情境感知生概念，探究实践成定理

毛群芳

［摘  要］ 圆周角章节内容教学要注重知识的整体性，引导学生学习概念、探究性质，掌握应用思路. 实际教学中教师需充分将数学知识、逻辑关系与实践操作相结合，让学生掌握教学重难点的同时，获得综合能力的提升.

［关键词］ 圆周角；探究；思维；定理；推理；实践

圆周角知识是初中数学的重要内容，是在学习了圆、圆心角的基本概念、性质基础上对圆的进一步探究. 圆周角的相关知识在圆类问题中有着广泛的应用，也是与其他平面图形建立联系的纽带. 关于圆周角的知识探究，研究者建议关注学生思维能力，开展实践探究，构建整体性的教学流程. 本文基于教学重点，探究思考圆周角的知识教学策略.

情境感知，操作升华

学生对圆周角相对较为陌生，教学中教师可借助生活情境入手，引导学生初步感知概念，同时结合实践操作，让学生发现圆周角的规律. 故教学初始阶段，笔者建议设计两个引入环节，具体如下.

环节1：情境感知

展示足球射门图（如图1），球员甲带球向对方球门PQ进攻，此时同伴乙到达B处，就有两种射门选择：一是甲在点A直接射门；二是传给点B的同伴乙，由乙射门.

教学中教师引导学生从几何角大小的视角进行思考，即引出点A和点B分别对球门PQ的张角，思考射中球门的难易程度与∠PAQ和∠PBQ的大小的关系.

实际教学中可在圆中绘制多样的角，如图2所示，引导学生重点关注∠ADB的特点，先回顾圆心角的概念，思考该角是否为圆心角；然后给出圆周角的概念，让学生初步感知其内涵. 而对于圆周角的概念教学，要引导学生关注概念的两个关键点：一是角的顶点位于圆上，二是两边均与圆相交.

环节2：操作升华

该环节中引导学生实际操作，绘制固定圆的圆心角，然后画同弧所对的圆周角，并设置如下问题链，引导学生思考.

设问1：同弧所对的圆周角可以绘制多少个？

设问2：请用量角器来量一下这些圆周角和圆心角的度数，有什么发现？

教学中指导学生进行操作实践. 如图3所示，在圆上取一点C，改变点C的位置，引导学生分析∠ACB的角度变化，思考∠ACB与∠AOB的大小关系.

上述采用情境与操作相结合的教学方式，引导学生辨析圆周角的定义，实践探索圆周角与圆心角的大小关系. 整个过程精设环节，调动学生思维，从整体角度完成概念感知与辨析.

探究实验，定理归纳

圆周角的性质定理是教学的重点内容，对于性质定理的教学，教师不能简单地直接给出定理，而应循序引导，让学生参与课堂教学，逐步形成认识. 故建议采用实践探究的方式，引导学生体验完整的探究过程，通过实践操作、思考推理、讨论总结的方式深刻理解定理.

探究中需要引导学生掌握同弧所对圆周角和圆心角的大小关系，实际探究可从角度的一般性入手，具体分析不同位置关系下的对应情况. 探究实验分设多个活动，引导学生思考.

活动1：实践操作，测量感知

让学生绘制同一条弧所对的圆周角和圆心角的不同情形：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部.如图4.

让学生使用量角器分别测量以上不同位置情况下圆周角和圆心角的度数，初步感知二者的大小关系.

活动2：动态观察，关系确定

量角器测量角度会存在一定的误差，教学中教师可借助多媒体，动态展示同弧所对圆周角和圆心角的位置关系，以及它们对应的角度的大小关系，如图5所示.

展示过程中，改变点C在圆上的位置，同时展示∠ACB和∠AOB的大小. 分多种情形暂停动态图，让学生计算两角的大小关系，引导学生得出：同弧所对的圆周角与圆心角，无论圆周角的顶点在圆上如何移动，圆周角与圆心角的比值始终为1/2.

完成同弧所对圆周角和圆心角的大小关系探究，可进一步引导学生将猜想拓展到任意一条弧上，思考任意一条弧所对圆周角和圆心角的大小关系. 探究活动后，引导学生做出如下两点猜想.

猜想①：顶点位于圆上，角的两边均与圆相交的角就为圆周角；

猜想②：观察、计算、推理可猜想同弧或等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半.

活动3：数理证明，总结归纳

本环节主要是从数理角度进行探究验证，故需要通过数学推理的方式来加以证明，证明过程关注角的位置关系，分别加以证明推理，同时注重几何语言的表述. 数理证明中呈现如图6所示的三种情形.

针对其中的情形（1），由已知出发进行角度关系推理，具体如下：因为OA＝OC，所以∠A＝∠C. 又因为∠BOC＝∠A＋∠C，所以∠BOC＝2∠A.

在此基础上，引导学生利用基本图形对应的结论来探究当圆心位于圆周角的内部和外部的情形，教学中让学生采用语言转化的方式探究，即用几何语言呈现推理，用文字语言描述过程. 培养学生的数学表达能力.

定理拓展，探究推理

圆周角定理教学需要关注对应的推理，立足定理开展推论探究，让学生全面地认识圆周角定理. 探究教學同样应避免直接给出推论，可采用辨析思考和动态呈现的方式，具体如下.

作图实践：请在圆上任意作一圆周角，分小组讨论，观察各自所作圆周角的大小是否一致.

思考：结合组内同学所作的圆周角，思考圆周角的大小范围是多少.

推论探究1：构建圆周角90°时与对应弦为圆的直径关系

引导设问：圆周角的大小能否为90°？若为90°，90°角所对弦与圆的直径之间有什么关系？

学生通过作图观察可初步确定圆周角的取值范围，对90°圆周角所对弦与圆的直径的关系有了基本的了解，此时可以借助多媒体展示. 即对于圆周角∠ACB，改变点B和点C的位置，使∠AOB为平角，如图7所示，让学生关注A，O，B三点的位置关系.

设问①：A，O，B三点是否共线？若共线，此时弦AB是圆的什么？

设问②：此时∠ACB形成了什么特殊角？请用文字概括结论.

教学中教师应引导学生构建弦AB为直径和圆周角∠ACB为直角的对应关系，让学生双向思考定理是否成立，即由弦AB为圆的直径推导圆周角∠ACB=90°，再由圆周角∠ACB=90°推导弦AB为圆的直径.

推论探究2：同弧或等弧所对圆周角的大小关系

由上述实践探究，学生已经掌握同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，而在实际作图中可以发现圆中同弧可作无数个圆周角. 教学中可利用直观图象，进一步引导学生感知同弧或等弧所对圆周角的大小关系.

如图8所示，在圆上引入点D，构建弧BC所对的圆周角∠BDC，让学生观察∠BDC和∠BAC的关系，引导时从所对弧和角度大小两个方面进行分析. 角度大小可借助量角器，对应弧则让学生回顾相关概念.

而在实际验证时借助弧BC对应的圆心角，采用间接推理的方式. 即∠BDC=1/2∠BOC，∠BAC=1/2∠BOC，从而可得∠BDC=∠BAC. 教学过程注意角度的特殊性与一般性，同时构建90°和45°角的圆周角，让学生全方位地分析探索问题.

应用提升，“四能”培养

通过上述实践探究，学生已基本掌握了圆周角的定理和相关推论. 而实际教学不仅局限于定理讲解，还应引导学生开展应用探究. 应用探究教学中，要注重学生的思维培养，帮助学生积累经验，提升学生的“四能”——即发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力及解决问题的能力.

圆周角应用探究的问题设计从两个方面来开展：一是根据圆周角定理来推导角度关系，二是根据圆周角定理来解决综合性问题. 根据上述分析，教学时教师设计了如下两个经典探究题.

探究题1：如图9所示，A，B，C，D四点位于同一圆上，四边形ABCD的对角线将四边形的4个内角分为8个角，这些角有哪些是相等的？

教学引导：对于上述问题，教学中要引导学生回顾圆周角定理中关于同弧或等弧所对的圆周角相等，故可根据圆中的四条弧来推导等角. 首先引导学生提取同弧或等弧，再推导对应的圆周角.

弧AB→∠5=∠8；弧BC→∠2=∠7；

弧CD→∠1=∠4；弧AD→∠3=∠6.

探究题2：如图10所示，⊙O的直径AB为10 cm，AC的长为6 cm，∠ACB的平分线与⊙O的交点为D，试求BC，AD，BD的长.

教学引导：上述为几何综合题，教学中教师需要引导学生关注以下三点，一是能否根据圆周角定理推得△ABC和△ABD为直角三角形；二是求线段长时，能否将其放置在三角形中；三是能否利用圆周角相等推得弧AD与弧BD相等，进而推导出AD=BD.

应用探究过程可将新旧知识进行整合关联，构建知识体系. 而在教學引导过程中教师要注重思维引导，要使学生掌握思路构建的原理. 同时培养学生的数学思想、数学方法、数学能力，以及对数学的积极情感.

总结

总之，概念与性质探究教学中，教师要把握知识重点，将抽象的数学知识情境化，增强操作性，将数学理论与实践相结合、数学逻辑与现实生活相结合，采用知识探究的方式进行教学引导，最大化地调动学生的思维，提升学生的综合能力.