为有源头活水来

刘佳 姜楚华

王芳对运动有天然的喜好，特别是游泳。工作之余，尤其是遇到一些绞尽脑汁也想不通的问题时，她常会扑到游泳池里，让自己的身心完全放松下来。“说起来真的很奇妙，很多百思不得其解的问题，游着游着就豁然开朗了”，王芳露出灿烂的笑，“比如‘联·创数学教学观的提出。”

要想学会游泳，必须下水“扑腾”

1995年7月，王芳从湖北省天门师范学校体育专业毕业，被分配到潜江市园林第三小学任教。报到那天，校长余厚新动员她“改行”教数学。王芳带着初生牛犊不怕虎的精神，承担起二年级数学的教学工作。由于没有数学教学的理论基础，把知识讲清楚成了王芳的首要目标。为了讲好教材上的每个知识点，她课前反复研读教学参考书，凡是不懂的地方都向经验丰富的同事请教，直到自己完全理解透了，才开始给学生讲授。

凭借这股钻劲和韧劲，王芳所带班级的学生考试成绩一直处于年级中上等水平。她信心满满，不断思考并实践用更简洁的语言、更生动的例子把例题讲清楚，留更多的时间给学生消化、巩固知识。然而，学生的成绩并没有如王芳预想的那样“更上一层楼”。相反，她发现学生当堂练习时正确率很高，但过一段时间再测，错误率却升高了，特别是变式问题，学生的错误率更高。自己明明讲深讲透了，学生怎么就不会灵活运用呢？王芳不停地思考，不停地完善讲的方式方法，然而，时间一天天过去，情况仍然没有太明显的改变。

2005年，王芳调入潜江市田家炳实验小学，困扰她的问题也随同工作岗位的变动跟随她来到这所当地的名校。那天，忙完一天的工作后，身心俱疲的王芳来到游泳馆。池中，一位年轻的妈妈正在潜心教孩子游泳。“正是观察这个孩子学游泳，让我发现了突破教学瓶颈的新视角。”王芳略显激动地说，“学习者不管把游泳的动作要领记得多牢，都是学不会游泳的，要想学会游泳，必须下水‘扑腾。学生学习数学何尝不是如此？”反思以往的教学，王芳意识到自己的关注点都在结果性知识的积累上，而忽略了生成结果的思维方法和过程，学生获得的只是点状的知识和感性的解题经验，难以洞察数学知识间的关联，自然抓不住问题的本质，这就是学生无法应对变式问题的根本原因。

找到了症结，王芳迫不及待地想要做出改变。如何放大学生学的过程，帮助学生建构数学知识的关联性理解呢？通过查阅数学学习心理学的书籍和文献，王芳发现“数学理解”是一个专有名词，有过程和结果两重意义。就过程而言，它是一个动态的、不断深化的复杂心理过程；就结果而言，它具有层次性，不同的学习过程会形成不同的理解水平。数学理解的学问很深，王芳像滚雪球一样不断学习斯根普、皮瑞和基伦、威金斯和麦克泰格等提出的数学理解模型，洛克提出的学习迁移理论，以及莱什提出的数学多元表征理论等。随着阅读的深入，她认识到学生必须通过数学表征将新知纳入已有的认知结构，并通过不同表征方式之间的关联使新知与已有知识建立更强、更充分的联结，才能通透地理解数学概念、事实或思想方法，进而迁移运用。“联”这个关键字与“理解”高度相关，深深潜入王芳的教学认知中。

不仅要模式化，还要抽象化

明确了基于理解的数学学习机制，王芳立即开始尝试。经过思考，她以数学表征的纵向深入和横向联结为抓手，放大学生学的过程，帮助学生实现关联性数学理解。

2006年，王芳获得了参加湖北省第九届青年教师教学比武的机会，她选择《儿童乐园》（乘法的初步认识）作为参赛课。为让学生获得对乘法意义和算理的关联性理解，她精心设计了四个学习活动，并在校长杨梅的建议下创设了贯穿课堂始终的“数礼物”现实情境。课堂上，她先引导学生从4种礼物中任选1种，列加法算式计算礼物的数量；接着引导学生通过算式分类，聚焦“同数相加”的算式；然后通过增加礼物数量加大计算难度，从而引出乘法；最后引导学生观察教材情境图，自主提出乘法问题并加以解决。看一看、算一算、分一分、找一找的系列活动将静态的教材内容转化为动态的探究任务，不仅使学生深入理解了乘法和加法的关系，更使学生将实物操作表征、图示表征、符号表征、语言表征等关联起来，对大脑皮层形成强烈的刺激，从而把乘法牢牢地纳入已有认知结构中。鲜活灵动的课堂让评委眼前一亮，王芳顺利地捧回一等奖，尝到了抓住“联”教学的甜头。

2013年，北京师范大学基础教育课程研究中心选拔优秀教师为即将出版的第四版小学数学教材录制配套光盘。潜江市小学数学教研员李正梁老师推荐王芳承担执教三年级下册《讲故事》（用画图策略解决乘除法问题）示范课的任务。这节课在前几版教材中没有出现过，录制难度可想而知，但已经尝到过甜头的王芳充满信心，她认真查阅有关画图教学的资料、对学生进行前测调查，仔细研读新版教材与第三版教材呈现方式的异同，在此基础上确定了这节课的教学重点和方向：画图策略的实质是用图示表征解决问题，图示表征十分符合小学生的认知特点，是解决较复杂数学问题的有效策略，但教学不能止步于画图表征思维成果，而要有意识地关联不同的表征方式特别是强化语言表征，使学生建构直观模型，达到模式化的理解水平，以避免“童化”思维现象的衍生。

想清楚了这些，王芳围绕“淘气5分钟能讲850个字，他3分钟能讲多少个字？”的主问题，设计了两个教学环节。一是“产生画图需要”：先引导学生通过梳理信息，发现不能直观地看出淘气所讲字数与时间的倍数关系，从而引发画图的学习需求；然后让学生自主画图，并围绕典型作品说明畫图过程，交流先求什么、再求什么。二是“形成画图策略”：学生先根据交流得出的“先算1分钟讲多少字，再算3分钟讲多少字”列式计算，并举例说明用画图策略分析较复杂数量关系的价值；然后画图表征变式问题（笑笑讲一个故事用了4分钟，平均每分钟讲150个字，如果要在3分钟内讲完这个故事，每分钟应讲多少个字？）中的数量关系，梳理解题思路并列式计算；最后归纳解决这两个问题的共同思路，建构解决问题的直观模型。试教课上得很顺利，但李正梁老师觉得“还差点味道”：从内容上讲，虽然细化了学生理解画图策略的步骤，让学生掌握了线段图直观模型，但没有为学生提供创造性运用模型解决新问题的资源，难以使学生对解题策略形成抽象化的认知，也就是说，这节课的设计在培养学生的创新应用能力上存在不足。

不仅要模式化，还要抽象化，这样的要求显然更高，需要学生对画图策略本身有更抽象的理解，而不仅仅是学会用这节课的直观模型解决乘除法混合运算问题。聪颖的王芳马上想到了改进方案，即增加“强化画图意识”环节，通过两个层次的练习，提升学生迁移画图策略的能力：一是反向练习，即先根据同类的图示说数学信息，再根据信息创编问题情境并解答；二是拓展练习，即给出更复杂的问题情境，让学生用自己喜欢的方式画图，个性化地运用画图策略解决新问题。

这节课获得了教材编委成员的一致好评，也让王芳意识到只抓住“联”教学具有局限性，因为基于关联性理解的迁移运用往往只能解决“这一类”问题，而不能很好地解决与之相关联的“那一类”问题，要培养学生创造性解决新问题的能力，教师还要抓住“创”这个关键字。

让学生在抽象化、系统化的数学世界里遨游

随着像王芳一样的名师不断涌现，实验小学的发展蒸蒸日上。2015年，学校南校区初步落成。当时的南校区是大家眼中的“村小”，如何让城市的孩子愿意到“乡村”上学呢？杨梅校长选派了一批得力干将到南校区挑重担，王芳便是其中一员。为了引领年轻教师发展、提升教学质量，学校为王芳成立了名师工作坊，让她带领教师做小课题研究，并与对口学校开展教研共建。

随着研究的深入，王芳逐渐感悟到：在学生的学习过程中，“联”和“创”都兼具手段和目标的双重属性，要培养学生创造性解决新问题的能力，除了为学生提供新情境承载的能实现思想方法迁移的变式问题之外，还要提升学生数学理解的层次，帮助他们把结构化的知识再概括或概念化为一个更抽象的水平，达成著名特级教师曹培英根据SOLO分类理论所刻画的数学理解的第五个层次——拓展抽象水平。

王芳就此展开深入探究，她发现小学生思维跳跃，擅长形象化表征，他们虽然偏向依托表象思考，但往往能借助丰富的想象产生触及知识本质的直觉。这种思维特点是学生建构拓展抽象水平的数学理解的基础，教学应该顺应学生的思维特点，采取直观的教学方式，帮助学生形成抽象化、系统化的数学认知。具体地讲，教师可以抓住“关联”，特别是跨单元、跨类别、跨内容领域的知识间的关联，提炼一般性结论和规律性策略；也可以抓住“发散”，围绕核心素养整体建构教学路径，用大概念统领本学段相关知识的教学，乃至贯通整个小学阶段相关知识的教学。对于难以通过直观的方式获得高水平数学理解的知识，教师可以通过梳理知识发展的脉络、挖掘知识产生的数学史料等，为学生提供一种情境表征，以深化学生的数学理解。

2016年，中央电教馆组织“一师一优课”赛课活动。王芳执教的《买文具》（小数乘法）获评了“部级优课”。设计之初，王芳就把教学指向了抽象化、系统化的理解水平。在学生用连加方法和把小数转化成整数再计算的方法得出“买4块橡皮要0.8元”后，她引导学生借助“面积模型图”直观地理解“0.2×4=0.8”的算理：先在笑笑画的模型图中找一找0.2和4在哪里，接着分析涂色的8个条形表示什么（表示8个0.1），然后说一说8个0.1是怎样得来的，最后得出算理“‘0.2×4中有4个0.2，每个0.2中有2个0.1，合起来就有8个0.1，8个0.1就是0.8”。学生结合小数的意义初步理解算理后，王芳又以买尺子为问题情境，引导学生迁移算理来解决“0.4×3”的问题，形成“计算一位小数乘整数，先把这个一位小数看成几个0.1，再算出一共有几个这样的0.1”的一般化解题策略。王芳还设计了一组习题，让学生画图表征计算过程并交流解题思路，很好地沟通了符号表征、图示表征和语言表征。这样教学算理，使学生认识到“不论是加法还是乘法、整数还是小数，其计算原理都是相同计数单位的累加”，深化了对加法和乘法运算一致性的认知。这种认知达到了抽象化、系统化的理解水平，能使学生从计数单位的视角贯通对整数、小数和分数四则运算的理解，赋予学生创新运用这种算理学习新运算的能力。

经过一次次历练，王芳逐渐明晰：“联”指向理解，即利用不同表征方式间的关联，使学生达到数学理解的关联结构水平乃至拓展抽象水平；“创”指向迁移，即通過创设新情境、新问题，培养学生创造性迁移运用数学知识和思想方法的能力；“联”是“创”的基础，“创”能提升“联”的水平，两者不是简单的递进关系，而是互融互促的关系。

一节节成功的课，不仅让王芳在专业领域获得更多认可，更展示了“联·创数学”教学观引领下的课堂教学的魅力。采访结束，记者获知王芳顺利通过选拔，成为省级名师工作室主持人。王芳感觉到了肩上担子的分量，但她对未来充满信心。“问渠那得清如许，为有源头活水来。”王芳轻轻吟出朱熹的这两句诗。

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