变换角度费思量 化归思想露锋芒——一道函数最值问题的解法探究

浙江省体育职业技术学院(311200) 徐 羽

在三角函数尤其是三角恒等变换的学习中,学生始终能体会到转化化归思想的作用与魅力.面对经典问题,不应仅仅满足于求出答案.引导学生一题多解,对学生巩固已有知识,提高数学应用能力,发展数学核心素养大有帮助.

1 问题呈现

已知x ∈(0,π),求函数的最小值.

2 解法探究

解法1(分组拆分)

解法2(三角万能公式代换)

∵x ∈(0,π),∴当且仅当时取到等号,故此时

解法3(柯西不等式)

∵ysinx+cosx=2 而

∴(y2+ 12)(sin2x+ cos2x) ≥4 解得y2≥3, 根据y=得到ysinx= 2-cosx, ∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0,y ＞0,∴当且仅当ycosx= sinx时取等号,即当时可知

解法4(判别式法)

解法5(齐次式法)

解法6(均值换元)

由ysinx+cosx=2 可知1 为ysinx,cosx的等差中项,记ysinx=1-d,cosx=1+d则有整理得到此二次方程必有解,∴Δ = (y2-1)2-(y2+1) ≥0 化简有(y2-3)y2≥0,解得y2≥3,∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0,y ＞0,∴当且仅当时取等号.

解法7(合角公式)

由ysinx+cosx=2 可知解得y2≥3,∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0,y ＞0,当解得当且仅当时取等号.

解法8(求导数)

解法9(坐标法)

图1

解法10(图象法)

视(sinx,cosx) 为直线l:ay+b= 2 与单位圆a2+b2=1 的公共点,则单位圆心(0,0)到直线l:ay+b=2的距离如图2, 解得y2≥3, ∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0,y ＞0,∴当且仅当时取等号,此时l:ay+b=2 与半圆相切.

图2

3 题后反思

所举问题可以推广为由xsinθ+ycosθ=A(其中A为常数)变形而来的求值或求最值问题.该种类型问题出现频率高,对学生数学思维的训练与考察都有一定的作用.从解法上看,此类问题可以从不等式角度(解法1、2、3),方程角度(解法4、5、6),函数角度(解法7、8),解析几何角度(解法9、10)四种角度分析解决.

不等式的应用需要学生对问题进行适当的变形.在三角函数里,变形的多样性体现得淋漓尽致.例如,本例亦可做如此拆分:

此外,不等式介入渠道多样.例如,该问题通过构造向量a=(y,1),b=(sinx,cosx)通过向量点积关系a·b≤|a||b|同样可以得到解法三中的(*)式,从而完成解答.

方程角度求解该类型问题,可以通过构造对偶方程,借助sin2x+cos2x= 1 这一隐含条件进行求值.或者,通过多种角度,构造二次方程从而应用判别式求取值范围.从函数角度看,合角公式的应用特别是导数求最值更是常用的手段.解析几何的角度要求学生熟练掌握斜率,点到直线的距离等常见量的代数表示,通过图象的几何意义,快速地找到题解.

学习的高度,取决于思维的深度.而培养学生深度思考的习惯,是数学教师必须面对的一个问题[1].经典的数学习题,学生对其常见解法已经烂熟于心.此时,更需要教师引导学生温故知新,变换角度,打通知识脉络,更深更广地思考问题.化归思想是数学思想中的瑰宝,在问题的转化过程中,引导学生感受化归思想的美感是提高数学核心素养的有效途径.