挖掘重构精设计，设问驱动助生成

潘琪

［摘  要］ “锐角三角函数”是苏科版教材九年级下册的重要内容，衔接了初高中的知识. 教学该内容需要引导学生全面掌握直角三角形边、角的关系，理解三角函数的定义，发现其中的规律. 章节知识跨度较大，教学中教师需要重构教材内容，分析学生实际情况，合理设计教学环节，引导学生深刻理解相关内容.

［关键词］ 锐角；三角函数；概念；规律；思想方法

教材与学情分析

“锐角三角函数”是初中数学的重要内容，将其安排在九年级下册，是为了更好地衔接初高中的知识内容. 初中学段的三角函数是学生后续在高中阶段深入探究三角函数的基礎，因此引导学生掌握三角函数的概念和解直角三角形的方法便显得格外重要.

1. 教材分析

“锐角三角函数”章节内容主要包括两方面：一是锐角三角函数的概念，包括正弦、余弦和正切的概念；二是利用锐角三角函数来解直角三角形. 锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，需要借助直角三角形的三边关系来构建. 教学中教师需要落实四个内容：一是锐角三角函数的概念；二是特殊角的三角函数值；三是根据三角函数值来求解角度；四是解直角三角形的具体方法. 实际教学中教师应立足三大要点：一是基本点，引导学生认识与应用锐角三角函数；二是支撑点，基于勾股定理开展模型构建；三是能力提升点，引导学生掌握图形的组合与转化方法，灵活结合问题构建直角三角形.

2. 学情分析

学生在前面已经学习了函数、四边形、相似三角形和直角三角形等知识，初步掌握了直角三角形的边、角关系，以及基本的函数定义，可以熟练使用勾股定理来解决与三角形相关的问题，同时已经具备了一定的思维能力. 这些知识与能力为学生探究锐角三角函数奠定了基础，因此教学中教师可以合理使用知识探究的方式来引导学生开展锐角三角函数的概念学习.

锐角三角函数是学生初次接触这类函数，显然不易理解其概念，也不能想到任意锐角的三角函数. 另外学生也不理解三角函数值与直角三角形的三边关系. 教学中教师应引导学生逐步探究，通过比较、分析来得出结论.

基于上述教材分析与学情分析，教学时教师要遵循学生的认知规律，采用知识探究的方式实施教学. 对此，提出以下两点教学建议.

建议1：从学生的认知水平出发，实施概念教学，引导学生通过类比思考获得新知. 如在学生掌握了函数、坐标系、直角三角形等知识点的基础上，通过研究旧知的方式引出新知.

建议2：遵循学生的认知规律，合理设计探究环节，利用科学的方法循序引导. 建议设计如下环节：引出新知→定义概念→探寻规律.

设计与引导探究

通过分析“锐角三角函数”的教材内容和学生学情，明确了章节教学的重点，并构建了教学主线. 下面基于上述分析开展教学设计.

教学环节1——情境设计，引出新知

教学初始可创设问题情境，以引导学生自主探究. 问题要立足直角三角形，立足学生认知的起点.

设计如下问题：如图1所示，某县为了绿化一座荒山，准备从位于山脚下的机井房A点处沿着山坡铺设浇灌水道，并在山坡上修建一座水站，对坡面的草地进行喷灌. 现测得斜坡与水平面所成的角为30°，为了使出水口与地面的高度差为35 m，试问需要准备多长的水管？

教学中引导学生基于实例构建模型. 如图1所示，显然∠BAC=30°，BC=35 m，求AB的长度，引导学生利用三角形的性质来求解. 在此基础上进行问题变式，设定出水口的高度为50 m，进一步探究所需水管的长度. 让学生通过解决实际问题，深刻感知直角三角形中30°角所对边与直角边的比值不变的规律.

教学环节2——表示两边比，生成概念

在环节1的基础上，设定两边比，生成锐角三角函数的概念. 共分两个阶段：一是重新设计几何问题，利用特殊的直角三角形，引导学生由已知特殊角和三角形一边，求三角形的边、角未知量，并探寻其中的规律；二是明确两边比的表示，生成概念.

（1）设计问题

如图2所示，两个三角形均为直角三角形，已知图中所示条件，求三角形另外未知的边和角.

教学中教师引导学生利用三角形的特性、内角和定理，勾股定理等已掌握的知识来推导，同时让学生关注含特殊角度的直角三角形中三边之间的关系. 教师以等腰直角三角形为例，变更等腰直角三角形的腰长，让学生分析腰的长度变化与两腰的比值变化规律.

引出如图3所示的平面直角坐标系，OM是由原点O引出的一条经过第一象限的射线，射线OM与x轴正半轴的夹角为α，NP⊥x轴，思考当P为射线OM上任意一点时，NP与ON的比值是否一致. 在射线OM上多次取点，让学生通过测量的方式来求NP与ON的长，进而求NP与ON的比值，引出锐角α的正切来定义上述比值的相等关系.

（2）表示方法

在上述探究的基础上开展两边之比的方法教学，生成锐角三角函数的概念. 教学中教师针对正弦、余弦、正切三大概念，借助直角三角形依次用直角三角形的边长比值来表示，生成概念.

教学环节3——特殊到一般，探寻变化规律

锐角三角函数中隐含了一定的规律，完成概念定义后建议采用从“特殊”到“一般”的方式深入探究规律. 探究过程同样分两个阶段：第一阶段，特殊角的锐角三角函数梳理；第二阶段，动态演示角度与两边比值之间的变化规律.

第一阶段，利用特殊直角三角形的两边之比，得出相应的锐角三角函数的比值，梳理特殊角的正弦、余弦、正切，完成表1.

第二阶段，将直角三角形一般化，探寻当∠A取其他一般角度时，对应的正弦、余弦和正切值是否发生变化. 教学中使用几何画板来进行研究，展示图5所示的“单位圆”，探究直角三角形的三角函数值的变化规律.

教学中从两个方向进行引导：一是改变∠A的大小，让学生观察三角函数对应边长与比值的变化，发现其中“变”的规律；二是∠A的大小不变，改变AB的长度，从而改变Rt△ABC的大小，让学生再次观察对应三角函数的边长比值变化，发现其中“不变”的规律.

教学与设计思考

“锐角三角函数”的知识内容较为特殊，既涉及几何知识，又包含代数知识（函数），是三角函数体系中的重要内容，对于拓展学生的数学思维极为有利. 教学中教师要合理整合教材，围绕重点知识设计教学环节，引导学生逐层探究，让知识自然生成，同时充分渗透数学思想，提升学生的综合素养. 对此，下面提出几点建议.

1. 有效整合教材，完成知識重构

教材是课堂教学的主要依据，但教学中不必完全照搬教材，不必完全按照教材的内容编排顺序来设计教学活动，而应有效整合教材，对知识进行重构. 在整合教材、重构知识的过程中，要把握教学重点，准确把握学生的知识起点，遵循学生的认知规律. 如“锐角三角函数”的教学中，教学重点是锐角三角函数的定义，研究重点是直角三角形中“锐角”与“两边之比”的对应关系，因此课堂教学需要充分依托直角三角形的性质完成知识探究. 同时利用直角三角形的边长之比来梳理正弦、余弦和正切的概念，完成定义区分.

2. 合理设问引导，驱动知识生成

开放的课堂有助于拓展学生的思维，让学生更好地融入课堂，让知识自然生成，这就要求教师在课堂教学中合理设计教学环节，引导学生思考. 在“锐角三角函数”的教学中，笔者建议采用情境导入、问题引导探究的方式，根据学生已掌握的直角三角形相关知识，让学生自主测量、计算，进而发现其中的规律. 针对探索中出现的不同情况，引导学生进行小组讨论，开展互动交流合作，利用学生的生成性资源来驱动课堂. 教学中教师注意巧设问题，利用指向性问题把握教学方向.

3. 渗透数学思想，提升学生素养

“锐角三角函数”的教学有两大重点：一是三角函数的概念，二是发现其中的规律. 实际教学中教师不仅要完成知识讲授，还要合理渗透数学思想，尤其是类比思想和“特殊”到“一般”的思想. 在概念教学中讲授了正弦定理后，教师要渗透类比思想，让学生通过类比正弦来定义余弦和正切；而在规律探究中，教师要渗透“特殊”到“一般”的思想，先总结常见的特殊角度的三角函数，然后引入动态画板，演示一般角的变化，从而完成从特殊角规律的梳理到一般角规律的发现. 整个教学过程中，教师充分挖掘数学思想的内涵，引导学生亲身感悟，逐步提升学生的数学素养.