波利亚“怎样解题表”在初中数学几何解题中的应用——以一道中考题为例

杨 娟 钟文雯

(成都市新都一中实验学校,四川 成都 610500)

1 问题提出

通过对中考中难题的完成情况以及解题方法、策略的了解,学生发现他们在平时的解题中存在思路不清晰、思维过程不完整、没有对问题进行及时的回顾反思和深入思考等现象,导致在时间有限的中考中,很难在短时间内找到解决问题的方法并得出最终的正确答案.因此笔者希望能够通过利用经过长期实践验证的对学生解题有切实帮助的解题方法——波利亚“怎样解题表”,弥补学生思考的不完整性,帮助学生在日常的解题学习中,形成完整的解题思路,从而培养他们的数学思维,从根本上提高他们的数学素养.

2 波利亚“怎样解题表”

首先,理解题目.理解题目是解题的首要前提.从题目的叙述开始,熟悉题目,找出“未知量”,深入理解题目,将题目的主要部分分离出来,“已知数据是什么?条件是什么?[1]”

其次,拟定方案.拟定方案是解题的关键步骤.首先通过观察未知量,并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目[1].通过对比两者的共同点和区别,总结出类似题目的解决方法和策略,并尝试应用到待解题目中,找出已知数据与未知量之间的直接或间接联系,必要时考虑辅助题目,最终得出一个解题方案.这个过程需要联系旧知,符合学生最近发展区.

再次,执行方案.执行方案是解题的具体实施过程.执行之前拟定的方案是对解题方案的合理性和正确性的检验,培养学生整理零散思路,形成条理性思维.

最后,回顾.回顾是对解题过程的检验和完善,是对数学思维和素养培养的提升.通过检验解题中所得到的结果和论证、用不同的方法推导结果实现一题多解并进行方法优劣的比较从中择优择简、考虑所得结果和方法在其它题目中的适用性最终实现对知识的迁移.但这个步骤在实际解题往往是最容易被忽略的.

“怎样解题表”的四个环节是在完整解答一道题目时必定会涉及到的,是思维的层层递进,且更多的是教师启发性的提问,而不是一种解题的固定模式,所以教师在启发学生解答题目时,并非要涉及到表中的所有问题,而应根据不同题目灵活运用,创造性地使用“怎样解题表”[2].

3 波利亚“怎样解题表”在初中数学解题及教学中的具体应用

例1面积为6的ABCD纸片中,AB=3,∠BAD=45°,按下列步骤进行剪裁和拼图.

图1 ABCD剪开图 图2 平行四边形剪开图 图3 三角形DCF翻转图

第二步:如图2,将△ABE纸片平移至△DCF处,将△ADE纸片平移至△BCG处;

第三步:如图3,将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处(边PQ与DC重合,△PQM与△DCF在CD同侧),将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处(边PR与BC重合,△PRN与△BCG在BC同侧).

则由纸片拼成的五边形PMQRN中,对角线MN长度的最小值为____.

3.1 第一步:耐心审题,理解题目

首先要明确目标:“该题的未知量是什么?”

“五边形的一条对角线的最小值.”

“已知数据是什么?”

“条件是什么?”

“未知量和条件之间的联系是什么?或者说通过现有的条件是否能够确定未知量?”

3.2 第二步:探索思路,拟定方案

“我们已经知道了未知量是五边形的一条对角线的最小值,那你们能想到一道和该题未知量相同的题吗?”

“没有吧,我们没有学过怎样求五边形的对角线.”

“那能想到一道和该题未知量相似的题吗?抛开“五边形”这个前提,把重点放到“对角线”上,请大家仔细想想,有没有学过求其它多边形的对角线?”

“有的,我们学过求正方形、长方形、还有菱形的对角线.”

“非常好!大家想到了以前学过的三个特殊的四边形,那还能想起它们的对角线是怎么求的吗?”

“连接MN后得到△MNP(如图4),但不知道它是否为直角三角形.”

图4 图3变式1图 图5 图3变式2图 图6 图3变式3图

“所以下一步需要去尝试判断它是否为直角三角形?如果△MNP是直角三角形,那此时未知量是什么呢?”

“未知量是Rt△MNP(如图5)的斜边MN.如果我们知道了直角边MP和直角边NP的值,那我们就可以用勾股定理求出MN啦!”

“那直角边MP和直角边NP的值是否已知呢?”

“未知,但通过题目中的已知数据和条件应该是可以求出MP和NP的值,是等于AE.所以只要求出AE的最小值,MN的最小值就求出来啦!”

“非常棒!现在解决这道题的方案就拟订好了:先证明△MNP是直角三角形,MP=NP=AE;再求AE的最小值.”

3.3 第三步:执行方案,细化推理

待解决的问题一:证明△MNP是直角三角形,MP=NP=AE.

回归定义:平移、翻折是全等变换,变换前后的全等图形中对应边、对应角相等.

证明:由题意可知:△ADE≌△BCG≌△PRN,△ABE≌△DCF≌△PQM,

因为∠MPQ=∠EAB,∠RPN=∠DAE,PM=PN=AE,

所以∠MPQ+∠RPN=∠EAB+∠DAE=45°,又因为ABCD,所以∠DAB=∠DP(C)B=45°,

所以∠MPN=∠MPQ+∠RPN+∠DPB=45°+45°=90°,

待解决的问题二:求AE的最小值

回归定义:垂线段最短.

3.4 第四步:回顾反思,深化理解

3.4.1 转换角度,一题多解

解法一(分析法):在上述解答过程中,我们的关注点是放在未知量上,此时解题的思维模式是找未知量解出未知量所需要的条件 →对比题目已知数据和条件是否符合.

解法二(直接法):在学生自主思考解题时,他们可能会把更多关注点是放在已知量上,此时解题的思维模式是看已知量 →通过已知量能得出的可能结果 →在众多结果中找到该题的结果.

两种解法的思维方式和立足点是截然不同的.解法一是从结果找条件,解法二则是由已知推未知,显然解法一能很好的避免学生在解题过程中偏题,但对学生的知识储备和思维能力要求较高,而解法二则降低了对学生的思维能力要求,但同时也容易使学生在解题过程中偏离,浪费时间.

3.4.2 原题目条件不变,只改问题

将原问题“则由纸片拼成的五边形PMQRN中,对角线MN长度的最小值为____.”改为:则由纸片拼成的五边形PMQRN中,当对角线MN长度取最小值时,求阴影部分的面积?

通过这样的改编,是在能够解决原问题的基础上,进一步加强了对三角形相似知识点的考查,拓宽了考查面,从不同角度探析其解题思路,并通过变式探究这一类问题的通解[3].

通过利用波利亚“怎样解题表”解决上述问题,很好地展现了波利亚“怎样解题表”在初中数学解题中的具体应用,同时也反映出波利亚“怎样解题表”中所提供的完整的解题步骤.理解题目,弄清已知未知;联系旧知,以旧法解新题,已知未知建立联系,细化目标,逐一求解;回顾反思,深化结果迁移解题方法,为学生的数学解题提供了清晰的思路,能够帮助学生找到明确的解题方向最终得出正确答案.同时波利亚“怎样解题表”中所提到的“回顾”的环节,指导学生学习深入思考问题、发现问题、提出新问题,使学生的思维不仅仅局限于解这一道题上,对于提高学生的数学思维的培养也有很大帮助.

因此,在日常解题教学中,教师应该起到积极引导的作用,有目的性地引导学生,灵活利用波利亚“怎样解题表”的解题思维进行解题,启发学生思考,从而有效提升解题效率.