核心素养视角下的教学设计——以“二项分布”为例

广东省深圳外国语学校(518083) 杨 亚

怎样才是“教好数学”? 章建跃博士说,要以“研究一个数学对象的基本套路”为指导,设计出体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的逻辑性的系列化活动,引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象,构建研究数学对象的基本路径,发现值得研究的数学问题,探寻解决问题的数学方法,获得有价值的数学结论,建立数学模型解决数学问题.[1]笔者以“二项分布”为例,与教师们探讨在核心素养视角下如何设计教学,才能真正教好数学.

1 理解数学,解析教学内容

1.1 内容

n重伯努利试验,二项分布.

1.2 内容解析

二项分布和超几何分布是离散概率模型的代表,类似于等差、等比数列与一般数列;排列、组合与一般计数问题的关系.通过对这两种典型的离散型分布的研究,进一步理解随机变量在描述随机现象中的作用,理解随机思想在解决实际问题中的价值[2].

掷一枚硬币要么正面要么反面这种只有两个可能结果的一类试验,被定义为伯努利试验.将伯努利试验在相同的条件下,独立重复地进行n次便得到了“n重伯努利试验”.要理解n重伯努利试验模型,关键在于搞清楚两个特征: 1、对立性,即一次试验中某事件发生或不发生,二者必居其一;2、独立重复性,即各次试验的结果互不影响,且各次试验的条件完全相同, 因此各次试验中某事件发生的概率都相等.而我们通过这些大量独立重复试验不仅仅是关心某事件发生的概率,可能会关心某事件首次发生时试验的次数,这个方向将通往几何分布(高中数学不做要求);同时也可能关心某事件累计发生的次数,这个方向便通往了二项分布.

二项分布是根据试验的特征,利用概率的加法和乘法公式、组合数等知识,由特殊到一般的方法推导出的分布列.这个内容的学习能有效提升学生数学抽象、逻辑思维、数学建模、数学运算素养,使学生感受数学文化价值、科学价值和应用价值.

1.3 教学重点

(1)n重伯努利试验的特征;

(2)明确确定二项分布模型的步骤.

2 理解学生,解析教学目标、难点突破

2.1 目标解析

(1)学生经历“背景—归纳共同属性—n重伯努利试验定义—关键词辨析—应用”的抽象过程,能判断一个问题是否满足对立性和独立重复性,能明确问题中的随机变量.

(2)学生充分经历“背景—研究对象特征—分布模型—应用”的抽象活动后,知道确定二项分布的方法和步骤.提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养.

(3)通过丰富的、有趣的、学生熟悉的问题(掷币试验、高尔顿板试验、双人赛),能更好地理解二项分布模型,树立正确的概率直觉.

(4)学生能够举出生活中服从二项分布的随机变量的例子,体会用数学眼光观察世界.

2.2 问题诊断

学生对n重伯努利试验模型中“独立、重复”特征的理解是本节课第一个难点.为了强化对试验模型的识别,教学中可以提供丰富的具体实例,引导学生思考这些基本问题: 题中的伯努利试验是什么? 某事件在一次试验中发生的概率是多少? 试验重复的次数是多少? 各次试验结果是否独立? 进而帮助学生积累更多数学活动经验, 达到知识内化和迁移,提升数学抽象素养.

第二个难点是n重伯努利试验中我们关注的是什么? 研究“一个新的对象能够帮助我们解决什么问题”,是体现数学思想方法、提升学生数学素养的最好时机.同时培养学生从数学的角度发现和提出问题.

二项分布公式的推导需要利用的知识点较多,是第三个难点.教学中应引导学生充分经历“具体实例的分析—本质特征的归纳—分布列的推导”的完整过程.从求解“连续3 次投篮投中2 次的概率”到“连续4 次投篮投中2 次的概率”到“连续n次投篮投中k次的概率”由特殊到一般归纳出二项分布的计算模型, 促使学生思考和理解公式的一般化表达,这个过程有利于发展学生的逻辑推理能力.

第四个难点是应用中解的解释和二项分布模型的识别与转化.

2.3 教学难点

(1)n重伯努利试验模型的识别与转化;

(2)二项分布的应用.

3 理解技术,分析教学支持条件

本节内容的教学应重视以下环节: 收集素材,激发兴趣;分析实例,识别模型;展开反思,解释解的实际意义等.为促使有效进行数学思维,更好发现数学规律,可以借助信息技术手段(Geogebra 软件)帮助学生体会二项分布在实际生活中的魅力.

4 预设教学过程

引导语我们研究一个数学对象,一般经历这样的过程:先在一般意义上定义研究对象,再研究关键的特例,“一般性寓于特殊性”,通过特例的研究,达到对研究对象的基本认识,获得相应的数学模型[1].例如,一般意义上研究函数的概念与性质后,研究基本初等函数,给出数列的一般概念后再研究等差、等比数列.前面我们学习了离散型随机变量及其分布列和数字特征,你觉得接下来的学习内容是什么呢?

设计意图引导学生掌握研究数学问题的一般方法和“套路”.

环节一分析具体实例,归纳共同特征

问题1分析下面的试验结果,它们有什么共同的特点?

1、掷一枚硬币; 2、姚明投篮; 3、购买彩票; 4、新生儿性别;5、医学检验;6、产品检测.

活动学生独立思考问题,归纳出试验的共同属性,教师点评,给出伯努利试验的定义.

追问1下面3 个试验和伯努利试验相关吗,它们有什么共同的特点?

1、抛掷一枚质地均匀的硬币10 次;2、某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3 次;3、一批产品的次品率为5%,有放回的随机抽取20 件.

活动学生在独立思考的基础上进行全班交流,教师强调关键词背后的含义(“质地均匀”、“每次射击中靶概率相等”、“有放回”),引导学生归纳出试验的共同特点,进而抽象出n重伯努利试验的定义.

追问2伯努利试验和n重伯努利试验有什么区别,n重伯努利试验中我们关注的是什么?

活动教师引导学生结合具体实例分析n重伯努利试验可以解决什么问题,进一步得出问题中的随机变量是什么.

设计意图通过丰富的、有趣的、典型的问题情境,引导学生观察、比较、分析、归纳共性、抽象本质,并形成概念.使学生明确这两种试验的内在联系,深层理解n重伯努利试验的特征和它将解决的问题.培养学生发现问题、提出问题的能力,提升数学抽象素养.

环节二合作探究,形成二项分布概念

引入语众所周知,姚明通过自身努力成为了我国至今为止成就最高的篮球运动员.他职业生涯的罚球命中率为0.8,假设他每次命中率都相同,你知道他在连续3 次投篮中,投中次数的概率分布列是怎样的吗?

活动先由学生尝试识别“n重伯努利试验”模型,再由教师引导学生寻找运算规律.记Ai=“第i次投篮命中”(i= 1,2,3),利用树状图表示试验的可能结果.其中3 次投篮恰好投中2 次的结果为:它们的概率都是0.82×0.2,与哪两次中靶无关,因此其概率为C23×0.82×0.2.同理可得投中0、1、3 次的概率,因此投中次数X的概率分布列为:P(X=k) =Ck3×0.8k ×0.23-k,k=0,1,2,3.

追问1类比上面的分析,如果连续4 次投篮,表示投中2 次的结果有哪些? 写出投中次数X的分布列.

追问2根据上述分析,你能抽象概括出一类概率问题的计算吗?

活动学生独立思考、互相交流,从运算的角度充分经历二项分布概念的自主建构过程,教师点评和补充.

设计意图通过学生熟悉的投篮问题,让学生体会先抽象条件,再抽象结论的研究过程,体会从特殊到一般的数学思想,是学生提升逻辑推理、运算能力的契机.

环节三揭示概念的内涵与外延

问题2二项分布与两点分布有何关系?

问题3二项分布和二项式定理有何联系?

活动学生思考、交流、作答,教师总结.

设计意图使学生体会知识的发生和发展过程,理解二项分布概念的来龙去脉, 形成数学知识的整体性和连贯性,真正把握其本质内涵,提高灵活解决问题的能力.

环节四概念运用,巩固提高

例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10 次,求:

(1)恰好出现5 次正面朝上的概率;

(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.

活动学生先识别试验模型,尝试独立完成,教师巡视,对有问题的学生给予适当的指点, 再将学生的解答投屏展示、点评.

追问有人说“抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为0.5,那么随机抛掷10 次,出现5 次正面朝上的概率也是0.5.”你怎么认为?

活动由学生代表根据计算结果解释: 许多人都抛掷一枚质地均匀的硬币10 次,其中约24.6%的人恰好出现5 次正面朝上.且只有约为66.6%的人正面朝上的次数是4～6次.教师组织学生利用Geogebra 软件模拟试验(如图1)验证这个规律.

图1 掷币试验

设计意图学生初步应用二项分布解决实际问题.结合信息技术更好的辅助其发现数学规律,并澄清一些错误的认识,从而树立正确的概率直觉.

例2如图2 是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉, 小木钉之间留有适当的空隙作为通道, 前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,…,10,用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列.

图2 高尔顿板示意图

活动教师播放介绍高尔顿板试验的小视频,既渗透数学文化,也帮助学生理解小球最后落入格子的号码X等于向右落下的次数,这样就将“小球碰撞小木钉10 次”转化为“10 重伯努利试验”,将问题转化为二项分布模型来处理.本质上与例1 掷币模型是一致的.

在分析的基础上,由学生独立完成解答过程,教师展示X的概率分布图,指明小球落入中间格子的概率大,落入两边格子的概率小,与高尔顿板试验中许多小球下落后累计记录的潜在信息是一致的: 这些球堆轮廓图近似为钟形曲线.

设计意图教学中利用数学文化知识让学生更全面深入地了解二项分布的概念,体会其中的人文精神,激发学生学习的动力,也为学习正态分布做好准备.同时也是“德育”的良好载体: 高尔顿版试验启示人们事物的发展大多是渐进和累积的,从全局的角度来考虑问题才能掌握事物的本质特性.

例3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3 局2 胜制还是采用5 局3 胜制对甲更有利?

活动学生思考、交流,教师巡视,由学生代表作答: 该问题本质上是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大.可以把事件“甲最终获胜”,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率,得到解析1.

追问1本题是否符合n重伯努利试验特征? 伯努利试验是什么? 事件A是什么及其概率是多少? 试验的次数是多少? 各次试验结果是否独立? 随机变量是什么?

活动本题中学生不确定试验的次数,因为“如果谁先赢2 局就不再比第3 局”.教师鼓励学生按照假定赛满n局,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.

追问2假定“赛满n局”利用二项分布计算的结果与解析1 的结果相等是巧合吗?

活动教师引导学生将比赛情形分类分析(如下表1):

表1

前两局甲连胜的概率为p2, 可以分解为前两局甲连胜, 第三局甲胜或者甲输来计算, 即p2= (1-p)p2+p3.而三种情形整体来看3(1-p)p2、p3分别与二项分布中的P(X= 2)、P(X= 3)等价.因此两种计算方式本质上是一致的,而二项分布的计算方式更简便,还可以做到不重不漏.

根据计算结果可得5 局3 胜制对甲有利.教学过程中,教师组织学生利用Geogebra 软件作图(如下图3)验证这一结论: 横坐标是选手每局胜出的概率,纵坐标是选手最终胜出的概率,对实力派选手而言,局数越多,胜算越大.

图3

设计意图通过对比两种概率的计算方法,使学生了解二项分布计算的优越性,学会在具体情境中,将问题转化为能够应用模型加以解决的形式.同时向学生展示生活中的许多决策可以通过严密、系统的数学来论证,激发学生学习数学的热情,使数学课堂更有活力.

环节五梳理过程,感悟本质

问题4回忆本节课的学习内容,请你梳理二项分布概念的抽象过程、确定二项分布模型的步骤,并举出几个生活中服从二项分布的随机变量的例子.

活动先由学生阐述自己的想法,教师带领学生梳理“事实—概念—结构—应用”的研究思路,体会概念的形成过程,进一步总结确定二项分布模型的步骤.由教师简要板书: 伯努利试验及事件A发生的概率p—试验的次数n—判断独立性—确定随机变量.

设计意图学生通过梳理研究过程和确定二项分布模型的步骤,理解二项分布的内涵,形成对本节课内容的整体认识.在思想方法上为自主探究超几何分布打下基础.举生活中的例子可以加深学生对二项分布的理解,另外应用数学知识研究生活问题,正是数学的价值所在.

环节六目标检测,检验效果

检测判断下列表述正确与否,并说明理由:

(1)10 道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X ～B(10,0.25);

(2)100 件产品中包含8 件次品,不放回地随机抽取4 件,其中次品数X ～B(4,0.08).

设计意图考察学生对二项分布的理解.

作业布置

(1)《选择性必修三》第76 页,练习第1、2 题;

(2)思考目标检测题(2)如果采用不放回抽样,其中次品数的分布列你会计算吗?

设计意图巩固、内化知识,也为后面“超几何分布”的学习做准备,给学生提供感悟知识精髓的空间和时间.

结语本教学设计重视明确基本套路、增强教学的整体性.以明线为载体: 事实—概念—结构—应用,发挥暗线的育人价值: 具体实例—数学问题—由特殊到一般建立模型—模型应用—感悟随机思想和概率的魅力.为学生自主探究超几何分布定好了框架,为学习正态分布奠定了基础.另外也重视创设情境,引导学生开展系列化的数学学习活动,如观看高尔顿版试验小视频;利用geogebra 软件分析实例,解释解的实际意义、为生活提供决策等.注重数学教学中的“五育融合”.“二项分布”这一节内容很丰富,思维难度较大,与现实生活密切相关,需要教师站在数学高位上认识数学内容和活动,努力让数学课堂生动有趣,让学生真正学有所获.