初中数学教学中数学抽象的理解与实践

陈金生

［摘  要］ 教师要想让学生学会用数学的眼光观察现实世界，就必须对数学抽象这一概念形成正确的理论理解，并对实践的正确途径做出探究. 教师进行数学抽象的教学，要立足于学生的经验和认知特点，要让学生经历一个相对丰满的数学抽象过程，这样才能让学生在建构数学知识的过程中形成数学眼光，并且将数学眼光进一步应用于后续的数学知识学习中. 数学抽象有两个端点：前一个端点是学生所能感知的现实世界，后一个端点是数学语言所描述的现实世界. 如果两个端点以及中间的过程是科学的，那么数学抽象对于学生来说便是一种丰富的体验，能够让学生在学习的过程中充分参与，进而获得数学抽象素养的培养.

［关键词］ 初中数学；数学抽象；理解；实践

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）发布之前，初中数学教师在理解数学学科核心素养的时候，借鉴的是高中阶段的相关表述，其中提及数学学科核心素养组成要素的时候，明确第一要素就是数学抽象. 在新课标颁布之后，可以发现其中并没有数学抽象这样的明确提法，只是强调要用数学的眼光观察现实世界. 实际上，用数学的眼光观察现实世界，指的就是数学抽象，只不过这种说法对初中学生而言，有着更多的失去性. 站在数学的角度看数学抽象，可以认为数学抽象是从空间形式与数量关系中得到数学研究对象的思维过程. 这样一个过程，即使在核心素养没有明确提出之前，在初中数学教学当中就已经有着充分的体现. 而在明确了数学学科核心素养的组成要素之后，数学抽象有了更加独立的地位，当然也有了更加重要的地位. 教师要想让学生学会用数学的眼光观察现实世界，就必须借助数学抽象这一概念来形成正确的理论理解，以及付诸实践.

初中数学教学中数学抽象的理解

初中数学教师都知道数学是研究数与形的学科，在这一表述当中，数与形是两个抽象的概念. 也就是说数学的研究对象并不是现实世界中的实际物体，而是在对现实世界中的实际物体进行抽象之后，所获得的与数或形相关的对象. 对数学研究者以及数学教师而言，日常的工作中对数与形已有了充分的加工，这种由先天释放机制形成的熟悉感，容易让教师忽视学生在学习数学时可能遇到的陌生感. 众所周知，初中阶段学生的思维特点在于形象思维与抽象思维并重，且正由形象思维向抽象思维转化［1］. 这个转化过程中学生会遇到诸多困难，很多时候学生难以自主解决这些困难，这就造成了数学学习的诸多挑战——通过研究可以发现很多挑战都出现在数学抽象的过程中，但是如果教师忽视了数学抽象的复杂性及其对学生学习产生的障碍，教师的教与学生的学之间就会出现脱节. 因此，一个称职的初中数学教师一定会高度重视数学抽象过程的教学，而其前提就是对数学抽象必须有正确的理解.

这里所说的数学抽象理解，应当是站在学生角度的理解. 以“全等形”“全等三角形”相关知识的学习为例，虽然学生在生活中肯定会有“两个物体一模一样”的经验性认识（当然这里要防止哲学意义上的“世界上没有一模一样的物体”的判断干扰，关于这一话题，这里不再赘述），但是他们在生活当中也很难用数学的眼光去看待这些问题. 那么“全等形”这一知识的教学，实际上就是引导学生用数学的眼光去看生活中“一模一样的物体”. 从“一模一样的物体”到“全等形”之间的距离的判断，是“全等形”教学中完成数学抽象的关键.

换句话说，只有站在学生的角度去思考“如果面前出现两个一模一样的物体，如何建立‘全等形概念呢”这一问题，尤其是重视学生在思考这一问题时可能会有哪些具体的想法，才能将学生的思维去逐步抽丝剥茧，并最终让其获得数学意义上的“全等形”概念. 这样的教学思路相对于传统的教学思路或某些版本的教材编写而言，更贴近学生的学习实际，更有助于将学生的学习出发点锚定在生活上，将学生的学习落脚点锚定在数学上. 有些教材是直接给学生两幅相同的图片，然后告訴他们“像这样能够完全重合的两个图形叫做‘全等形”. 如果教师按照这种思路去教学，实际上学生所经历的只是一个被动获得知识的过程，并不利于对数学抽象素养的培养.

所以综合来看，关于数学抽象的教学，要立足于学生的经验和认知特点，要让学生经历一个相对完整的数学抽象过程，这样才能让学生在建构数学知识的过程中形成数学思维，并且将数学思维进一步应用于后续的数学知识学习中.

初中数学教学中数学抽象的实践

实际上数学抽象有两个端点：前一个端点是学生所能感知的现实世界，后一个端点是数学语言所描述的现实世界. 要让学生的数学抽象过程更完整，很大程度上取决于教师的教学思路以及实践途径. 有研究者认为，初中数学抽象的培养关键点包括：情境创设，即从生活情境走向数学情境；深度学习，即从循环类比走向结构生成；实践体验，即从系统关联走向综合解决［2］. 这样的判断明确指出了数学抽象的出发点与落脚点，而且强调了数学抽象应有的思维过程，事实证明，如果两个端点以及中间的过程是科学的，那么数学抽象对于学生来说便是一个良好的体验，能够让学生在学习的过程中充分参与，进而获得数学抽象素养的培养.

以上面所说的“全等形”概念教学为例. 将教学的出发点从课本上给出的两个相同的平面图形，前移到学生生活中两个相同的物体，这样做最大的好处就是学生的认知出发点为自身的生活经验. 教学的时候，教师可以直接让学生举出相关的例子. 在学生举出相关例子之后，教师可以反问一个问题：你如何判断这两个物体是一模一样的？提出这个问题的目的，不在于让学生说出统一的答案，而在于驱动学生对自己所举的例子进行深度思考，同时也可以为数学抽象的培养打下基础. 学生在思考的时候，思维必然会加工自己所举例子中的那些物体，这个时候学生很容易形成“对应”和“相同、一样”等认识，连起来说就是“两个一模一样的物体对应的部位是相同的”——这是学生在学习过程中所进行的描述. 这一描述中的“相同”在教师的意料之内，而“对应”则在教师的意料之外. 要知道在后续证明三角形全等的时候，特别强调的一点就是“对应”，事实上也通常是在这个时候，教师才会强调“对应”的重要性. 但是通过以上的教学设计与实施可以发现，当学生有充分的数学抽象空间的时候，“全等形”所强调的“对应”可以提前出现，这很显然非常有助于学生后续学习全等三角形性质及判定知识.

其后，教师可以引导学生进一步进行简化，将学生所举例子中的立体图形分成一类、平面图形分成另一类. 学生很容易发现，如果研究对象是平面图形，学习起来相对简单. 于是学生就会遵循由易到难的原则去学习——这种原则认识对于学生学习品质的提升来说也是有意义的. 由于前面已经有了相对深度的学习过程，因此当学生的观察对象变成两个一模一样的平面图形时，他们会有轻车熟路之感，让他们总结这些图形的规律，很多学生也会想到“重合”这个关键词. 这时，只要教师稍加点拨，“完全重合”就会成为学生能够自然接受的认识.

初中数学教学中数学抽象的反思

通过上面的例子可以得出的一个基本结论：初中数学教学中的数学抽象教学，目的在于发展学生的数学抽象素养，在于培养学生的数学眼光.

数学眼光显然不是天然形成的，只有经历了相对系统的数学抽象训练，让学生养成看待现实世界中的相关事物时带着数学的意识，然后借助自己所学过的数学知识去加工这些实际物体，那么学生在现实世界当中，才有可能从数学的角度去对这些实际事物进行思考与判断.

从这个角度来看，数学眼光的培养是初中数学教学中数学抽象素养培养的通俗表达. 教师一定要站在学生的角度洞察学生的认知基础及生活经验，知道怎样借助学生经验系统中的素材来创设情境，知道怎样基于学生的认知特点去设计问题，以让学生经历一个完整的数学抽象过程. 大量的教学实践经验表明，当学生经历了这些过程之后，數学眼光就会慢慢被培养. 学生在现实世界中遇到相关问题的时候，就会自然而然地从数学的角度给出或多或少的解释与判断，这也就意味着数学抽象的种子已经种下，并且处于生长的状态. 如此长期坚持，数学抽象素养的养成目标就会真正实现.

通过上面的分析可以发现，教师在初中数学教学中落实数学抽象素养，需要基于学生视角的正确理解. 如果能够做到这一点，那么数学抽象素养的落地，以及通过数学抽象素养的培养带动其他数学学科核心素养组成要素的落地，就会在课堂上成为现实.

参考文献：

［1］ 张本陆. 谈初中数学教学中如何培养学生的抽象思维能力：以“变量与函数”的教学为例［J］. 数学教学通讯，2014（01）：9-10.

［2］ 吴小兵. 初中数学抽象的要义与培养关键点［J］. 教学与管理，2021（07）：39-41.