一类具有年龄结构和接种干预的手足口病模型动力学分析

袁 媛,范彦勤,林汉燕

(桂林航天工业学院理学院,广西 桂林 541004)

0 引 言

手足口病是一种常见于儿童人群的传染性疾病,多发于学龄前儿童,3岁以下婴幼儿普遍易感.引起手足口病的肠道病毒有20多种,其中以柯萨奇病毒A16型和肠道病毒EV71最为常见.由于该病缺乏有效的预防和治疗措施,所以接种安全、有效的针对性疫苗成为防控该病的有效手段.手足口病有多种传播机制[1-8],如文献[1-2]提出了具有隔离措施的手足口病模型,文献[3-4]考虑了接种对手足口病传播机制与免疫策略的影响.

图1 手足口病的传播机制Fig.1 Transmission mechanism of hand-foot-and-mouth disease

本文以学龄前儿童作为研究对象,假设:1)学龄前儿童作为一个独立系统,儿童接种后或患者治愈后一段时间内具有一定的免疫力,因此将其分为三类人群:易感者、染病者和免疫者;2)由于不满3岁的幼儿抵抗力低,容易受到病毒侵袭,3～6岁儿童在幼儿园内容易存在交叉感染,所以染病者对这两组人群的传染率是不同的,按照年龄将易感者分为两组:不满3岁的幼儿组,3～6岁儿童组;3)在一段时间内,人口出生率和迁移率大体上是稳定的,因此考虑人口输入率与自然死亡率为常数;4)虽然多数手足口病患者能治愈,但也有少数重症者病情发展迅速,导致死亡,因此考虑因病死亡率为常数.基于以上假设,手足口病模型的传播机制如图1所示.

根据手足口病的传播机制,建立具有年龄结构与接种免疫的手足口病传染病模型:

(1)

模型(1)满足的初始条件为

S1(0)>0,S2(0)>0,I(0)>0,R(0)>0

.

(2)

其中:S1(t)、S2(t)、I(t)、R(t)分别表示t时刻不满3岁组易感者、3～6岁组易感者、染病者和免疫者的个体数量;α表示单位时间内人口的常数输入率;k1、k2分别表示两组易感者的接种率;σ表示从不满3岁组易感者向3～6岁组易感者移出的比率;μ表示自然死亡率;β1、β2分别表示染病者对两组易感者的传染率;k表示随着年龄增长从3～6岁组易感者的移出率;γ表示染病者的治愈率;d表示因病死亡率;η表示免疫者的移出率.以上所有参数均为正数.

记N(t)=S1(t)+S2(t)+I(t)+R(t),则

1 平衡点的存在性

I*满足一元二次方程

(γ+μ+d)β1β2I2+[(γ+μ+d)β2(k1+σ+μ)+(γ+μ+d)β1(k2+μ+k)-β1β2α]I+

(γ+μ+d)(k1+σ+μ)(k2+μ+k)-β1α(k2+μ+k)-β2σα=0.

Δ=[(γ+μ+d)(β1(k2+μ+k)+β2(k1+σ+μ))-β1β2α]2-4(γ+μ+d)β1β2×

[(γ+μ+d)(k1+σ+μ)(k2+μ+k)-β1α(k2+μ+k)-β2σα]=

2 平衡点的全局稳定性

(3)

易得J(E0)有4个特征根:

易得特征方程有一个特征根λ1=-μ-η<0,其余特征根满足

λ3+a2λ2+a1λ+a0=0

,

(4)

其中

a2=k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*,

显然a2,a1,a0>0,且

(k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*)-

(k1+σ+μ+β1I*)(k2+μ+k+β2I*)(k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*) +

(k1+σ+μ+β1I*)(k2+μ+k+β2I*)(k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*) +

(k1+σ+μ+β1I*)(k2+μ+k+β2I*)(k1+σ+μ+β1I*+k2+μ+k+β2I*)+

由于

所以

3 结果分析