由一道与动点有关的平面向量题引发的思考

朱利锋

与动点有关的平面向量问题一般较为复杂，且命 题形式多样，解法较为灵活，常常令考生头疼不已.下 面结合一道例题，谈一谈如何求解与动点有关的平面 向量问题.

例题

本题中 C 为动点，x、y 分别为 参数，其值随向量 OC ，即动点 C 的变化而变化.要求 x + y 的最大值，关键是确定动点 C 的位置.可利用坐 标系法，通过坐标运算求解；也可以借助向量的数量 积公式进行求解；还可以根据向量的幾何意义构造三 角形，运用正余弦定理求解.

一、利用坐标系法求解

坐标系法是根据题意建立适当的平面直角坐标 系，用坐标表示动点和向量，通过坐标运算解题的方 法.在运用坐标系法求解与动点有关的平面向量问题 时，要根据题意建立适当的平面直角坐标系，可寻找 或作出相互垂直的两条线段，并将其视为坐标系.通常 要让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于计算.本题 中 ∠AOB = 120° ，可以 O 点为原点，以 OA 为 x 轴，过 点 O 作垂直于 OA 的直线，并将其视为 y 轴来建立直 角坐标系.

解：

建立直角坐标系后，设出动点的坐标，求得其他 各个点的坐标，将各个向量用坐标表示出来，即可快 速建立关于 x、y 的关系式，根据基本不等式求得最 值.利用坐标系法，可以将向量问题转化为代数问题来 求解.

二、借助向量的数量积公式进行求解

若向量 a 与向量 b 之间的夹角为 θ ，则 a?b = | a| | | | | b cos θ ，该式为向量 a 与向量 b 的数量积.在求解与 动点有关的平面向量问题时，可根据向量的数量积公 式，建立与动点有关的向量及其夹角之间的关系式， 通过确定向量之间的夹角或向量的模的值（最值），进 而快速求得 a?b 、| a|、 | | | | b 的值（最值）.

解：

已知条件中给出了向量 OA、 OB 之间的夹角及 OA、 OB、 OC 的模长，自然而然地可以想到利用向量的 数量积公式解题.根据向量数量积公式求得 OC 2 的表 达式，再利用基本不等式来求得最值，即可解题.

三、根据正余弦定理进行求解

正弦定理： a sin A = b sin B = c sin C = 2R ；余弦定理： a2 = b 2 + c 2 - 2b cos A; b 2 = a2 + c 2 - 2ac cos B;c 2 = a2 + b 2 -2ab cos C .用正余弦定理解答与动点有关的向量问题， 首先需根据向量的平行四边形法则或三角形法则，绘 制出平行四边形或三角形；然后运用正余弦定理来建 立三角形边角之间的关系，将问题转化为代数运算问 题或取值范围问题来求解.

解：

利用正余弦定理求解与动点有关的向量问题，关 键是根据向量的几何意义找出或作出三角形，以在三 角形中利用正余弦定理建立关于动点的关系式.

求解与动点有关的平面向量问题的方法很多，关 键是要结合题干中所给的条件选择合适的方法对问 题进行求解.这就需要熟练地掌握平面向量的相关知 识，合理展开联想，运用发散性思维，将所学知识与向 量关联起来，只有这样，在解答此类问题时才能做到 得心应手.

（作者单位：南昌大学附属学校）