人教版高中数学新旧教材“函数的单调性”的比较研究

陈丽真 徐建新，2

（1.德化第一中学，福建 泉州 362500；2.福建教育学院数学教育研究所，福建 福州 350025）

一、问题背景

鉴于《普通高中数学课程标准（2003 年实验）》已使用十年之久，教育部于2013 年启动了普通高中课程修订工作.历经四年，《普通高中数学课程标准（2017年版）》后又出台2020 年修订版本，重新制定了高中数学课程的教育目标和教学内容，作为编写教材的纲领性文件和主要依据.课程标准发生变化，教材内容、教学理念也随之变化.解读、比较这两个不同版本的教材，尤其是新教材修改的部分，有助于教师理解编者意图，进而更好地组织教学.

函数的单调性是函数最重要的性质，在各种函数的研究中都会涉及，它是比较大小、求函数的最值、极值以及证明不等式等的重要工具.单调性的研究过程体现了研究函数性质的一般方法，对研究函数的其他性质，如奇偶性等有借鉴作用.

文章以“函数的单调性”为例，分析研究与2004 年版教材对比，2019 年版教材这节的教学内容是如何落实立德树人，发展学生的数学学科核心素养这一新的课程目标.

二、研究对象

人民教育出版社2004 年版《普通高中课程标准实验教科书（A 版）必修1》（以下简称旧教材），2019 年版《普通高中教科书数学必修第一册（A 版）》（以下简称新教材）.

三、研究内容

（一）比较概念的引入方式

两个版本教材对本节的引入方式基本相同，都是先用详细的引言统摄全节，再把初中阶段研究过的函数值随自变量的增大而增大（或减少）的性质叫做函数的单调性，继而研究二次函数f(x)=x2的单调性.

在引言中，先指出函数在现实世界中的作用及研究函数的目的；再提出研究的问题是“函数的性质”，在边空中注释性质的含义，［1］介绍性质的主要内容，并指出函数性质是认识客观规律的重要方法；然后明示：先画出函数的图象，通过观察和分析图象的特征可以发现函数的一些性质，引出本节要研究的内容.本节的引言是关于函数性质的综述，清楚地说明为什么要研究函数的性质以及如何研究这一问题，有利于学生明晰学习内容，有助于学生阅读能力的培养.

（二）比较概念呈现顺序

旧教材呈现顺序：单调性→增（减）函数→（严格的）单调性（区间）.［1］

新教材在给出“单调性”概念后，多了“单调递增（减）”的概念，把“单调递增（减）”与“增（减）函数”区分开，这是旧教材所没有的.函数的单调性有两类：一是定义域上具有一致单调性的函数，二是定义域上单调性不一致的函数.新教材仅把在整个定义域上单调递增（减）的函数称为增（减）函数.可见，在新教材中，增（减）函数专指整体性，用单调递增（减）说明局部性，更能反映函数的单调性是函数的一种“局部性质”.

（三）比较概念的生成过程

旧教材以f(x)=x2为例，先列出x，y的对应值，再让学生思考：如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小（增大）”？

旧教材先通过x，y具体的数值变化，再以适当的问题进行引导，试图把“函数值随自变量的增大而增大（减小）”转化为用不等式的语言定量刻画，但这是一个难点.从以往的教学经验看，教师引导得辛苦，学生听得一知半解，效果并不理想.

学生在初中学习了一次函数、二次函数和反比例函数，对图象的“上升”与“下降”有所了解，也会用“函数值随自变量的增大而增大（减小）”来描述函数的增减性，只是当时的研究较为粗显，停留在自然语言阶段.因此，本节内容要解决的难点问题是如何在定性的基础上给出定量刻画，用数学语言明确给出有关函数单调性的定义.

新教材也是以f(x)=x2为例，由图象直观地得到函数值增加、减少的变化特征，进一步直接用数学语言刻画函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是单调递减的.同时，教材在边空中提问：“你能说明为什么f(x1)＞f(x2)吗？”让学生从代数的角度证明“当x1＜x2≤0 时，.与初中通过图象直观定性描述函数性质比较，高中阶段要在图象直观的基础上，通过代数运算研究函数性质.［2］

类似地，定义f(x)=x2在区间[0,+∞) 上单调递增.

新教材从f(x)=x2入手做数学语言构造的示范，从学生初中熟悉的自然语言描述到高中陌生的符号语言刻画，从直观的图形到抽象的符号，三种语言的转化自然流畅，又层层递进，引导学生模仿、体会这种刻画方式的简洁性和严谨性.

接着教材安排思考题：函数f(x)=|x|，f(x)=-x2各有怎样的单调性？使学生进一步熟悉符号语言的表述方法.这样，教材从特殊函数入手，给出一般函数单调递增（减）、增（减）函数概念严格的数学表达.并在“思考”环节，设置问题引导学生辨析定义中的关键词“任意”，最后用新规则证明一次函数、反比例函数等的单调性.由上述过程可以发现，新教材规避了单调性概念用符号语言刻画的难点，直接采用“规定—例题”的方式来呈现函数的单调性，把学生的可接受性和发展性放在首位.

（四）例题及思考题的设置对比

新教材删除了旧教材的例1，改成根据定义研究一次函数的单调性；例2 与旧教材相同，即证明函数p=(V∈(0,+∞)) 是减函数；例3 是证明函数y=x+在区间(1,+∞)上单调递增.

新教材在概念生成的过程中以二次函数为例，因此，例1 和例2 研究初中学过的另两类函数：一次函数和反比例函数.先借助函数图象直观地感知这两类函数的单调性，再运用定义进行严格的证明，从形到数，从直观到抽象，培养学生数形结合及分类讨论思想，使初中所学内容得到深化和提高.

例3 给的函数是正比例函数y=x与反比例函数y=相加构成的新函数，该函数的图象是学生不知道的.通过例3 的证明，学生既得到函数y=x+在区间(1,+∞)上单调递增，又得到其在区间(0,1)上单调递减，从而顺利地画出函数y=x+在区间(0,+∞)上的图象，化抽象为具体.

前两道例题由图象观察函数的单调性并证明，后一题反其道而行，先研究函数的性质，再得到函数的图象.三道例题相辅相成，提供了研究函数的图象与性质的两种常见方法.同时，三道例题都紧扣函数单调性的定义，用数学的符号语言严格按照“取值、作差、判断符号、下结论”这四个步骤依序操作，使学生进一步理解、巩固单调性的概念，对学生能运用概念规范地用符号语言表达起到很好的示范作用.

新教材例题的设置比旧教材更丰富、更有层次性和深度，更能引导学生用数学的思想、方法解决问题，并在问题解决的过程中培育学科素养.

除例题外，新教材通过设置两道思考题对概念进行辨析，通过明晰概念，促进学生重视对概念的学习.区间I上部分满足单调递增的条件，不能得出函数在区间I上单调递增，让学生理解概念中为什么要“∀x1,x2∈D”.另一题是让学生举例说明定义域内单调递增的函数（如一次函数）和既有单调递增区间又有单调递减区间的函数（如二次函数），让学生辨别了增（减）函数和单调递增（减）这两个概念的区别.

基于新旧教材中都有的例2 玻意耳定律就是证明函数y=(k＞0)在(0,+∞)上单调递减.所以，新教材删掉旧教材关于函数y=在定义域上单调性的探究题，将其安排在课后练习中，并将函数y=改成反比例函数y=-提高了难度.学生要通过讨论k的正负得到不同的单调性，与例1呼应，分类讨论思想进一步得到巩固.该题可以通过举反例，说明函数y=(k＞0)在定义域上不是减函数，更具体地让学生明白概念中“∀x1,x2∈D”这一条件的重要性，从而理解函数的单调区间为什么不能简单合并.教材在多个位置设置不同的题目，不断地强化学生对函数单调性这一抽象概念的理解，感悟常用逻辑用语中的量词与数学的严谨性.

（五）比较课后习题的安排

新教材课后习题的数量明显增多，其中最大一个亮点是习题3.2 的第8 题和第9 题.

习题3.2 第8 题设置了三道小题，分别要求用定义证明函数y=x+在区间[3,+∞)上单调递增，讨论函数y=x+及y=x+(k＞0)在区间(0,+∞)上的单调性.

该题与例3 是同一类型的函数，由易到难地引导学生完成对函数y=x+(k＞0)在区间(0,+∞)上的单调性的探究，后续在学完函数的奇偶性后又得到该函数在区间(-∞,0)上的单调性，在学完本章后又专门“探究函数y=x+的图象与性质”.教材根据学生的认知水平，通过例题、习题、阅读材料逐步达成学生对形如y=ax+(a,b＞0)的函数图象与性质的理解，对运用基本不等式求这类函数的最值起到补充、加强的作用.

习题3.2 第9 题的证明题实际上是给出增（减）函数定义的等价形式：设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D，记Vx=x1-x2，Vy=f(x1)-f(x2).

函数y=f(x)在区间I上单调递增（减）的充要条件是：∀x1,x2∈I，x1≠x2，都有＞(＜)0.

新教材将“差商法”放在本节习题中作为“定义法”判别法则的补充，更简洁但也更抽象.由“差商法”可知，函数在区间I上单调递增（减）的充要条件是该区间上图象任意两点连线的斜率大于（小于）零，它为今后研究平均变化率与导数提供了基础，也为用导数研究函数的单调性作铺垫.

新教材在例题与习题上做了较大的改动，充分体现了新课标“重视以学科大概念为核心，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实”的编写理念.［3］

四、结束语

新旧两种版本的教材对函数的单调性处理方式同中有异，各有千秋，体现了各自的课程目标和内容.2003 年版课标要求通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；2017 年版的课标修改为：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.可见，新课标要求结合函数图象，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.因此，新教材的编写更注重发展学生的数学抽象素养.函数的图象直观地表达了函数的性质，两种版本的教材都注重加强与学生已有经验的联系，先通过学生熟悉的函数图象直观感知，再引入概念，关注学生直观想象素养的培育过程.新教材例题与习题的设计以能力立意为主，体现了数学思想方法的运用以及知识的螺旋式上升，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.教学中要充分发挥教材的作用，理解教材，把握教材内涵，落实“四基”“四能”，发展学生数学学科核心素养.