小学数学推理活动设计的要素与模块组合路径

摘 要 推理意识或推理能力是义务教育阶段学生数学思维的主要表现之一。猜想、说理、例证既是推理意识表现水平的重要元素，又是推理学习过程的核心活动。其核心活动设计要素与活动模块组合路径主要包括猜想专项活动的类型、要素与驱动，说理专项活动的目标进阶、话语系统和表现维度，例证专项活动的材料、方式与活动组织，猜想、说理、例证活动模块组合路径与范式，基于教学差异的一课多式推理学习路径五大策略。

关  键  词 《义务教育数学课程标准（2022年版）》 推理意识 猜想 说理 例证

引用格式 宋煜阳.小学数学推理活动设计的要素与模块组合路径[J].教学与管理，2023（02）：37-41.

推理意识或推理能力是义务教育阶段数学思维的主要表现之一。推理意识可以视为推理能力的初级阶段，推理意识的发展能促进学生初步形成数学的思考方式，为推理能力发展奠定经验基础。《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的推理意识主要表现为三类活动：一是猜想，即“知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论”“能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论”；二是例证，即“能够通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论”[1]；三是说理，即“对自己及他人的问题解决过程给出合理解释”。猜想、说理、例证，既是推理意识表现水平的重要元素，又是推理学习过程的核心活动。猜想是合情推理的关键与核心，是合情推理的具体方法和必要环节。猜想的提出是对推理思维过程的概括和推理思维内容的提炼，能获得数学发现的机会，能锻炼数学思维。“猜想-验证”是合情推理的基本路径，验证是指以数学事实为依据，运用数学语言有根据、有逻辑地解释结论和确认结论的过程，是对说理和例证的综合运用。其中，数学事实依据就是例证，有根有据、逻辑表达与解释就是说理活动。

小学数学推理意识的发展，需要加强猜想、说理、例证的实践研究，划分活动类型、流程、组织形式和适用范围，结合课例进行活动设计与模块组合，形成专项活动、综合活动设计范式，提炼出具有操作化的设计策略[2]。

一、猜想专项活动的类型、要素与驱动策略

1.猜想活动的类型与要素

根據合情推理的分类，猜想活动类型划分为归纳猜想、类比猜想和直觉猜想三类；根据猜想的内容指向，猜想又可以分为指向探究结论的猜想、指向探究方法的猜想和指向探究过程的猜想三类。如图1，猜想活动主要有两条路线。

路线一，情境观察—对比归纳—形成猜想；路线二，直觉猜想—情境观察—二次猜想。其中，情境观察是两条活动路线的必要活动，情境观察包括生活情境观察、数学情境观察、实验情境观察三类。学生在情境刺激下，展开对比归纳，对比归纳包括归纳和类比两项活动。情境和问题是猜想活动设计的两个关键要素，情境是猜想的开始，通过情境刺激，支持猜想；问题对猜想的方向起到关键性导引作用，形成猜想。为此，猜想活动设计主要指向情境设计和问题设计，形成相应的情境驱动策略和问题驱动策略。

2.情境驱动策略

情境驱动策略指通过情境驱动，帮助学生提出猜想，是对推理思维过程的概括和对推理思维内容的提炼，能获得数学发现的机会，锻炼数学思维。情境驱动包括生活情境驱动、数学情境驱动和实验情境驱动，分别以生活经验、知识关联和实验操作支持猜想。

生活情境驱动，根据教材内容特点和学生年龄特征，从学生的生活经验出发，设计生动有趣、直观形象的生活情境，激活学生已有生活经验，产生数学猜想[3]。如“租船问题”的猜想活动，学生在租船生活情境中激活“省钱”经验，对最优方案作出猜想。

数学情境驱动，利用教材中的规律、定律、性质创设数学情境，通过对比观察、举例扩充和寻找联系，利用知识间的关联支持猜想。如“99或999乘以一个个位数积的规律”猜想活动，先提供第一组算式组织学生探索规律，并应用规律写出后面两题答案“99×1=99  99×2=198 99×3=297 99×4=396……99×7=  99×8=”；接着提供第二组算式“999×1= 999×2=  999×3= 999×4=”，要求学生根据第一组算式的规律，猜想第二组算式的答案并验证。

实验情境驱动，通过实验操作演示，直观形象地呈现知识探究过程与探究结果，促使学生作出合理的猜想。如圆锥体积公式推导可以采用实验情境驱动猜想：（1）回忆联想：圆柱体积公式是怎样推导的？转化前后的圆柱体与长方体有什么关系？出示长方体、正方体、圆柱体，讨论：研究圆锥的体积，你会选择哪个图形进行研究？（2）实验猜想（一）：利用圆锥把水倒进圆柱的“倒水法”实验，猜想圆锥与圆柱的体积关系；（3）实验猜想（二）：利用圆柱、圆锥浸没于长方体水槽的“排水法”实验，猜想圆锥与圆柱的体积关系。

3.问题驱动策略

问题驱动策略重在通过问题驱动，帮助学生厘清结论产生的背景与成因，引发学生思考探究，形成猜想。问题驱动主要包括指向结论的问题驱动、指向过程的问题驱动和指向方法的问题驱动。

指向结论的问题驱动是指在问题设计时，要侧重指向知识结果，使结论明确化，以终为始，让学生进行有目的猜想。在学习“比例的基本性质”时，先回忆比的基本性质，再呈现四个比例：2：1=3：1.5，0.2：2.5=8：100，40：4=10：1，：=100：60，组织学生观察计算并讨论：比例的内项和外项有什么关系？在这个指向结论的问题的驱动下，学生形成猜想：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

指向过程的问题驱动是指向结果获得的具体方法与过程，要根据教学内容设计过程性思考的问题串，逐步帮助学生形成猜想。在探究“两位数乘11”的规律时，可以观察算式、计算答案，通过问题串引导学生观察思考并提出猜想。出示算式：31×11，41×11，62×11，53×11，猜一猜两位数乘11的积可能存在什么规律？为什么有这样的规律？从而形成“两位数乘11”的完整猜想。

指向方法的问题驱动是指利用前后知识之间的联系进行迁移，用问题引导、迁移应用形成猜想。如在研究一个数的倍数特征时，先找10的倍数规律，组织学生观察、讨论，形成猜想：10的倍数的个位都是0，并举例验证，确认结论；接着迁移方法 ，寻找5的倍数特征，学生得出结论：5的倍数的个位都是0或5；最后组织学生回顾梳理“刚才对10和5的倍数特征是怎么猜想的？组织学生对2、3、4、6的倍数特征进行猜想。这个过程就是对10和5倍数特征猜想方法的迁移应用。

二、说理专项活动的目标进阶、话语系统和表现维度

1.建立说理专项活动的目标进阶

小学数学说理专项活动，需要根据学段特点，建立“会说—善说—能辩”的活动目标进阶。即，第一学段，要求“说完整”“说准确”；第二学段，要求“说简单、清晰”“有条理表达”；第三学段，要求“有根据地解释和说明自己观点”“质疑和反驳他人的想法”[4]。

2.健全说理专项活动的话语系统

健全常用话语系统是说理专项活动重要内容。说理常用话语系统一般由逻辑语言词汇、推理常用句式、符号语言和图文直观四部分构成。逻辑语言词汇，如序列关系连接词“第一，第二，第三”，比较关系连接词“也”，递进关系连接词“或者”“同时”等；推理常用句式，如三段论的“因为…，又因为…，所以…”；符号语言，如“38＜40，40×5=200，38×5＜200”；图文直观说理包括几何直观、直觉判断说理、图文转换等。如在“比”的环节重点把推理比较的过程说清楚，需要类似“因为92>90，又因为90×8=720，所以92×8>700”的话语系统予以支持。

3.刻画说理专项活动的表现维度

“说理”“写理”“辩理”是说理专项活动的三个表现维度，需要全面刻画。说理活动要重视“正向说理与反向否定”路径的选择。正向说理适用于正确的命题，通过规范的句式如“因为……又因为……所以……”“首先……其次……再次……最后……”等，进行完整有逻辑的表述，逐渐形成良好的说理技能。反向否定适用于判断式的命题，通过一个反例把命题陈述的意思推翻。针对“2是质数”这个知识点可以设计很多命题，如“所有的質数都是奇数，所有的合数都是偶数”“两个不同质数的和一定是偶数”等，这类题就可以用举例、反向说理去否定命题不成立。

写理活动是指把推理的思考过程完整地、用文字说明的形式记录下来，通常用“因为……又因为……所以……”的三段论话语系统进行表述。辩理活动要把握辩理的节点，在知识混淆处、方法优化处发挥辩论的优势。当学生对知识理解、选择问题解决方法产生分歧时，可以围绕知识混淆处、方法优化处等节点组织学生辩理，通过辩理实现对知识的深度理解，发展高阶思维。辩概念时，需要抓住概念本质进行辩理，使学生清晰理解、准确运用；辩方法时，重点展示各自方法的优点，进行思想的碰撞，使其中一方能信服对方的观点。

三、例证专项活动的材料、方式与活动组织

例证过程中可以通过各版本教材例题、习题的比较，丰富物证材料的类型和数量，给学生提供多元的例证材料。如“乘法分配律”一课，人教版、浙教版、北师大版在例证材料的类型选择上各有千秋，可以通过横向比较、合理选择，开展推理例证活动。从例证数量上看，浙教版通过四个实例得出四个等式，接着引导学生模仿举例，再进行符号概括，体现不完全归纳推理的过程。从例证类型的丰富性看，人教版安排了笔算乘法中隐含的乘法分配律；北师大版注重几何直观，例题、做一做和配套练习都有在图形中发现乘法分配律的例子，还穿插了用几个几的乘法意义来解释算式，体现出例证材料的丰富性。

根据例证内容特点，可以选择多元的例证方式。例证方式主要包括列举多个正例进行不完全归纳推理、列举一个反例否定结论、根据一个例子进行科学论证等。归纳推理活动，要经历“猜想—验证—得出结论”的过程，猜想后可以先个别举例，当明确举例类型与方法后，全班每人举两三个例子再汇总，从而得出不完全归纳推理的结论，接着再经历寻找反例的过程，培养科学的例证态度。在不完全归纳推理得出结论后，用科学论证法对本源进行阐释，实现归纳推理和演绎推理的完美结合。如“2、3、5的倍数特征”在用不完全归纳推理得出结论后，组织本源阐释的例证活动：因为2、5都是10的因数，除个位上的数外，剩余数就是整十数，它们一定是2或5的倍数，因此要看个位进行判断；3的倍数特征，可以结合小棒图来说明各个数位上的数字就是3倍数取完后剩下的小棒数。

例证专项活动的组织形式，要充分融入学生说题、探究作业、数学小论文撰写等多元化活动，丰富推理探究的类型。说题的活动组织，可以采用日常训练与比赛展示相结合的方法；探究作业的组织，以独立作业与展评活动相结合；数学小论文，以独立撰写与参评、发表等方式相结合的方式。通过多种类型的组织方式，使学生多样的推理活动在扎实训练的基础上得到展示、推广。说题内容分作业说题和专项说题两类。作业说题，针对课堂作业和家庭作业中的重难点，采用课内说题与视频拍摄的形式进行日常训练，展开说题成果互动评价，帮助学生积累说题经验，逐渐形成说题步骤与模型。专项说题，有针对性地选择特定类型的题让学生展开说题活动，如概念理解类、算法说明类、度量主题类等。说题的组织形式要多样，可以采用“日常训练—校级评优—区级展示”的进阶方式，让学生在日常训练中积累经验，以评优、展示等方式激发学生说题兴趣、树立说题榜样、形成说题模式。数学小论文撰写需要经历“寻找题材—推理设计—撰写成文”的阶段，每个阶段紧扣推理元素展开思考与实践。学生完成独立撰写后，进行生生、师生之间的交流改进，优秀作品参加数学小论文评比或投稿到公开杂志上发表，充分调动学生的积极性。

不同角度多元化的例证，学生感受着不同维度的例证材料、不同角度的例证方式、不同体验的例证活动，将帮助学生积累更丰富的例证经验，推动推理意识的发展。

四、猜想、说理、例证活动模块组合路径与范式

推理综合活动设计可以根据推理类型的不同，对猜想、说理、例证活动模块进行组合，开发不同的学习路径，提供综合活动范式。

1.归纳推理综合活动模块组合

归纳推理综合活动主要包括猜想、例证、结论三个模块。其中，例证是中心环节，由正例例证和反例例证构成。如图2所示，先采用正例验证，注重例子的广度与深度；再尝试例举反例，进而得出结论。

如“加法交换律”一课，归纳推理综合活动流程如图3。环节一，引发猜想。先根据已有材料引发猜想：交换两个加数的位置，和不变。环节二，例证说明。尝试举正例说明，呈现整数加法、小数加法和分数加法，体现广度与深度，再尝试举出反例即交换加数的位置后和不相等的情况，无法举出反例。环节三，确认结论。归纳得出结论a+b=b+a，揭示加法交换律。

2.类比推理综合活动模块组合

类比推理综合活动主要包括猜想、说理、结论三个模块。其中，说理是中心环节，主要通过类比说明方式进行。如图4所示，根据A是1这一结论推理，找到A的同类B，找到1的同类2，进而类推出B是2这一结论；同样进一步找出B的同类C和2的同类3，类推出C是3的结论，再根据类推结果形成结论。

如“多邊形内角和”一课，类比推理综合活动流程如图5。环节一，引发猜想。根据已有材料，引发多边形内角和猜想。环节二，说理归纳。分别依据三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，结合图形分割类比归纳规律。环节三，确认结论。

3.演绎推理综合活动模块组合

演绎推理综合活动主要包括猜想、说理、结论三个模块。其中，说理是中心环节，主要依据已知信息、已有数学事实（性质、定理、意义等）得出新的结论。在说理过程中，若一次推理无法得到最终结论，则继续根据性质、定理和意义进行第二次推理，直至形成最终的结论。如“分数的基本性质”一课，演绎推理综合活动流程如图6。环节一，提出猜想。先根据已有信息提出猜想。环节二，说理例证。先通过分数与除法的关系，将转化为240÷360；再通过商不变性质将240÷360转化为2÷3；最后通过分数与除法的关系将2÷3转化为，由此得出和。环节三，确认结论。概括得出分数的基本性质。

五、基于教学差异的一课多式推理学习路径

基于推理类型、内容结构、认知水平的教学差异，围绕同一节课或同一个推理活动，从不同角度对猜想、说理、例证活动模块进行多种方式组合，以“一课多式”探索推理能力培养的不同路径，促进合情推理和演绎推理的融合共进。

1.基于推理类型差异的一课多式

相同的教学内容根据推理类型的不同可以设计不同的学习路径。合情推理可以采用“操作观察—形成猜想—例证说理—确认结论”的学习路径。如“分数的基本性质”一课，合情推理的学习路径为：（1）画一画。出示，，等分数，在正方形中用阴影部分表示出分数的含义。（2）比一比。根据阴影部分大小，说说这三个分数有什么联系。（3）写一写。还能写出更多一样大的分数吗？（4）说一说。怎样的分数是一样大的？演绎推理可以采用“衔接联想—形成猜想—例证说理—确认结论”的学习路径。同样是“分数的基本性质”，演绎推理的学习路径为：（1）问题激活。有跟大小相等的分数吗？写一写。（2）大胆猜想。猜想一下，只要怎样分数的大小就不变。（3）例证说理。这些分数单位不同，怎样证明它们大小相等？（4）确认结论。说一说刚才研究的规律。虽然通过合情推理和演绎推理可以得出相同结论，但学生所感知的推理过程、推理方法和思维方式是不同的。

2.基于内容结构差异的一课多式

根据不同知识内容的结构差异、同一内容不同教学处理的结构差异，可以构造出单一式、迭代式与外延式等一课多式。单一式结构适合知识内容相互关联较少的内容，推理活动框架结构为“猜想—验证”，如“整十、整百数乘一位数口算”就属于该推理活动框架。迭代式结构适合较难的知识内容，进行分层推进，推理活动框架结构为“猜想—验证—猜想—验证……” 迭代式的推理结构适用于相对复杂的教学内容，包括两类：一类是不同猜想形式的迭代，如“三角形内角和”的推理框架，为后续的“多边形内角和”埋下推理的种子。另一类是多元猜想形式的迭代，学生无法一次性获得最终的数学猜想，如“比的基本性质”，可以通过对比等值的分数、比、除法，先猜想它们有什么相同和不同，通过转换来论证；再猜想比的基本性质，进而根据相互关系来证明，不断迭代。外延式推理活动框架结构为“猜想—验证—外延猜想”，是典型的类比推理，适用于从一个结论走向同类型的另一个结论的推导，是引发知识关联和学生自主学习的重要形式。如“交换律”“9的倍数的特征”……都可以采用这样的结构来开展学习。

3.基于认知水平差异的一课多式

学生原有认知水平差异会对推理活动产生重要影响。根据学生对推理结论的认知程度差异，形成发现式、验证式等一课多式的学习路径。发现式，适用于多数学生对研究结论未知，路径为“实验—猜想—说理—结论”，侧重规律的发现。验证式适用于多数学生已经知道结论，路径为“猜想—实验—说理—结论”，侧重规律的验证。如“长方体的体积”一课，可以根据学生对长方体体积公式的了解程度，选择合适的学习路径。其中，发现式学习路径通过实验操作，对摆放的立方体单位个数、长方体长宽高数据之间的规律进行观察，用不完全归纳推理得出体积公式；验证式学习路径通过实验操作，对已知体积公式作出验证，尽管学习路径不同但都可以促进学生推理意识的发展。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022 年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：9-13.

[2] 宋煜阳.“猜想”“说理”“例证”活动设计：意义、内涵与维度[J].江西教育，2020（35）：16-20.

[3] 张丹.推理能力的内涵及教学建议[J].小学教学：数学版，2018（05）：9-12.

[4] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海教育出版社，2017：123-147.

［责任编辑：陈国庆］