定性与定量并重 知识与素养共生——以《认识面积》教学为例

○钟 树 周卫东

在义务教育阶段，“空间观念”及“量感”是数学眼光的重要表现形式。通过对现实世界中空间形式的观察，学生能够直观理解所学的数学知识及其现实背景，逐步养成从数学角度观察现实世界的意识与习惯，发展好奇心、想象力和创新意识。

以《认识面积》一课为例，对“面积”概念的准确理解应重点抓住“面”与“积”这两个字，从对“面”的定性描述到对“积”的定量刻画着手，在依托学生生活经验中对面积原认知的基础上，建立对“面积”概念的精准表达，内化素养。

一、面积教学“新实践”

（一）立足几何直观，“定性”描述面积。

1.巧借经验，初探“大小”，准确定位“物体表面的大小。”

片段1：

课始，教师提问：“你们听过面积这个词吗？”

学生纷纷给予肯定回答，且能够说出面积就是面的大小或者类似的表达。

教师接着拿出数学书，说：“那你能指出数学书封面的面积吗？”

学生边用手比画，边说大概这么大……

片段2：

在学习平面图形的面积时，教师引导：“如果把数学书的封面展示在屏幕上（课件出示涂色长方形），那它会变成一个什么图形？”

学生回答：“长方形。”

教师手指着长方形说：“这就是长方形的面积。”

学生点头表示认同。

以上的两个片段，是在实际教学中经常出现的场景。学生在日常生活中对有关面积的表述比较熟悉，因此在教学这一概念时，教师往往会比较快地结束。当然，学生通常也不会有什么质疑。可是我却产生了一个疑问，学生真正建立了面积的概念了吗？听说过“面积”这个词，就意味着真正了解数学意义上的“面积”概念了吗？

正如片段中所呈现的，学生知道面的大小就是面积，可“面”在哪里？这个更基础的问题却被忽略了。笔者以为，在揭示物体表面“面积”概念之前，一方面需要通过看一看、摸一摸，让学生认识到物体的表面是什么，感受到每个物体都有面；另一方面，需要通过比较不同的物体表面，比如比较数学书封面与黑板的面，明确：每个面都是有大小的，这也为后续面积的度量打下了认知基础。之后，教师可介入并介绍：“面的大小是它的面积。”并且让学生比画一下数学书封面和黑板面的面积。

像这样让学生经历“知道物体有面→面是有大小的→面的大小就是面积”的完整过程，学生在积累了充分的感性经验的基础上，完成概念认知的闭环，较完善地对物体表面的“面积”进行了定性描述，突破了认知的桎梏。

2.化静为动，二探“大小”，掌握“面积”概念

在掌握平面图形“面积”这一概念时，需要通过对现实物体的空间形式进行抽象，得到数学意义上的平面图形，再介绍平面图形的面积。对于这一问题，我认为打破认知桎梏的关键点在于两次化静为动。

（1）将数学书封面展示于屏幕之后，首先隐去数学书图案，只留下长方形框，再进行交流，之后通过动画演示慢慢地涂出面积，让学生充分感知平面图形的面积是什么。

（2）向学生展示两个面积区别较大的平面图形，并要求学生涂色表示图形的面积，深化学生对面积这一概念的认识。

在认识物体表面的面积过程中，学生对“物体表面或平面图形的大小就是物体表面或平面图形的面积”这一概念经历了两次深化。通过操作、比较等活动，从听过面积这个词到知道面是有大小的，再升华为最终对概念的正确理解。

3.精设素材，三探“大小”，筑牢概念深化之基础。

经过之前的活动，学生已经对“面积”这一概念有较为准确的认知了。此时，我们需要趁热打铁，顺应儿童思维的发展，出示具有启发性的教学素材，将学生的认知向更深处漫溯。

片段3：

师：四个图形站在一排，互相不服气。每个图形都觉得自己的面积最大。同学们，你们觉得呢？

生：我觉得4 号面积最大，因为4 号图形最长。

生：我觉得1 号面积最大，虽然4 号图形比较长，但是1 号图形更宽一点。

生：我不同意，我觉得3 号面积最大。

师：为什么你们不猜2 号？

生：一眼就看出来了！

师：“看”这个字用得好，一眼就观察出来了。

（板书：观察）

师：到底谁猜得对呢？（动动小手，验证一下。）

同桌两人合作，比一比，哪个图形的面积最大？

这个环节，教师选择了如上图所示的四个图形请同学们比较大小。通过观察、重叠、数格子的方法都可以帮助我们比较图形的面积大小，学生在活动中积累了经验。通过重叠法，可以比较出1 号比3 号略大，但是无法比较1 号和4 号的面积。此时，对面积从定性描述跃升至定量刻画的需求已经水到渠成，而教师此时准备的方格纸就成为帮助学生进行概念深化的重要帮手。

（二）聚焦量感涵育，定量刻画“面积”。

义务教育数学课程标准（2022 年版）》中对量感是这样描述的：量感主要是指对事物的可测属性及大小关系的直观感知；知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性，会针对真实情境选择合适的度量单位进行度量；建立量感有助于帮助学生养成会用数学眼光观察世界和解决问题的习惯，是形成抽象能力和应用意识的经验基础。

在《认识面积》这一课中，对“面积”这一概念的认识，如何实现从定性描述到定量刻画的跃迁，需要我们做好以下几点：

1.追问启发，感受使用“单位”的必要性。

在片段3 的学生汇报中，许多小组都会主动使用方格纸去比较1 号图形与4 号图形的面积大小，这是为什么呢？1 号图形比4 号图形宽，可是4号图形却比1 号图形长，用重叠的方法已经无法比较这两个图形面积的大小了。因此，使用一个合适的、统一的度量单位去度量这两个图形的面积此时成为了现实需求。这个活动让学生充分地感知到统一度量单位的必要性。

片段4：

生：1 号图形有15 格，4 号图形有16 格，所以4 号图形大。

师（追问）：为什么这样就表示4 号图形大呢？

生：因为4 号图形包含的小格子多。哪个图形包含的小格子多，哪个图形的面积就大。

经过这一活动，学生知道相同的小方格可以作为一种度量面积的单位，以方格的数量来确定面积的大小。包含小方格多的图形面积大，包含小方格少的图形面积小。如果包含的小方格一样多，它们的面积就一样大。

2.向深沉潜，感受统一“单位”的应然性。

片段5：

师：老师这还有两个图形，它们都包含16 个格子，你觉得哪个图形的面积更大？

学生（不假思索）：一样大！

师：同学们都认为一样大？

生：不一定。

师（追问）：为什么不一定呢？

生：不知道格子的大小。

（课件展示图形，如图。）

这个活动放在最后，再一次将课堂气氛推向高潮。之前的学习已经让学生产生了使用统一度量单位度量面积大小的需求，也明白了使用统一度量单位度量面积的优势所在。但对于在不同的图形中统一度量单位的认知还不够明确。

经历了这一环节，学生对度量的感知再次升华。也进一步明确了，在这里需要比较的是面积大小，而不仅仅是图形所包含的格子数量。这也是“量感”中强调的统一度量单位的必要性。在度量或感知具体的量的过程中，不能只关注数值而忽略了计量单位。

二、面积教学“深思考”

2022 年版课标已经出台，“让核心素养落地”是本次课程标准的一大特点。以课程标准为准绳，我们的课堂也应该以核心素养为导向。“面积”是小学阶段较早出现的重要的抽象概念，涉及从具体到抽象的思维过度，类似的概念教学也有很多。

如何在概念教学的课堂中让核心素养落地，是我们需要考虑的问题。

1.研读教材，把握概念内涵。

以本节《认识面积》为例，教材中并未直接给出“面积”的定义，而是让学生在活动中感受面积。通过摸、看、比等活动，从认识“面”开始，理解物体表面和平面图形的大小就是面积，得到定性描述的概念认知；接着，通过活动引发需求，渗透使用和统一度量单位的需求。

我们在进行概念教学的时候，首先需要认真研读教材，尊重学生实际，厘清概念内涵的层次；接着，设计适合的探究活动，产生认知和使用这一概念解决实际问题的需求；最后还需要及时对概念进行总结与辨析，凸显概念本质。

2.注重联系，拓展概念外延。

任何数学概念都不是孤立存在的，新课标强调以结构化的方式来组织课程内容，这需要我们更加注重知识之间的联系。以本课为例，在定量刻画面积大小的过程中，潜移默化地渗透了对面积单位的认识，为之后的学习打下基础。认识面积，但不局限于面积本身，通过适切的教学活动适当延展，一方面与已有经验结合，通过三次对“大小”的探索，发展学生的“空间观念”；另一方面，立足量感涵育，通过有针对性的教学活动设计，让学生在数学活动感受统一单位的必要性与应然性。

总之，核心素养下的概念教学不能让学生只满足于知道概念，更重要的是理解概念的内涵与本质，更新认识，提升思维水平。唯有这样，才能逐步提升学生的数学核心素养。而“空间观念”与“量感”作为数学核心素养的重要方面，它的发展需要一个过程。教师唯有准确把握学生已有经验，精准定位概念内涵，并设计符合学生认知规律的活动，创设有助于思维进阶的场域，才能促进学生核心素养的逐步进阶。