例谈圆锥曲线第三定义的应用

李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

平面内，与两定点A,B的斜率之积为非零常数λ(λ≠-1) 的点的轨迹为椭圆(λ<0)或双曲线(λ>0)(不含点A,B)，我们将这个称为椭圆和双曲线的第三定义.反之，设AB是过椭圆(或双曲线)中心的弦，且PA,PB都存在非零斜率kPA,kPB，则kPA·kPB=e2-1(e为离心率).

因为点A，P在椭圆上，

两式相减，得

圆锥曲线中有不少问题是和第三定义相关的，利用好第三定义对于这些问题的求解能够起到很好的简化作用，下面举例说明.

1 利用第三定义求斜率之积

图1

利用这一结论结合椭圆对称性可知

将其代入双曲线方程易得离心率e=4.

易知点Q,M关于原点对称，且kOM=-kMF.

于是k1·k2=kPQ·kOM=-15.

2 第三定义在离心率问题中的应用

分析题中涉及到|k1|+|k2|的最小值问题，考虑基本不等式，自然联想到k1·k2为定值.

解析根据椭圆第三定义有

于是由基本不等式，得

当且仅当|k1|=|k2|时取等号，|k1|+|k2|的最小值为1.

3 第三定义在定点定值问题中的应用

图2

(1)求C2的标准方程；

(2)设点P为C2右支上的一个动点，直线PF1与C1交于A，B两点，直线PF2与C1交于C，D两点，请你探索|AB|-|CD|是否为定值？证明你的结论.

将|AB|表达式中的k1换成k2可得

综上,|AB|-|CD|为定值2.

图3

(1)求E的方程；

观察实施分层护理管理模式前后1年的基础护理合格率、病房管理合格率、专业考核合格率、护理不良事件发生率及患者满意度。其中患者满意度采用调查问卷的方式评价，实施分层护理管理模式前后分别选取100例住院患者作为调查对象，调查内容包括护理人员沟通能力、服务态度、操作水平、健康教育方式方法、心理干预，每项20分，满分100分，81～100分为非常满意、60～80分为基本满意、0～59分为不满意。满意度 =（非常满意+基本满意）/总例数×100%。

(2)证明：直线CD过定点.

①

(m2+9)y2+2mny+n2-9=0,

将此代入①式,得

4 第三定义在最值问题中的应用

(1)求椭圆Γ的方程;

(2)设∠ACB=θ，△ABC与△CMN的外接圆的半径分别为R1和R2，在△ABC与△CMN中分别利用正弦定理，得

由题意，直线AC的方程为y=k(x+2)，

令x=4,得M(4,6k).

5 第三定义在共线问题中的应用

图4

解析设直线AT:y=k(x+a)，令x=a,得S(a,2ak).

若O，M，S三点共线，则OS⊥BT.