选用合适的方法，快速证明不等式

熊艳

不等式证明题比较常见，其命题形式多种多样，解法也很多，常用的有综合法、反证法、数学归纳法、构造法、函数性质法等.下面结合实例，主要谈一谈证明不等式的两种思路：利用函数的单调性和反证法.

一、利用函数的单调性

不等式与函数的关系紧密.在证明不等式时，可将问题与函数关联起来，先根据不等式的结构特征，构造出合适的函数模型；然后根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性证明不等式成立.有时可将不等式两侧的式子看作取两个不同自变量时函数的表达式，有时可以将不等式转化为[f（x）≥0]、 [f（x）>0]、[ f（x）<0]、[ f（x）≤0]来求解.

例1.证明：[x-1x+1lnx-x+1≥0].

证明：设[fx=x+1lnx-x+1]，

[∴fx]在[0，1]上单调递减，在[1，+∞]上单调递增，

[∴fx≥f1=1>0]，

[∴fx]为增函数，

[∵f1=0]，

[∴x∈0，1]时， [fx

[∴x-1fx>0]，

[∴]当[x∈1，+∞]时， [fx≥f1=0]，

[∴x-1fx≥0]，

[∴][x-1x+1lnx-x+1≥0].

若将不等式左边的式子构造成函数，则函数的单调性难以判断.而原不等式左边的式子为积式，右边的式子为0，所以考虑分别判断左边各因式的符号，于是设[fx=x+1lnx-x+1]，只需让[x-1]与[fx]同号，即可证明结论.而函数f（x）中含有对数式，需分析导函数与0之间的关系，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性证明结论.利用函数的单调性来证明不等式，往往要先根据题意确定函数的定义域，然后判断函数的单调性.

二、反证法

反证法是解答不等式证明题常用的一种方法，它是从问题的反面情况入手，假设结论不成立，然后通过推导得出相矛盾的结论，从而证明不等式成立.

若已知不等式P（x）对于某个定义域内的所有x都成立，采用反证法来证明P（x）的具体步骤如下：

1. 假设P（x）不成立，即存在某个x，使得P（x）不成立；

2. 根据P（x）不成立的条件，构造一个等价的命题Q（x）；

3. 推导出Q（x）的结论，并证明该结论与某个公式、定理、性质相矛盾，从而证明假设错误；

4.得出结论，即P（x）對于定义域内的所有x都成立.

需要注意的是，在使用反证法时，我们必须保证命题的等价性，即Q（x）成立与P（x）不成立是等价的.

化简可得：[a2+b2+c2

而对于任意正实数a，b，c，

[a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac]，

将上述3式相加，

可得[2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac]，

即[a2+b2+c2≥ab+bc+ac]，

这与[a2+b2+c2

通过对以上两种思路进行分析比较，我们可以发现，第一种思路的适用范围较广，且是大家解题时经常用到的，第二种思路通常适用于从正面入手较为困难的不等式证明题.