2023年高考数学全国乙卷理科第12题的深度探究

孙淑琴

【摘要】深度研究高考试题，有助于提升一线教师的专业素养与业务能力，从而更好地把握高考的动向与教学的侧重点.尤其是在高三的备考复习中，深度研究高考试题非常重要.2023年高考数学全国乙卷理科第12题，是以直线与圆相切为背景，考查向量数量积的最值问题，是一道具有区分度的经典好题.文章从试题分析、一题多解、一题多思、课本溯源与试题推广等角度对该题进行深度探究，希望给一线教师提供深度研究高考试题的思路与方法.

【关键词】2023年全國乙卷；圆；向量；圆幂定理；深度探究

2023年高考数学全国乙卷理科充分发挥了基础学科的作用，突出素养与能力的考查.同时出现了较多的“反套路”和“反机械刷题”的试题，这些试题突出数学本质，注重通性通法，淡化解题技巧，重点考查学生的思维过程，其中的第12题作为选择题的压轴题，就是一道“反套路”和“反机械刷题”的试题.

一、真题再现

四、一题多思

以上解法实际上反映了解决向量数量积问题的四种基本思路：定义法、坐标法、数量积的几何意义和基向量法.其中基向量法在解决此题时最终也要转化为定义法，而且过程显得更为复杂，于是省去了此种解法.其中定义法（解法1、解法2、和解法3），重点体现了数学核心素养中的数学运算素养和逻辑推理素养；坐标法（解法4），主要体现了数学核心素养中的数学运算素养；数量积的几何意义（解法5），主要体现了数学核心素养中的直观想象素养.然而，这几种不同的解题思路却都体现着一个共同的数学思想———转化与化归的数学思想，都需要将要求最值的表达式中的两个变量转化为一个变量，进而用求函数最值的方法解决向量数量积的最值问题.

试题解法多样，不同的选择体现了考生不同的思维水平.考生可以通过解析几何的方法把直线与圆的方程联立，根据韦达定理得出点D坐标，进而利用函数思想得到最大值（解法6）；也可以通过平面几何的方法确定点D的轨迹为圆的一部分，再通过数形结合的方法得出最大值（解法5）.当然考生还可以用两个向量的夹角作为自变量，通过向量投影得到答案.总之，试题对考生的思维有一定要求，需要考生思维的创新性，强调多想少算，数形结合.

结 语

高考试题是命题专家智慧的结晶，身在教学一线的教师理应对高考试题进行深度研究，尤其是要深度研究一些非常经典的高考试题.这样，不仅可以提升自己的专业能力，而且可以把握高考的命题趋势与动向，从而更好地服务于教学，提高教学质量.

【参考文献】

[1]深入考查基础知识和能力，助力人才选拔和“双减”落地———2023年高考数学全国卷试题评析[J].中国考试，2023（07）：15-21.

[2]孙金龙，祝峰.试题对数学运算素养水平考查的教学启示———以2023年高考全国乙卷理科第12题为例[J].理科考试研究，2023，30（21）：18-21.

[3]米召奎.2023年高考数学全国乙卷12题的解法探析[J].中学数学教学，2023（04）：41-43.

[4]朱潇，李鸿昌.从数学运算素养的内涵，谈运算能力的培养[J].中学数学，2018（01）：57-59.