利用GeoGebra实现《解析几何》教学的可视化

姜兆敏 孟凤娟 严静

摘 要：文中基于GeoGebra动态几何软件，以师范生的解析几何课程为例，探索使解析几何教学内容可视化的途径，为学生探究解析幾何中的概念、理论、图形等提供思路，有效提升了课堂教学效果，培养了数学方向师范生的空间想象能力和运用数形结合的思想方法研究问题的能力，提高了师范生的数学素养水平和信息技术应用能力.

关键词：GeoGebra软件；可视化；动态演示；解析几何

《解析几何》是师范专业数学方向的一门必修课，具有抽象性和直观性两重属性.关于这部分的教学用传统教学手段，教师很难徒手在黑板上快速、准确、生动地画出空间曲面、曲线，虽然可以结合PPT讲解，但是PPT上的静态的图形缺乏生动性、直观性，难以实现教学效果.为了改善这类弊端，有的高校教师用数学软件Matlab、Mathematic、Maple等辅助教学，但是这些软件需要较强的编程能力，不适合大部分数学教师，且这些软件不能插入PPT使用.“工欲善其事，必先利其器”，动态几何画板GeoGebra软件简便易学［1］，文件占用内存小，可以加载到PPT中演示，为一些需要“数形结合”课程的教学带来了高效便捷，同时，生动的动画演示增强了学生的学习兴趣，拓展了学生的空间想象力，能迅速提升教学效果.

苏格拉底时代，教师需要声如洪钟；课堂教学时代，教师需要板书工整；PPT教学时代，教师需要熟悉多媒体教学；慕课教学时代，教师需要让课堂生动、有趣；智慧教学时代，教师需要学会智能操作.随着时代的进步和发展，教师应与时俱进，优化课堂教学模式，不断成长和进步.信息技术时代，人们对信息的获取绝大部分是依赖视觉实现的，信息的图像化能够加深学生对所学内容的理解.教师将信息技术与课程深度融合的目的是以信息技术为云梯，缩小数学家的思维方式和学生的思维方式之间的鸿沟，考虑学生的认知心理，理解学生的认知困难所在，能更有效地助力学生的学习，为学生探索未知启发思路，引导学生改善学习方法，实现传统教学手段难以实现的教学效果.在《解析几何》［2］的教学中，如果教师应用GeoGebra软件辅助教学，将教学内容进行可视化、多元化呈现，能使得一些抽象复杂的教学内容变得直观易懂，促进学生迅速掌握所学知识，提高学习效率，教师能够轻松实现《解析几何》课程的培养目标.由于GeoGebra软件容易上手，教师也可以在课堂上向学生传授一些指令的使用方法，提高新时代的师范生应用信息技术的能力，使师范生的高等教育向着信息化高水平发展.

1 可视化案例

1.1 理解圆锥曲线的概念

用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线称为圆锥曲线，圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线.在教学时，教师可以利用GeoGebra软件为学生理解圆锥曲线的概念创设背景，动态展示不同位置的平面去截圆锥面得到不同形状的交线，帮助学生理解圆锥曲线的概念.具体过程如下：

在指令栏输入：无限长圆锥（（0，0，0）， z轴， 45°），得到圆锥面z2=x2+y2，创建角度滑动条α，最小0°，最大360°，创建数值滑动条b，最小-5，最大5，输入指令：平移（旋转（z=0， α， y轴）， 向量（（0， 0， 0）， （0， 0， b））），得到平面p，使用工具栏中的相交曲线工具，得到平面p和圆锥面的交线，启动滑动条α、b，改变交线的形状，还可以创建平面p的平面视图，在平面视图上考查截线形状，随着滑动条取值的改变，平面的位置随之变化，得到变化的圆锥曲线.

1.2 截痕法研究曲面的形状

在空间解析几何教学中，有些空间曲面形状比较复杂，学生很难通过曲面的方程得到曲面的形状，比如双曲抛物面.在课堂教学中，教师很难在黑板上徒手画出图形，即使用绘图软件画出静态图形在PPT上展现给学生，但是学生们也只是对图形走马观花似的看了一番，只能直观感受到双曲抛物面形状像“马鞍”，并不能深入理解曲面方程和图形的内在联系，也不能深刻领会方程中各个变量的内在数量关系.

如果教师使用GeoGebra进行教学，那么将会给学生带来全新的学习体验.教师结合双曲抛物面的方程表达式z=x²/a²－y²/b²，令x，y，z取不同的常数a，b，c，首先进行理论上的推导，得到不同的截线的方程，然后再利用GeoGebra动态展示截痕，将抽象的几何图形变成“看得见，摸得着”的动态曲线，通过观察动态演示，学生能非常容易地把截线和其方程建立起直接联系，并通过在大脑中综合截痕得出双曲抛物面的形状，在这样的学习中，学生更容易顿悟出双曲抛物面名称的由来.

作图过程：在指令栏输入：如果（-5<=x<=5-5<=y<=5，x^2/4-y^2/9），得到双曲抛物面a（x，y），创建三个数值滑动条a，b，c，使用工具栏里的相交曲线指令，分别得到双曲抛物面a（x，y）与平面x=a，y=b，z=c的截线，启动动画a，b，c，得到截线的动画.

1.3 空间曲面概念的可视化

旋转曲面是由平面里的一条曲线绕着同一平面里的一条直线旋转一周形成的曲面.在进行旋转曲面的教学时，借助GeoGebra可以动态演示旋转曲面形成的过程.通过改变母线的形状，能够旋转出不同形状的旋转曲面，学生在学习过程中，能直观地感受到数学的美.下面以圆环面为例简要说明旋转曲面的教学设计.

同时打开绘图区和3D绘图区，首先在平面绘图区绘制母线c：x²+（y－2）²=1，在指令栏输入： x^2+（y-2）^2=1，得到圆c，然后输入：曲面（c，360°，x轴），可在3D绘图区生成圆周c绕x轴旋转所得到的旋转曲面——圆环面.如果要展示圆环面的形成过程动画，可创建角度滑动条α，最小0°，最大360°，在指令栏输入：曲面（c，α，x轴），启动动画α，那么可以观察到圆环面的整个形成过程.我们还可以绘制母线c绕着x轴旋转的动态过程，创建整数滑动条n，最小1，最大50，在指令栏输入：序列（旋转（c，2pi*i/n，x轴），i，1，n），可以观察到母线绕着x轴旋转生成圆环面的过程，如图1.将母线换成其他曲线，可以生成不同形状的旋转曲面.

1.4 理解空间曲面、曲线参数方程

1.4.1 球面的参数方程及经纬线

空间中一点M的直角坐标（x，y，z）和球面坐标 （r，θ，φ）的关系为

在讲解球面坐标（r，θ，φ）的定义时，可以借助滑动条动态演示. 创建数值滑动条r，范围［0，5］，输入：曲面（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，π，θ，0，2π）， 启动滑动条r，可以观察到球面的大小发生改变. 创建角度滑动条α，范围［0， 2π］，输入：曲面（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，π，θ，0，α）， 创建角度滑动条β，范围［0，π］，输入：曲面（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，β，θ，0，2π），启动角度滑動条α和β，可以观察到部分球面的生成，将球面的参数方程中的参数φ，θ的几何含义和取值范围直观的呈现给学生，如图2所示.

在球面的参数方程教学时，还可以进一步地利用序列指令绘制球面上的经线和纬线.在指令栏输入：序列（曲线（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，π），θ，0，2π，0.5），得到球面上的一组经线，序列（曲线（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），θ，0，2π），φ，0，π，0.5），得到球面上的一组纬线，可以进一步加强学生对于球面的参数方程中的参数φ，θ的定义的理解.

1.4.2 例题展示

2 思考与展望

目前，GeoGebra软件在中小学数学教学中已经广泛使用［35］.实践证明，在教学中利用GeoGebra软件对于动点问题、最值问题和函数图像的教学起到了非常显著的教学效果.在国外高校GeoGebra软件使用非常广泛［6］，在国内高校的教学中，GeoGebra软件的使用已经悄然升起.GeoGebra软件除了可以辅助解析几何的教学，还可以应用于微积分、线性代数、概率论与数理统计、物理、化学等学科.鉴于GeoGebra软件的优势，在高校的理工科教学中有非常广阔的发展空间，值得大力推广.将GeoGebra软件融入大学数学课堂，优化课堂教学形式已成为必然趋势.GeoGebra软件丰富的网络学习资源以及容易上手的特点，利于学生开展数学实验，使师范生在本科阶段掌握信息化技术，更有利于学生将来就业和提高中小学数学授课水平.对于大学教师来说，利用GeoGebra软件辅助教学能够提高教学质量，训练学生的空间思维能力，培养学生善于利用先进工具探索新知的良好学习品质，减轻学生的认知负荷.但是教师在教学时，如何在抽象思维和具象思维之间的取得平衡，避免过度可视化教学内容，把握教学内容可视化的时机，做到不提前不滞后，如何指导学生开展数学实验，还需要我们进一步的探索和研究.

参考文献：

［1］ 沈翔.GeoGebra基本操作指南［M］.北京：高等教育出版社，2021.

［2］ 吕林根，许子道.《解析几何》（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［3］ 吴华，周鸣.GeoGebra环境下基于APOS理论的数学概念教学研究——以导数概念为例［J］.数学教育学报，2013，22（2）：8790.

［4］ 张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略——基于GeoGebra平台［J］.数学通报，2018，57（7）：2124+28.

［5］ 寇恒清.GeoGebra在高中数学教学中的应用初探［J］.数学通报，2015，54（9）：4851.

［6］ 方金辉，王智勇.中英高校几何课程教学比较［J］.高等数学研究，2017，1（20）：124125.

［7］ 张志刚.曲径通幽处：一道高考模拟题的背景揭示与破解［J］.数学之友，2022，36（6）：8084.

［8］ 李春峰.探索化归思想在高中数学解题中的应用［J］.数学之友，2022，36（6）：5355.

［9］ 李莹.课程思政视域下的高中数学教学设计研究——以高中数学“数列”教学为例［J］.数学之友，2022，36（6）：3538.

［10］ 周凯悦，汤建钢.人教版与北师大版关于“线段、直线、射线”内容的比较研究［J］.数学之友，2022，36（6）：912.

［11］ 张文晴，曹佳慧，李香，李娅玲，王雪燕.新高考背景下江苏省数学试题变化分析［J］.数学之友，2022，36（5）：8385.

［12］ 孟凡群.四法演绎一道圆锥曲线最值问题［J］.数学之友，2022，36（5）：6668.