指向“数学运算”素养提升的初中方程教学寻绎

金国成 张加林

【摘要】“数学运算”是数学学科关键能力之一，它是数学学习过程中最基本的能力与素养，也是获取其他知识、技能、素养的基本工具.笔者有感于浙教版八年级下“一元二次方程根与系数的关系”这一课题的教学，既是学生对方程学习的深入探索与挖掘，也是对数学运算素养的内化与提升.从“亲历过程，在体验‘数学运算中获得运算的方法与路径”“立足本质，在强化‘数学运算中感悟运算的结构与变形”“拓展延伸，在深化‘数学运算中提升运算的能力与素养”三个方面谈一谈“数学运算”能力提升的策略.

【关键词】数学运算;素养提升;韦达定理

“运算能力”是数学核心素养在义务教育阶段的主要表现之一，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“《课标（2022年版）》”）中明确指出：“运算能力主要指根据法则和运算律进行正确运算的能力.能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展.运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.”[1]在“数与代数”领域，《课标（2022年版）》增加了“代数推理”，将“一元二次方程根与系数的关系”由选学内容调整为必学内容，介于此，笔者经历浙教版八下“一元二次方程根与系数的关系”一课教学后，有感于根与系数的关系在教学、练习、拓展等过程所蕴含的教学价值，是有效实践“数学运算”素养培养的重要教学内容与载体，在数学发展和思维培养方面有非常重要的地位.

1亲历过程，在体验“数学运算”中获得运算的方法与路径

《课标（2022年版）》在课程基本理念中强调，数学课程内容既要反映社会的需要、数学的特点，也要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和数学思想方法.课程内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，直接经验与间接经验的关系.课程内容的呈现应注意层次性和多样性.确实，在组织学生学习数学的时候，关注对数学知识、规律等形成过程的探索与研究是学生后续继续学习数学、素养提升的重要途径.

1.1注重公式推导，体验数学运算的程序与方法

在“一元二次方程的根与系数的关系”教学过程中，学生已经具备了一元二次方程的多种不同解法，已经了解并掌握了利用求根公式进行方程求解以及利用判别式b2－4ac判断根的个数情况，这就为本节新课的教学提供了自主体验、亲历知识形成的条件.由此，笔者设计了这样的引入及合作学习让学生自主探索根与系数的关系（韦达定理的形成）.

引例已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根分别为x1，x2，则它们的根可以用系数表示为x1=－b+b2－4ac2a，

x2=－b－b2－4ac2a，通过合作探究，思考并交流以下两个问题：（1）两根在结构上有什么异同点？（2）两根之间具有怎样的特殊关系？

通过引例，在组织学生开展公式推理的过程中，注重让学生寻找求根公式的特点以及两根的联系，进而自发形成关于两根与系数之间的关系，使得学生充分体验数学运算的基本方法，了解数学运算法则、程序等都是在经历运算的过程中抽象、提炼出来的，为后续的进一步深入应用、探究奠定坚实基础.

1.2抓住基本算式，认识简单变式运算的路径与方式

经过对一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之和、两根之积公式的推导，及时抓住对于x1+x2，x1·x2，1x1+1x2，x12+x22，x1－x2等基本算式的了解与巩固，使学生及时认识简单变式运算路径与方式.

例1设方程3x2－2x－1=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=，x1·x2=，1x1+1x2=，x21+x22=，x1－x2=.

此题学生较容易求得x1+x2=23，x1·x2=－13，通过后面算式的简单变形，1x1+1x2=x1+x2x1x2，x21+x22=（x1+x2）2－2x1·x2，x1－x2=（x1+x2）2－4x1·x2，进行整体带入求值.

变式设方程3x2－2x－1=0的两个实数根分别为x1，x2，求（x1－1）（x2－1）的值.

类似例1解法，将（x1－1）（x2－1）进行变形得（x1－1）（x2－1）=x1·x2－（x1+x2）+1，进而以x1+x2=23，x1·x2=－13代入求得结果.

通过实例的练习，再次使学生及时感知了根与系数基本联系下的简单变形，有效达到了学生探索数学基本运算、体验运算的基本规则的目的.

1.3尝试逆向探究，提升数学运算的技术与能力

如果说对ax2+bx+c=0根与系数关系式的演绎推理是数学运算素养发展的自然产物，倒不如让学生在感受、体验后逆向思考：已知一个方程的两个根，如何构造一元二次方程？既能开放、发散学生的思维，又能为进一步变式提供铺垫：

例2已知α+β=5，且α·β=6，则以α，β为两根的一元二次方程是（）.

A.x2+5x+6=0

B.x2－5x+6=0

C.x2－5x－6=0

D.x2+5x－6=0

此題是已知一元二次方程两根的和、积，构造满足这样条件的一元二次方程，充分考查了学生对于一元二次方程根与系数之间的关系以及运算变形的能力.作为客观选择题，固然可以将选项中的各方程根求解后比对条件而作答，亦可通过对一元二次方程二次项系数化1后为x2+bax+ca=0，对比α+β=－ba=5，α·β=ca=6，学生易得方程x2－5x+6=0.在逆向变形过程中有效提升学生的运算技术与能力.

2立足本质，在强化“数学运算”中感悟运算的结构与变形

在培养学生数学运算素养的过程中，立足本质，并强化对代数基本模型的建构与运用，是学生感悟运算法则、快速形成算路、提升运算速度的必要条件.这也是建立在学生基本的观察能力与逻辑推理基础之上，进一步以数学运算为载体呈现学生数学核心素养的重要方面.故在教学过程中立足基本模型的建构与提炼，具有较为深远的价值与意义.

2.1认清结构，提炼模型

数学运算中法则的形成、应用是数学教学的基础，学生在学会基本的数学运算知识与技能后，面对较为复杂、典型的代数运算，如何认清代数结构，提炼解决问题模型是学生数学素养提升的关键.

例3已知mn≠1，且5m2+2018m+9=0，9n2+2018n+5=0，则mn的值为.

在一元二次方程根与系数学习完成后，学生面对此类稍微复杂题型依旧无从下手，因此教学过程中有必要培养学生学会观察、认识结构的能力，观察发现两个方程的系数与常数项刚好相反，进而引导学生提炼模型，先将第二个等式两边同除以n2得5（1n）2+2018·1n+9=0，此时构造以m，1n为根的方程5x2+2018x+9=0，不难求解mn=m×1n=95.

2.2厘清本质，学会转化

在认识代数变形、运算法则的同时，笔者认为学生对条件与结论的转化能力是体现学生对知识灵活应用的有力表征，因此有效促进学生抓住题目的本质，学会条件与条件、条件与结论之间的转化，是解决数学运算难点的一大重要环节.在一元二次方程根与系数教学过程中，注重正向推理获得两根之和、两根之积，进而求解问题是教学过程学生较易掌握的.然而对于含参方程，给出两根条件、求解参数问题题型易错但较能突显思维品质，则需要学生具备一定的抽象思维与运算素养.

例4已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx+k+1=0的两个实数根.

（1）是否存在实数k，使得（2x1－x2）（x1－2x2）=－32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由;

（2）求使x1x2+x2x1－2的值为整数的实数k的整数值.

根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1·x2=k+14k，由条件（2x1－x2）（x1－2x2）=－32或x1x2+x2x1－2的值为整数这两个不同类型的条件构建关于k的方程或代数式求解k的值.在解决含参方程问题上给学生打开了一扇窗户，通过将两根之间等量关系转化为含k的方程解决问题，有效提升了学生对数学运算法则与本质的认识.

变式已知α，β是关于x的一元二次方程（m－1）x2－x+1=0的两个实数根，且满足（α+1）（β+1）=m+1.（1）求实数m的值;（2）α+β－α·β<－1，且满足m为整数，求k的值.

此类型是例4的变式，类似的方法将α，β的等量关系、不等关系通过韦达定理转化为关于m的方程与不等式，有效抓住了运算过程中的本质——法则未变，转化为先.

3拓展延伸，在深化“数学运算”中提升运算的能力与素养

数学运算贯穿于整个数学学习乃至日常生活，因此对学生数学运算能力与素养的培养意义深远，在初中数学教学中，从具体的数字、数系运算到抽象的字母、代数式运算，再到方程、不等式、函数等模型的建构、应用无不需要学生逐步提升数学运算素养以达成后续学习.介于此，笔者有感于一元二次方程根与系数的教学过程中，利用韦达定理解决二次函数图象交点、方程根的正负性、参数存在性等拓展这一系列的练习，可以有效提升学生数学运算的能力与素养.

3.1横向延伸，拓宽思维，发展数学运算能力

关注知识点之间的横向联系，是拓展思维的有效方式，利用韦达定理解决其他数学问题就是发展数学运算能力的有效途径.

例5已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B，C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=.

此题根据二次函数的图象以及图象与坐标轴交点，S△ABC=12BC·yA=12xB－xC·yA=3，其中xB与xC即为当y=0时，一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根，因此xB－xC=（xB+xC）2－4xBxC，将问题的解决方式转化为一元二次方程根与系数的关系，得到关于b的方程，进而求得b的值.

將方程中根与系数的关系与二次函数进行有机结合，从而形成解题思路是思维的有效生长点，也是我们日常教学中的一重要转化点，不仅仅在简单的应用上可以如此，面对较为复杂的问题亦可如此探究.

例6已知二次函数y=14x2+1的图象如图1，点F（0，2），点A在抛物线上移动，其横坐标为t（其中t≠0）.直线AF与抛物线交于另一点B，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D.

（1）求证：AF＝AC；

（2）试用t表示B点的坐标；

（3）当A在抛物线上移动时，∠CFD的大小是否变化？如果不变，求出这个角的度数；如果变化，则说明理由.

此题在第二问的解决过程中可以充分呈现学生对于函数图象、方程组、一元二次方程以及根与系数关系等知识点间的不断转化、有机结合，是考查学生数学运算能力的典型题.求解过程中较为常用的方法是设直线AB的函数表达式为y=kx+2（k≠0），进而与抛物线表达式y=14x2+1联立方程组y=kx+2，

y=14x2+1消元得14x2－kx－1=0，由韦达定理得xAxB=－4.

在解决问题的过程中让学生将前后知识充分联系、转化，此题虽然解法颇多，但上述解法是通过有效转化之后利用韦达定理快速求解的最佳方法之一，体现了学生数学运算过程的数学素养，同时经过有效地拓宽思维，推进了数学运算能力的提升.

3.2纵向挖掘，注重理解，提升数学运算素养

数学运算素养是学生对概念、法则、程序、结构等理解的一种内化与升华，而在学习过程中，除了知识广度上相互联系，学生对知识深度的纵向挖掘与理解，更是数学思维与素养的强大表现.在一元二次方程根与系数的关系教学中，推进对知识的深入探究、理解是积极培养学生数学运算素养的有效时机.

例7已知关于x的方程x2－2kx+k－14=0.若此方程的一个根大于2，另一个根小于2，求实数k的取值范围.

此题不仅要求学生思考根的存在性，还需要学生深入探究根的大致范围，具有一定的难度.笔者用以下三个问题引导学生思考：（1）确保两根的存在，我们需要k满足什么条件？（2）根与系数的关系具备的基本变形有哪些？（3）题中的两根需要满足什么条件，有哪些基本变形？通过三个问题让学生寻找思维的对接点，理解根与系数的关系变化中的不变性.通过第二问引导学生将问题指向探索x1+x2=2k，x1·x2=k－14以及与此有关的变式，再通过追问（3）呈现x1>2，x2<2，转化为x1－2>0，x2－2<0，将问题引向研究两个代数式正负性问题，转化为（x1－2）（x2－2）<0，然后通过变形求解关于k的不等式.

变式亲爱的同学们，经过三年初中数学的学习，我们知道方程与函数联系密切.我们可以用方程的思想解决函数问题，也可用函数思想讨论方程问题，而在讨论方程根的个数时，常借助函数图象获得直观简捷的回答.请你利用以上思想方法，解决下列问题：（1）请你研究方程x3－x－4=0有几个实数根，并说明根的正负性；（2）关于x的方程3ax2+2bx+c=0，其中a，b，c满足：a+b+c=0，c>0，3a+2b+c>0，请你证明方程必有两个根，且两个根都大于0且小于1．

此题在第二问的解决过程中，题目的用意是让学生通过方程与函数之间的转化，利用数形结合的方式解决问题，但也可以通过纯粹的代数方法解决.教学中可以先引导学生通过判别式Δ=4b2－12ac=4（c+a）2－12ac=（2c－a）2+3a2>0，故得证方程必有两个根，再利用根与系数的关系以及条件中的a+b+c=0，c>0，3a+2b+c>0求证两个根都大于0且小于1.此时笔者首先让学生充分感受x1与x2的大小与以及基本的变形是什么，方式类似于例7中的三问，引导学生将00，x2>0，故此将所证问题转化为两个层面思考：

（1）x1+x2=－2b3a，

x1·x2=c3a.

（2）（x1－1）+（x2－1）=－6a+2b3a，

（x1－1）（x2－1）=3a+2b+c3a.

继而探讨－2b3a>0，c3a>0，－6a+2b3a<0，3a+2b+c3a>0，由此问题得证为真命题.

理解数学运算，不是停留在表象的法则、基本的运算律，更为本质的是找到运算中的个体与个体之间的相互联系，从而通过转化、变形，构建解决问题的模型，体现素养，展现魅力.

数学运算作为数学学科关键能力之一，其价值毋庸置疑，在学生数学学习的的過程中如何有效组织学生亲历对算法、规律、法则、程序等的产生过程，不断拓展学生对数学运算的理解、深化、延展，是学生数学能力发展、素养提升的重要环节.初中学生经历了从数到字母、代数式、方程、不等式、函数等代数方面的一些列学习，有效奠定了数学运算作为其他数学素养培养过程中的重要工具与基本思维方式的基础.由此，笔者对“一元二次方程根与系数的关系”的例题进行了精心挑选、适当改编、有效拓展，以数学运算核心素养为理念展开教学，将其探究的方法与路径、本质与结构、能力与素养以螺旋式上升的方式呈现在教与学的实践中，促动的不仅是学生对于知识内在的由浅及深、由表及里的收获，更多的是对于数学运算能力素养的有效提升.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：8.

作者简介金国成（1985—），男，浙江嘉兴人，中学高级教师;获“浙江省中小学教坛新秀”“第五届浙江省最美教师候选人”等荣誉;获区级以上各类教师业务竞赛奖20余项;主要从事初中数学教学工作，主持与承担市、区级教育科研课题10余项，发表论文40余篇.

张加林（1986—），男，浙江海盐人，中学高级教师;获“嘉兴市优秀教师”“嘉兴市第十三批学科带头人”“嘉兴市教坛新秀”等;主要从事数学教学以及初中数学课程教学设计与命题研究.