探究立体几何中的存在性问题

■江苏省高邮市第一中学 陈 丽

立体几何中的存在性探索问题,内涵丰富,立意新颖,形式多变,一直是新高考数学试卷中的一大热点问题。此类问题背景新颖,具有开放性、灵活性、探究性及创新性等特点,无法套用统一的解题模式,同时体现了“开放探索,考查探究精神,开拓展现创新意识的空间”的高考命题指导思想与命题原则,成为高考数学试题中一道亮丽的风景线。

一、点的存在性问题

例1如图1,已知△ABC是边长为3 的等边三角形,E,F分别在边AB,AC上,且AE=AF=2,M为BC边的中点,AM交EF于点O。沿EF将△AEF翻折到△DEF的位置,使得DM=

图1

(1)证明:DO⊥平面EFCB。

(2)若平面EFCB内的直线EN∥平面DOC,且与边BC交于点N。试问:在线段DM上是否存在点P,使得二面角P-EN-B的大小为60°? 若存在,则求出点P;若不存在,请说明理由。

解析:(1)在△DOM中,易得DO=,OM=,而DM=,则DM2=DO2+OM2,故DO⊥OM。又因为AE=AF=2,AB=AC=3,所以EF∥BC。又M为BC边的中点,所以AM⊥BC,所以DO⊥EF。因为OM∩EF=O,OM,EF⊂平面EFCB,所以DO⊥平面EFCB。

(2)连接OC,过E作EN∥OC交BC于N。因为OC⊂平面DOC,EN⊄平面DOC,所以EN∥平面DOC。又OE∥CN,所以四边形OENC为平行四边形,可得OE=NC=1。

图2

由题意知平面ENB的一个法向量为n=(0,0,1),又因为二面角P-EN-B的大小为60°,所 以cos 60°=|cos|=

点评:涉及立体几何中点的存在性的探索与判断问题,往往先假设对应的点存在,借助参数的引入,利用线段的比例关系或向量的线性关系的构建,通过几何法进行分析与推理,或利用向量法进行分析与运算,进而求出对应的参数值是否满足题设背景,从而得以探索与判断点的存在性。

二、参数的存在性问题

例2如图3,在几何体ABCDEF中,平面CDEF⊥平面ABCD,∠EAD=60°,四边形CDEF为矩形。在四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD。

图3

(1)点G在线段BE上,且是否存在实数μ,使得AG∥DF? 若存在,求出μ的值;若不存在,请说明理由。

(2)点P在线段DF上,求直线BP与平面ABE所成角的正弦值的取值范围。

解析:因为四边形CDEF为矩形,所以CD⊥DE。因为平面CDEF⊥平面ABCD,平面CDEF∩平面ABCD=CD,DE⊂平面CDEF,所以DE⊥平面ABCD。

不妨设AB=BC=2AD=2,所以在△ADE中,有DE=ADtan∠EAD=3。

图4

点评:涉及立体几何中参数的存在性的探索与求解问题,往往直接利用对应的参数值的关系式,从几何法或向量法视角切入,结合空间位置关系的判断与推理、空间角的求解与运算等加以分析,进而求解相关参数值,对比题设条件与背景,加以合理探索与求解参数的存在性。

立体几何中的存在性探索问题,往往通过立体几何背景的巧妙设置,判断在某些确定的条件下的某一立体几何对象(位置、图形、数值等)的存在性问题,先假设存在,再利用数学运算或逻辑推理,无矛盾则存在,有矛盾则不存在,可以全面考查考生的空间想象能力与逻辑推理能力,有利于考查考生的数学素质和创新能力,检测考生的学习潜能,具有很好的选拔性与区分度。