求数列和常用的几个技巧

谢志坚

求数列的前 n 项和问题侧重于考查等差、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的应用.求数列的前 n 项和问题的命题形式多样，所以掌握一些求解数列前 n 项和问题的方法，是非常有必要的.下面通过几个例题介绍一下求数列和常用的几个技巧.

一、分组求和

若数列的通项公式为：{an ± bn}或{an ± bn ± cn} ，其中{an }、{bn}、{cn }分别为等差数列、等比数列、常数列，就可以将数列拆分为几个数列{an }、{bn }、{cn }的和或差，然后分别对几个数列进行求和，再利用分组求和法求得数列的前 n 项和.

例1.求数列：2+ ，4+ ， … ，2n + 的前 n 项和.

解：Sn =2+ +4+ +…+ 2n +

=（2+4+…+2n） + + +…+

= + = n2+ n - n +1.

该数列的通项公式为 cn = 2n + 1 2n ，其中 {2n} 是 首项为 2、公差为 2 的等差数列；数列 { } 1 2n 是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列，可以将数列分为两组： 2，4，…，2n 和 1 2 ，1 4 ，…， 1 2n ，分别运用等差、等比数列的 前 n 项和公式进行求和，便能运用分组求和法求得数 列的前 n 项和.

二、裂项求和

若数列的通项公式可分裂成两项的差，就可以运 用裂项求和法求和.将分裂后的各项相加，其中互为相 反数的项就会消去，通过化简即可快速求得数列的和. 常见的裂项方式有：（1） b n（n + a） = b a （ 1 n - 1 n + a ）；（2） ln n + 1 n = ln（n + 1） - ln n； （3） 1 n（n + 1）（n + 2） = 1 2 （ 1 n（n + 1） - 1 （n + 1）（n + 2） ）；（4） 1 n + 1 + n = n + 1 - n .

例2.

解：

该数列的通项公式为 1 （n + 1）（n + 2） ，可将其变形 为 1 n + 1 - 1 n + 2 ，则分裂后数列各项的分母是连续自 然数，利用裂项相消法就能快速求得数列的和.

例3.

解：

将数列的各项有理化后可变为两项之差的形式，利用裂项相消法即可快速求得数列的前 n 项和.若数列的通项公式是对数式、根式、指数式的积，就可以考虑运用裂项相消法求数列的前 n 项和.

三、錯位相消

若数列的通项公式为an = bn cn ，其中{bn }是等差数列，{cn }是等比数列，则可运用错位相消法求数列的和.首先写出数列的和式：Sn = b1c1+ b2 c2+…+ bn -1cn -1+ bn cn ，并在该式的左右同乘上公比 q 得：qSn = qb1c2+ qb2 c3 +…+ qbn -1cn + qbncn +1；然后将这两个式子错位相减，即可通过化简求得数列的前 n 项和.

例4.求数列，， ， … ， ， …前 n 项的和.

解：

该数列的通项公式是等比数列 { } 1 2n 和等差数列 {2n} 的通项公式的乘积，可以利用错位相消法，将数 列的和式的左右同时乘以公比 1 2 ，再将其与原和式相 减，即可求得数列的前 n 项和 Sn .

总之，求数列的前 n 项和，需仔细观察数列的通 项公式，根据其结构特征进行合理的拆分、重组，以使 其为两个常规数列的差、和、积，或两项之差，再选择 与之相应的求和方法，即可快速求得数列的前 n 项和.

（作者单位：江西省赣州市南康区第三中学）