渗透数学文化,聚焦思维型课堂——以“球的表面积与体积”教学案例为例

华南师范大学附属中学(510630) 袁宇飞

1 研究背景

课堂教学的核心是思维能力的培养,强调学生自主生成知识的过程,因此在课堂教学活动中,应侧重体现以学生思维发展为目标的过程性探究学习活动.传统的课堂教学以教师为中心,过于强调教师的作用,许多学校、老师为了追求教学进度和所谓的“高效性”,将课堂变成了教师输出、学生单一输入的过程,学生没办法把新知识很好地纳入原有的知识网络中;另一方面,新课改以来,许多教师尝试进行课堂翻转,让学生“动起来”,但许多课堂陷入“形式主义”,过分强调了学生的活动,而教师的主导作用体现的不明显,课堂活动和问题设计不能体现数学的本质,没有真正得到思维能力的锻炼和提升.

因此,如何构建思维型课堂,帮助学生进行有意义的学习和知识的自主构建,是一个值得探究的课题.

2 思维型课堂教学理论依据

林崇德、胡卫平在“思维型课堂教学的理论与实践”一文中,提出了思维型课堂教学理论.课堂教学的核心活动是思维活动,以聚焦思维结构的智力理论为理论依据,提出四点教学的基本原理,即“认知冲突、自我建构、自我监控和应用迁移”;以“教学导入、教学过程、教学反思和应用迁移”为基本环节.

林崇德等人提出了思维型课堂教学的七个基本要求,即:明确课堂教学目标、突出知识形成过程、联系已有知识经验、重视非智力因素的培养、训练学生的思维品质、提高学生的智力能力、创设良好的教学情境、分层教学、因材施教.[1]

3 思维型课堂的教学方法

与传统课堂不同, 思维型课堂强调“学生主体, 教师主导”,这也反映在思维型课堂在教学方法的综合应用上.为了充分发挥学生的主体地位,课堂强调主动学习,团队学习和参与式学习,在教师合理引导的基础上,鼓励学生进行自主探究、小组讨论、实践演练和同伴教学,即教学活动不再是教师单纯向学生传递知识,学生被动成为接受知识的容器,而是学生通过参与,在原有知识经验的基础上,主动生成知识的有意义的过程.

思维型课堂,要求教师应把教学的重点落在学生思维能力的提升和数学核心素养的培养上,在课堂教学中,教师应当充分发挥主导作用,引导学生通过自主探究、小组讨论等方式,让学生去发现、分思考、解决问题,应重视知识的生成过程,帮助学生在原有知识的基础上,通过有意义的建构,在学习新知识的过程中,不断完善知识和思维体系.

4 基于思维型课堂的“球的表面积和体积”教学设计

本文以“球的表面积和体积”为例进行教学设计,旨在借助祖暅原理及刘徽的割圆术思想,渗透数学文化,让学生感受数学之美;同时,在经历公式获得过程中,帮助学生自主构建知识,培养学生直观想象、逻辑推理等数学核心素养,构建思维型课堂.

4.1 教学内容解析

本节内容选自人教版高中数学必修第八章8.3.2“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积”一节,“球的表面积和体积承接“柱体、锥体、台体”的表面积和体积.不同于柱、锥台体,球的表面积并不能通过平面图形的方式得到,其表面积和体积公式推导的方法是此部分内容的一个难点.球的体积和表面积公式可以互相推导得到,其中蕴含着极限思想;同时,与多面体体积获得的办法类似,球的体积也可以借助祖暅原理得到.为使学生更好地体会知识之间的联系性和整体性,本案例采取利用祖暅原理推导求得球的体积公式后,借助体积公式,通过对球面进行“分割、求近似值、近似求和”的思路,推导得到求得表面积公式.

4.2 教学目标及重难点解析

(1)数学知识与能力方面: 经历球的体积和表面积公式的探究过程,并掌握公式;能用球的表面积和体积公式解决简单的应用问题;

(2)数学思想方法方面: 在球体体积公式的教学中渗透转化与化归的思想,建立不同几何体的联系性;在球的表面积公式的教学中,渗透极限思想,使学生进一步体会极限思想以及利用极限方法解决问题的基本思路;

(3)核心素养方面: 培养学生的逻辑推理、几何直观、数学运算等数学素养和空间想象等能力;引导学生经历公式的探究过程,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;通过数学文化的渗透,引导学生体会数学之美,增强对我国的民族自豪感.

本节课教学重难点确定为:

教学重点球的体积公式和表面积公式的推导和公式的掌握与应用;

教学难点

(1)借助祖暅原理求解球的体积公式时, 半球的“等积体”的构造;

(2)利用极限思想推导球的表面积公式;

4.3 教学方法

本节课采取“认知冲突、自我建构、自我监控和应用迁移”的基本原理,以“教学导入、教学过程、教学反思和应用迁移”为基本环节,利用结构化的主干问题链贯穿教学,关注学生的思维过程和逻辑的层次关系,逐步搭建学生思维递升的阶梯.

4.4 教学流程设计

4.5 教学过程

4.5.1 教学导入,制造认知冲突

导入语: 球是重要的几何体,具有良好的对称性,处处体现出数学美.自古以来,中外许多数学家都研究了球的表面积和体积公式,今天就让我们跟随数学家的脚步,一起去探索球的奥秘吧.

问题1上节课,我们研究了柱体、锥体和台体的体积和表面积公式,请大家思考一下,能否类比于“柱、锥、台体”,采用展开的方法,求球体的表面积呢?

生: 不能,球体无法展开成一个平面图形.

问题2给你一个半径为1cm 的实心铁球,如何测量该球的体积呢?

生: 联想我国古代“曹冲称象”的故事,可借助“排水法”求其体积.

师: 大家和伟大的数学家阿基米德的想法是一样的,阿基米德就曾经利用排水法求不规则图形的体积.请大家想一想,当球的半径变化时,是否每次都要这样测量呢? 能否得到更一般的球的体积公式? 这就是今天我们要探究的第一个问题.

设计意图从“柱、锥、台体”的表面积和体积公式自然引出本节课课题——球的表面积和体积公式;球的表面积并不能通过展开的方式得到,需要寻求新的方式,制造认知冲突,激发学生思考的积极性;通过阿基米德“排水法”引出对球体积的一般公式的探究,渗透数学文化.

4.5.2 教学过程,自主建构

探究一: 球的体积: 祖暅原理的应用

师: 由于球具有对称性, 我们可以首先探究一个半球的体积.球体、柱体和锥体都是旋转体,上节课我们学习了,底面半径和高都相等的圆柱和圆锥, 体积之间的关系满足.现在考虑半径为R的半球,和底面半径和高均为R的圆柱和圆锥:

问题3请大家观察三个几何体,判断球的体积和圆柱、圆锥体积的大小关系

生: 可以看出,V圆雉＜V半球＜V圆柱,猜测或

师: 为了检验我们的猜测,我们先来做一个实验.

实验演示: 取一摞书放在桌面上(如图所示),并改变它们的放置方法,观察改变前后的体积是否发生变化? 前后两个几何体有什么共同特征?

生: 体积没有改变,两个几何体高相等,并且书的截面面积相等.

师: 非常好,更准确的讲,应该是两个几何体等高处的截面面积相等.这一现象直观地解释了祖暅原理.

祖暅原理的内容为:“幂势相同,则积不容异”,也就是:如果两个等高的几何体,在同高处截得两几何体得截面积恒相等,则这两个几何体体积相同.

祖暅是祖冲之的儿子, 他在5 世纪末提出了祖暅原理,比西方国家早了1000 多年.

问题4请大家思考如何利用祖暅原理求出半球的体积?

生: 可以通过找到与半球“等高同底,截面积相同”的“等积体”,等价计算出半球的体积.

问题5: 请同学们思考,半球在高度为h处的截面积是多少?

生: 可以画出截面图, 利用勾股定理求得:S=π(R2-h2)(0 ≤h≤R).

问题6我们先观察特殊位置,当h= 0 时,截面面积是什么形式? 由此猜测,半球的“等积体”可能和什么几何体有关?

生:h=0 时,S=πR2,自然想到圆的面积公式,可以猜测,半球的“等积体”与圆柱、圆锥或圆台相关.

问题7请同学们先判断,半球的“等积体”是否是圆柱、圆锥和圆台呢?

生: 选取特殊位置验证可以发现,三者都不是半球的“等积体”.

师: 既然简单的几何体不是半球的“等积体”,请同学们尝试构造简单的几何体组成的组合体.

活动1小组合作探究,借助于简单的几何体,构造出半球的“等积体”的组合体,并邀请小组展示想法.

小组讨论, 学生展示: 截面面积的代数式S=π(R2-h2) =πR2-πh2(0 ≤h≤R),与圆环的面积公式一致,可以考虑截面为圆环的情况:

问题8请同学们分析内外两个圆半径的变化情况,以此为根据找到半球的“等积体”.

生: 大圆半径为R固定不变,可以猜测外层为底面半径为R的圆柱体; 小圆半径为h, 随高度由0 变化到R,可以发现,变化规律与倒扣的圆锥吻合.

师: 同学们的想法很棒, 我们可以构造出半球的“等积体”为圆柱与圆锥的组合体如下:

问题9请同学们推导球的体积公式.

教师利用多媒体展示动图,增强结论的可视性.

师: 刚才通过分析半球截面积式子的几何意义,找到半球的一种“等积体”,如果将S=π(R2-h2)(0 ≤h≤R)进行其他代数变形,能否构造其他的几何体或组合体,是半球的“等积体”呢?

活动2小组合作研究,对截面公式S=π(R2-h2)(0 ≤h≤R)进行变形,构造其他等积体,并选取小组进行展示.

展示1根据S=πR2-πh2.

可以构造长、宽、高分别为πR,R,R的长方体,中间挖去一个以下底面对角线焦点为顶点,以上底面为底面的四棱锥,剩余部分组成的组合体,如图:

检验在高为h处的截面是一个长方形环,设小长方形的长、宽依次为x,y, 由相似关系有:πh,y=h, 故截面面积为S=πR2-πh2, 满足条件.则

师: 刚才的两种方法都是用一个柱体挖去一个锥体得到,那能否构造柱体拼接一个锥体形成的“等积体”呢?

展示2根据S=πR2-πh2=π(R+h)(Rh),可以构造一个底面直角边为R的等腰直角三角形,高为πR的直三棱柱, 拼接一个底面直角边为R的等腰直角三角形,高为πR的直三棱锥组成的组合体,如图;

检验在高为h处的截面是一个长方形, 根据相似关系, 易得长、宽分别为π(R+h),R - h, 满足条件.则

设计意图通过问题链层层递进,先引导学生进行直观感知,进行大胆猜测,再通过逻辑推理,分析高度变化时,球的截面变化情况,鼓励学生进行合理猜测与检验,经历构造半球的“等积体”的探究过程,引导学生在代数表达和几何图形之间建立联系,体会数学的整体性;引导学生通过对代数式进行变形,通过几何意义构造不同形式的“等积体”,培养学生思维的灵活性;培养学生的空间想象力,培养直观想象、逻辑推理的数学核心素养;渗透数学文化,增强学生的文化自信.

探究二: 球的表面积公式: 刘徽“割圆术”思想的推广

下面我们借助球的体积公式,进一步探究球的表面积公式,首先我们先了解另一位中国数学家: 刘徽

师: 我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”,即:“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可再割,则与圆合体而无所失矣.”可以借助“割圆术”利用圆内接多边形的面积近似逼近圆的面积,如下图,事实上,“割圆术”蕴含着“以直代曲、近似求和”的极限思想.

问题10类比“割圆术”,为了求球的表面积公式, 首先我们可以如何操作?

生: 首先可以把球面进行分割,假设被分为n块,面积分别为:S1,S2,...,Sn,则球的表面积为:S=S1+S2+...+Sn.

师: 非常好,我们可以把球面进行分割分为n个“小球面片”.

问题11把球心O和每个“小球面片”的顶点连接起来,可以把球体分割成若干小几何体.当分割越来越细时,分割成的几何体可以近似成什么几何体? 体积如何表示?

生: 当分割越来越细时,可以把球心O和每个“小球面片”的顶点连接起来形成的几何体看成棱椎体.

设第i个小棱锥的底面积近似为Si, 高为hi, 则

问题12当越分越细时,各小棱锥的底面积和近似等于什么? 各小棱锥的高如何变化?

生: 各底面积之和等于球的表面积S球,各小棱锥的高为球的半径R.

活动3请同学们合作探究,能否借助于这些几何体和球的体积关系,推导出球的表面积公式呢?

小组讨论, 学生展示:V球=V1+V2+...+Vn ≈

设计意图借助“割圆术”中体现的“以直代曲、近似求和”的思想进行研究,帮助学生经历从有限到无限的过程,体会极限思想;培养学生逻辑推理、直观想象的数学核心素养.

4.5.3 教学反思,自我监控

问题13请同学们观察两个公式,球的体积和表面积公式由什么决定?

生: 可以发现,球的表面积是关于R的二次函数,球的体积是关于R的三次函数,两者都随着R的增大而增大.

师: 非常好,这个结论和我们的经验吻合.

设计意图引导学生从函数的角度进一步理解公式,用常识经验进行自我监控.

4.5.4 应用迁移,问题解决

例1等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等,则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为____.

例2如图,在一个倒置的高为2 的圆锥形容器中, 装有深度为h的水, 再放入一个半径为1 的不锈钢制的实心半球后, 半球的大圆面、水面均与容器口相平,则h的值为____.

设计意图例1 进一步帮助学生体会不同几何体间的关系,例2 通过现实问题,培养学生应用意识和问题解决的能力.

4.5.5 课堂总结

师: 请同学们回顾,这节课你学会了哪些知识,体会了哪些数学思想?

师生活动学生、教师共同回顾、总结.

4.5.6 课后作业与探究

(1)探究正方体的内切球、棱切球和外接球的半径;

(2)探究长、宽、高分别为的外接球的半径;

(3)(选做)词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术·商功》, 是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术·商功》中, 把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC,其中PA⊥平面ABC,PA=AC=2,则四面体PABC的外接球的表面积为____.

5 总结与反思

5.1 渗透数学文化,培养数学核心素养

高中数学课程的基本理念之一为“优化课程结构,突出主线,精选内容”,应“发展学生的数学核心素养”,“凸显数学的内在逻辑和思想方法”,“注重数学文化的渗透”.因此,教师在进行教学过程中,应基于数学核心素养,对教学内容知识进行分析.本课例通过“祖暅原理”和“刘徽的割圆术”,既渗透了数学文化,又传递了转化与划归、极限思想等数学思想,有助于学生数学核心素养的提升.

5.2 层层推进,构建学生主体的思维型课堂

基于数学学科核心素养的教学,要求教师真正把“课堂的主体地位”还给学生,以学定教,鼓励学生进行自主探究、小组讨论,教师则承担着学生学习活动的设计者、组织者和评价者的功能.它鼓励教师在真正的现实情境中形成击中该主题中关键知识的学习任务,通过问题引导的方式,构建思维型课堂,让学生在完成学习任务的过程中学习.

5.3 多角度构建半球的“等积体”,培养学生思维的灵活性

思维的灵活性是其他思维品质形成的基础和保障,是众多思维品质的核心.通过引导学生将代数式进行不同角度的变形,挖掘其几何意义,构造不同的满足条件的“等积体”,有利于培养学生的发散性思维,增强学生思维的灵活性.

5.4 借助多媒体,创设多渠道学习环境

本节课通过教师利用多媒体资源的展示,可以增强教学资源的可视性,加深学生印象,激发学生学习兴趣,深化学生理解,让学生通过“做、说、听、看”等多渠道进行有意义的学习.