. 新技术、新媒体，让学生的数学活动更丰富、更有趣、更灵动.

比如教学“四点共圆的条件”时，教师首先可以引导学生展开合理性的猜想，如“圆的内接四边形对角互补”;如“对角互补的四边形的四个顶点共圆”. 在此基础上，教师可以引导学生对相关的特殊的四边形进行探究，如“平行四边形的四点共圆”“梯形的四点共圆”等. 而在探究“平行四边形的四点共圆”这一猜想时，还可以引导学生从“边特殊的四边形——菱形”、“角特殊的四边形——长方形”以及“边角都特殊的四边形——正方形”等特殊的图形开始. 相比较于一般性的探究，这种从“特殊”到“一般”的逐步探究，有助于启发学生更有效地思考. 在这个过程中，教师可以引入几何画板等相关的软件，对相关的猜想一一进行直观性的实验验证. 在对特殊的结论进行实验的基础之上，教师可以引导学生对这些特殊的结论进行归纳，进而形成一种理论性的推导认识，即“将四点共圆的问题转化为不共线的三点确定的圆与第四个顶点之间的关系，从而应用圆内接四边形对角互补的性质，让猜想从一般性的意义上获得证明”. 通过这样的实验与理论交互结合的论证，从而能让学生深刻地感受、体验这种“从特殊到一般”的数学思想. 在这个过程中，教师要引导学生大胆地猜想，积极主动地尝试验证. 在这个过程中，教师要鼓励学生质疑，鼓励学生积极主动地分析问题、转化问题.

借助于现代化新技术引导学生开展数学活动，能提高教学活动质量. 同时，能将学生操作的过程与思考的过程进行有机整合. 技术不仅仅是学生活动的支撑，有时候还是活动的先导. 借助于技术，学生能获得一种“替代性的经验”，这种替代性的经验能让学生获得一种具身性的感受、体验，能让学生感悟到仅仅通过操作难以感受、体验的数学思维. 如在上述“四点共圆的条件”的教学中，借助于技术，能让学生的数学学习可视化，从而在学生大脑中形成一种实实在在的四点共圆的直观表象，为学生的数学思考、数学探究打下更为坚实的基础.

优化“导图”，让学生体验数学思想

数学活动应当是学生的一种自主性、自能性的活动. 为了提升学生的自主性、自能性，教师可以借助于相关的“导图”，如“思维导图”“箭头图”“示意图”等，引导、启发、点拨学生的数学活动. “导图”犹如是学生数学活动的一个“导航仪”“方向盘”，不仅能渗透“数形结合”的数学思想，还能让学生的数学活动有方向、有针对性、有实效[3].

比如教学“轴对称图形”这一部分内容之后，我们出示了经典的“将军饮马”问题：

【问题1】一位将军，他每天从军营A地出发，先到河边饮马，然后去河对岸的军营B地开会，怎样走才能让所行驶的路线、路程最短？（不考虑河的宽度）

【问题2】一位将军，他每天从军营A地出发，先到河边饮马，然后去河同侧的军营B地开会，怎样走才能让所行驶的路线、路程最短？

【问题3】一位将军，他每天从军营A地出发，先到河边饮马，然后去河对岸的军营B地开会，怎样走才能让所行驶的路线、路程最短？（考虑河的宽度）

在这个过程中，教师可以引导学生对现实的问题进行抽象（横向数学化），然后对抽象的数学问题进行“轴对称性”的思考. 通过引导学生画图操作，学生就会深刻地理解：为什么选择这个点能让距离和最小？为什么选择其他的点不能让距离和最小？在教学过程中，教师可以拉长学生的学习时空，对相关的问题进行更多的变式，从而深化學生对这部分内容的认知. 尤其是，在问题的关键之处，教师要放缓教学的步伐，允许学生慢慢地揣摩、体会. 如此，才能让学生在面对焦点性的问题时，能将思维高度集中，从而有效地突破学习难点、突出学习重点. 在这个过程中，学生能有效地积累数学基本的活动经验，能有效地感悟、体验数学的思想、方法.

活动是学生形成数学思想的源泉，学生的数学思想同时也是活动的产物，对活动有着指导、牵引等作用. 对于学生来说，无论是外显的操作活动还是内隐的思维活动，都必须在一定的数学思想方法的指导下展开. 从这个视角来看，数学思想与数学活动是相辅相成、相得益彰的. 借助于相关的导图，能让学生在活动中不仅能形成活动经验，还能形成图式经验.

应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题得到广泛流传. 据说海伦略加思索就解决了它. 理论是活动教学的支撑性理论，著名教育心理学家维果茨基提出，在学生数学学习的过程中，有两种不同的水平：其一是“现实水平”，其二是“发展水平”. “现实水平”和“发展水平”之间的差异就是“最近发展区”. 教学就应该着眼于学生的“最近发展区”，充分调动学生的主动性、积极性，开掘学生数学学习的创造性. 依据“最近发展区”理论，在设计、研发数学活动中，教师应当深刻地把握数学知识，了解学生的具体学情，从而做到精准施教、有效施教.

催生“反思”，让学生感悟数学思想

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为，“如果学生在数学学习中不积极主动地反思，他就不能达到较高层次的认识水平. ”可见，反思是学生数学认知从低阶走向高阶的必要条件. 在引导学生展开数学活动的过程中，教师也不能任由学生进行纯粹的外在性的操作，不能让学生陷入机械的、盲目的“动手做”的活动之中，而必须引导学生展开适度的反思. 通过反思，才能让学生的思维与活动有机结合，才能让学生的数学活动具有一定的思维含量.

反思是一种后思，是一种对“认知的认知”，反思的过程是一种对于数学活动进行检视、审视的过程. 它能有效地培育学生的“元认知”意识，提升学生的“元认知”技能. 在初中数学教学中，教师要引导学生反思：我是怎样发现问题的？我是怎样分析问题的？我是怎样解决问题的？教师要适时引导学生反思，让反思贯穿学生数学活动的全过程. 通过反思，学生的数学活动能趋向一种自主、自觉的状态，学生的数学活动变得更为清晰、更为连贯、更为确定、更为稳固，有效地提升学生的活动品质.

比如在教学“探究纸张规格与的关系”这一部分内容时，我们就以小组为单位，引导学生收集、观察、整理A4纸、A3纸等之间的关系. 在引导学生发现并建构了A4纸、A3纸之间的关系之后，我们呈现了A0、A1、A2、A3、A4、A5等A型纸的长、宽数据. 由此自然引发学生的积极反思：它们的面积比是2 ∶ 1，它们的长、宽之间有没有比例关系呢？如果有比例关系，这个比例关系是多少？由于计算比较复杂，因而学生都应用了计算器这样的计算工具. 通过计算，学生发现，这些A型纸的长宽的比例关系都近似地等于. 由此，有学生富有深度地对A型纸的生产过程用画图的活动方式进行探究. 数与形的有机结合，催生了学生借助于一般性的方程求解A型纸的相关关系的想法，进而借助于计算得出科学性的结论. 在这个过程中，学生始终不断地反思，从而不断地引导着自我的数学活动走向深入.

著名数学教育家章建跃博士深刻地指出，要提升学生的数学思想方法，必须引导学生展开高质量的数学活动. 活动不仅给了学生感悟、体验数学思想方法的载体、平台，活动更成为学生的数学思想方法有效途径. 在初中数学教学中，教师要深入发掘教材中的活动因子，用好教材中的活动因子，组织学生开展高质量的数学活动，借助于数学活动，学生能个性化地建构自己的“数学课程”，让学生在活动中感受数学思想、体验数学思想、培养数学思维.

参考文献：

[1]张奠宙，竺仕芬，林永伟. “基本数学经验”的界定与分类[J].数学通报，2008，47（05）：4-7.

[2]硕广林，邓昌滨. 育人视域下的初中“数学活动”内涵分析[J]. 中小学数学，2021（11）：8-10.

[3]王强. 初中数学基本活动经验习得刍议[J]. 江苏教育，2016（51）：37-38.