关注课题学习 提升综合素养

林莉君

［摘  要］ 课题学习有利于拓展学生的知识面，有利于提升学生解决问题的能力，有利于提升学生的综合应用能力，其在教学中具有重要的現实意义，值得一线教师给予深度关注. 文章以“怎样选择较优方案”为例，通过巧设问题引导学生进行探究性学习，培养学生善于发现、乐于思考、敢于探究、勇于创新的良好学习习惯，促进学生数学分析及应用能力的全面提升.

［关键词］ 课题学习；巧设问题；全面提升；探究创新

随着时代的进步，当前社会越来越需要具有创新精神的研究性人才，数学教师应肩负起培养研究性人才的重任. 为了更好地培养研究性人才，初中数学教材中安排了许多课题学习，其以数学活动为载体，通过让学生独立思考、合作探究来培养和发展学生敏锐的观察力、丰富的想象力、严谨的思维力和强大的创造力，进而让学生具备主动发现问题和解决问题的能力. 不过在实际教学中，因课题学习耗时耗力，且对于提高学生的学习成绩没有显著的作用，并未引起教师的重视，通常情况下教师以课后作业的形式安排学生对课题学习内容进行课后阅读. 因为教师的不重视，自然难以引起学生的重视，有些学生会按照教师的要求进行粗略的阅读，有些学生甚至不予理睬，这样课题学习的价值难以体现，违背了课题设计者的初衷. 要知道，课题学习可以帮助学生了解数学的发展史、了解更多的奇闻轶事，这样不仅可以拓展学生的知识面，而且可以提高学生分析和解决问题的能力，并使学生在分析和解决问题的过程中，领悟数学的应用价值，逐渐形成正确的价值观. 为此，教师应对课题学习给予足够的重视并进行深入的探讨和研究，进而将知识、技能、过程、方法、情感、价值观更好地结合起来，从而取得更好的教学效果.

下面，笔者结合“怎样选择较优方案”教学实录，谈谈一些自己对课题学习的认识，以期能够引起同行对课题学习的重视，若有不足请指正！

教学实录

1. 借助故事，引入新知

师：田忌赛马的故事，大家还记得吗？

生（齐）：记得.

师：这个故事大家应该耳熟能详，老师在这里就不再重复了，对于这个比赛你有什么感想呢？

生1：在生活中应善于观察和思考，善于从全局的角度去分析和解决问题，努力寻找一个最优解决方案.

师：说得很好，就在大家都认为这个比赛毫无胜算的情况下，聪明的田忌选择了一个最优方案，最后赢得了比赛. “怎样选择较优方案”就是我们需要研究的课题.

设计意图 借助学生熟悉的故事让学生体会“较优方案”在实际生活中的意义，进而激发学生对新知的探究热情.

2. 借助问题，探寻方法

师：大家有没有选择话费套餐的经历呢？

生（齐）：有.

师：好的，现在我们一起来看下面这个问题. （教师PPT展示问题）

例1 如图1是甲通信公司推出的两种话费套餐的通话费用y关于通话时间x的函数图象. 根据图象回答下列问题.

（1）A点的坐标是多少？表示什么实际意义？

（2）交点B的坐标是多少？表示什么实际意义？

（3）结合图象说一说，在何种情况下选择什么套餐为最优方案？

生2：A点的坐标为（0，50），表示通话0分钟，通话费用50元.

师：为什么没有通话还要交付50元的费用呢？

生3：50元是月租费，无论是否消费都需要交付.

师：说得很好，那么第（2）问谁来回答？

生4：交点B的坐标是（250，150），表示当通话时间为250分钟时，两种方案所要支付的话费相同，都为150元.

师：说得很好，表述准确. 第（3）问呢？

生5：根据图象可知，当通话时间x满足0≤x<250时，应选择方案一；当通话时间x满足x>250时，应选择方案二；当通话时间x=250时，两种方案任选其一.

师：同学们观察得非常仔细，说得很好，借助图象很快找到了最优方案.

设计意图 将实际生活与函数图象相结合，在培养学生观察力的同时，让学生体会到图象的直观性和快捷性，为后面的学习做好铺垫.

3. 合作探究，挖掘本质

例2 乙通信公司提供了A，B两种套餐供选择，收费标准如表1所示.

如果在A，B两种套餐中任选一种，你会如何选？

问题给出后，为了便于学生理解，便于课堂生成，教师做了如下引导.

师：你认为人们在选择套餐时，根据的是什么？

生（齐）：省钱.

师：很好，那么在相同服务质量下，价格最低也就是最优方案.

师：分析表1，你知道每月所付的话费金额包括哪几部分吗？

生6：基本服务费和超出免费通话时间后所需要支付的费用.

师：很好！若设每月的话费为y，通话时间为x，你能将A，B两种套餐转化为关于y与x的函数关系式吗？（教师让基础较为薄弱的学生回答）

生7：y_Ａ=30+0.4（x－120）=0.4x－18；y_Ｂ=50+0.4（x－200）=0.4x－30.

师：你们认同生7的意见吗？

生8：这样表示不够完整，应为：

师：说得很好，我们在建立函数表达式时，一定不能忽视自变量的取值范围.

设计意图 通过恰当的引导让学生建立函数模型，为后面应用函数图象和函数表达式来寻求最优方案奠定基础. 同时，在函数建模时渗透了分段函数建模思想，引导学生关注自变量的取值范围，理解分段函数的本质.

师：关系式找到了，接下来就要根据通话时间选择最优方案了. 请你给出一个通话时间，并给出对应的最优方案. （教师预留时间让学生举例、探究、交流）

生9：如果通话时间为100分钟，应该选择A套餐.

师：说说你的理由.

生9：因为当x=100时，y_Ａ=30，y_Ｂ=50.

师：好的，你们又是怎么选的？

生10：当通话时间为250分钟时，应选择B套餐.

师：为什么？

生10：因为当x=250时，y_Ａ=82，y_Ｂ=70.

师：很好，若通话时间为一个确定时间，我们可以将通话时间直接代入关系式，进而求得准确值进行比较，从而得到最优方案.

师：那么能否如例1那样，使在某个通话时间内选择两种套餐所支付的费用相同呢？

生11：当x=170时，此时y_Ａ=y_Ｂ，两种套餐所支付的费用相同.

师：你是如何求解的？

生11：我是通过解方程的方式求解的，因为y_Ａ=y_Ｂ，所以0.4x－18=50，解得x=170.

师：哦，那为什么不是0.4x－30=30或0.4x－18=0.4x－30呢？

生11：对于y_Ａ=30（0≤x≤120），y_Ｂ=0.4x－30（x>200），这两个表达式中的自变量没有交集，所以方程0.4x－30=30不成立，而方程0.4x－18=0.4x－30无解.

师：分析得很好，理解得很透彻.

设计意图 通过开放性问题引导学生通过计算函数值来寻找最优方案，体会函数表达式的妙用. 另外通过寻找“相同”，引导学生将方程、函数、不等式相串联，体会三者密不可分的关系，为后面运用函数图象寻找最优方案埋下伏笔.

师：方程法是不是唯一的解决方法呢？还有没有其他办法？

生12：可以用图象法吗？

师：是一个不错的想法，那么如何在同一直角坐标系中画出刚才的两个函数关系式呢？（教师让学生在草稿纸上独立完成图象的绘制，同时巡视）

师：大家画得都很好，我也画了一个图象，你们看一下我们画的是否一致？（教师用PPT展示图2）

设计意图 利用图象的直观性进一步帮助学生理解分段函数的本质，让学生更加轻松、快捷地找到最优方案.

师：从图象上看，当x>200时，两个函数图象好像是平行的？它们是否真的平行呢？

生13：平行的，因为当x>200时，两个解析式中x的系数k都为0.4.

师：很好，如何结合图象来理解方程0.4x－18=0.4x－30无解呢？

生14：因为两条直线互相平行，没有交点，所以无解.

师：很好. 观察图象，当通话时间x符合什么条件时，两种套餐付费的差额为定值？

生15：当通话时间x≤120时，两种套餐付费的差额为定值20元；当通话时间x≥200时，两种套餐付费的差额为定值12元.

师：很好，我们知道当通话时间小于或等于120分钟时，可以直接用B套餐的基本收费金额减去A套餐的基本收费金额，为此得到差额为20元. 那么当通话时间大于或等于200分钟时，你的12元是怎么得的呢？

生15：与刚刚的思路相同，y_Ａ－y_Ｂ=（0.4x－18）－（0.4x－30）=12.

设计意图 这样由k值相同推导出两个函数图象平行，再由图象平行理解方程无解和差额为定值，通过数与形的完美结合，培养了学生的观察能力和分析能力，为后面的拓展应用奠定坚实的基础.

师：结合图象判断当A，B两种套餐付费金额的差为10元时，对应的通话时间有几个？

生16：有2個.

师：你能求出对应的通话时间吗？

生16：当120Ａ－y_Ｂ=50－（0.4x－18）=10，解得x=145；当170Ａ－y_Ｂ=（0.4x－18）－50=10，解得x=195.

设计意图 借助图象的直观性让学生先对结果进行预判，接下来运用方程思想求得准确值，进一步强化学生的数形结合思想.

师：若通话时间是确定的，我们可以通过代值法进行比较，那么若在不确定的情况下，你能结合图象设计一个最优方案吗？

生17：当0≤x<170时，y_ＡＢ，选择A套餐；当x=170时，y_Ａ=y_Ｂ，两种套餐任选其一；当x>170时，y_Ａ>y_Ｂ，应选择B套餐.

师：说得很好，可见在设计最优方案时，利用图象法会更加直接、快捷.

设计意图 让学生在感受“确定”与“不确定”中体验不同方法的优缺点，加深学生对不同方法的理解，便于学生在生活中能够结合实际问题合理设计，以此培养思维的灵活性.

4. 拓展应用，提升能力

师：如表2，若其他条件不变，将A、B两种套餐中超出后的收费标准由“0.4”分别改为“0.3”和“0.5”，思考并回答如下问题：

（1）写出每月话费y与每月通话时间x的函数关系式；

（2）在同一直角坐标系中画出对应的函数图象；

（3）通话时间x为何值时，A，B两种套餐的付费金额相同？

（4）通话时间x满足什么条件时，A，B两种套餐的付费差额为定值？

（5）当A，B两种套餐付费金额的差为10元时，对应的通话时间有几个？

（6）若通话时长不确定，该如何设计一个最优方案？

学生结合刚刚的探究经验，快速地写出了函数的关系式，并在同一直角坐标系中绘制出了对应图象（如图3）.

A，B两种套餐对应的函数关系式为：

设计意图 与例2相比较，此题虽然问题难度略有提升，但基本方法、基本解题思路没有太大变化，符合学生的认知规律，适合学生发展. 通过这样问题重现的方式，在帮助学生巩固所学知识的同时，培养了学生思维的变通性，提高了学生的应变能力.

教学反思

1. 理解教材

本课题内容是在学生学习了一次函数后给出的，是本章内容的一个全面回顾和综合运用的过程，同时也是对一次函数的拓展与延伸. 若在教学中能够合理利用课题内容并进行深度探究，则有利于提升学生的思维能力和解决问题的能力. 因此，本课题内容在教学中具有深远的意义，无论是教师还是学生，都应给予重视.

2. 理解学生

对于初中生，虽然具有一定的分析和解决问题的能力，不过刚刚学习了一次函数就让他们探究分段函数着实具有一定的挑战. 为此，教师要知道学生之所“难”，从而通过恰当的引导，帮助学生厘清问题的来龙去脉，顺利解决问题. 那么本课题到底难在哪里呢？学生首先要理解“为什么要分段讨论”，接着要搞清楚“如何分段讨论”“如何表达”“如何画出函数图象”“如何诠释函数的实际意义”……这些问题与之前所学的一次函数具有一定的关联性，但也有所不同，为此若想解决这些问题，需要师生的共同努力.

3. 理解教学

本节课的教学重点就是引导学生突破难点，教学目标是利用一次函数解决实际生活中“怎样选择较优方案”的问题，让学生的学习能力、思维能力和解决问题的能力能够有所提升. 为了实现这样的教学目标，在教学中教师应做好以下几点：

（1）尊重个性，鼓励质疑

探究性学习需要一个平等的、开放的学生氛围，教师要多鼓励学生表达自己的见解，提出自己的疑问，同时允许学生提出不同的意见，尊重学生个性，促进学生个性化发展，只有这样才能激发学生的探究热情，培养学生的创新意识. 另外，在教学过程中，教师要关注学生的思维发展过程，及时给予科学的评价和点拨，从而实现知识的正向迁移.

（2）发动“群众”，集思广益

因受个体思维定式的影响，若学习时“闭门造车”，往往容易陷入“死胡同”，不利于學生发展，为此在开展探究性学习活动时，教师应多为学生搭建一些合作探究的平台，进而让学生在交流与合作中能够有所收获、有所成长. 如在“建立分段函数模型”时，教师并没有直接给出分段函数模型，而是先让一个基础较为薄弱的学生先回答，从而借助学生所暴露出的问题进行探究和完善，不仅建立起了分段函数模型，而且明晰了分段函数的本质，体会到了自变量取值范围在分段函数中的重要意义.

（3）巧设问题，化难为简

问题是探究的起点，为此在开展探究性学习时，需要结合学生现有的知识，贴合学生的最近发展区，设计一些由浅入深、逐层递进的问题，引导学生积极思考、主动探究，从而突破学习难点. 从本课题教学来看，整个教学过程以“问题”为主线，通过“问题”解决，逐步化解学习难点. 如“结合图象寻找最优方案”时，利用k值相同来理解函数图象互相平行的概念，再利用平行线的概念理解方程无解以及等距，进而利用等距理解差额的定值. 通过这些相互联系、逐层递进的问题链，诱发学生深度思考，突破学习难点.

总之，课题学习是宝贵的教学资源，值得教师和学生去深度探究和挖掘，从而充分发挥课题学习在提升学习能力、发展数学思维等方面的优势，促进学生全面发展.