用坐标法解平面向量题的步骤

唐浩新

平面向量是衔接代数与几何的纽带.在解答平面向量问题时，可根据题意构建合适的平面直角坐标系，进行数形互化，巧妙运用坐标法来解题.

运用坐标法解平面向量题的步骤为：

1.根据题意和向量的几何意义画出相应的几何图形；

2.寻找或构造垂直关系，选取合适的点作为原点，建立平面直角坐标系；

3.求得各个点的坐标、各条线段的方向向量；

4.根据向量的坐标运算法则进行运算，求得目标向量、关系式；

5.将目标式看作函数式，利用函数的性质、基本不等式、三角函数的性质等求得问题的答案.

坐标法的优势在于将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将向量问题转化为计算问题.

例1.（2022年高考数学上海卷，第11题）若|a|=|b|=|c|=λ ， 且满足 a·b=0，a·c=2，b·c=1，则λ=.

解：

解答本题，要先抓住两个平面向量之间的垂直关系，合理构建平面直角坐标系；然后结合题设条件求出各个向量的坐标；再将其代入已知关系式中，建立方程组，即可化“形”为“数”，通过坐标法求得参数的值.

例2.

解：

建立平面直角坐标系，根据题目中的几何条件、圆的性质以及勾股定理求得各个点的坐标，便可根据向量数量积公式的坐标形式求得问题的答案.在解题时，要充分挖掘平面向量的几何意义，抓住几何图形的特征，这样才能快速找到解题的突破口.

例3.（2022年高考数学北京卷，第10题）在△ABC 中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且 PC=1，则·的取值范围是（）.

A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]

解：

解答本题，需根据△ABC 的特征建立平面直角坐标系，用θ的三角函数式表示出点 P 的坐标，即可根据向量数量积公式的坐标表示形式，将问题转化为三角函数最值问题.

总之，利用坐标法来求平面向量中的参数、数量积、最值等，需通過合理构建平面直角坐标系，把几何问题代数化，从而将抽象的问题转化为具体的向量运算问题，使我们更容易触及平面向量的相关代数运算，避免了繁杂的逻辑推理.

（作者单位：甘肃省张掖中学）