让数列放缩落地生根——对2022年浙江省数学高考第10题的研究

董昊雷

(镇海中学，浙江 宁波 315200)

深度学习是一种新的教学模式.与浅层次的学习相比，它更注重知识的本质，提倡创新的建构，更能培养高阶的思维、发展学生的数学核心素养．在数学解题教学中，不能只是低层次地重复训练，而是要达到“解一题，懂一法，会一类，通一片”的目标[1]．下面，笔者以2022年浙江省数学高考第10题为例，谈谈如何在解题教学中实施深度学习．

1 高考题的引入：深度学习的准备

1.1 问题呈现

( )

(2022年浙江省数学高考试题第10题)

图1

1.2 解法呈现

根据以往经验，由递推关系确定通项，可以用蛛网图定性分析(如图1)，得到an的范围：0

由上述分析可知0

(1)

累加得

即

亦即

100a100<3，

右侧不等式得证．

所以

即

故选B．

2 问题链的构建：深度学习的实践

作为教师，一方面我们需要思考如何处理高考试题才能充分发挥其价值；另一方面我们还要思考如何让学生从被动学习到主动学习．如果单纯地将解题过程和结果灌输给学生，再通过大量的练习、变式等让学生进行机械地训练，这样的被动学习效果事倍功半.教师应让学生在解决问题的过程中把遇到的难点挖掘出来，并寻找难点背后的本质，这样的主动学习才能事半功倍．而问题链的引入可以较好地解决这个问题，正所谓“学习来源于思考而思考又由问题产生”．问题链不仅可以作为脚手架帮助学生突破难点，从而获得较高水平的数学知识，还能发散学生的思维，构建、完善认知体系．与此同时，学生通过问题链提炼本质的过程中还能获得数学方法、领悟数学思想、发展核心素养．

根据上述的指导思想，本文设计的问题来源于对高考试题的分析，而这些设计的问题既可以作为脚手架帮助学生逐个突破难点，又可以通过深入剖析挖掘此高考题的本质．具体来说本文设计的问题如下：

1)能否将此问题与教材中的等差、等比数列进行联系？

下面将对这3个问题逐个进行分析并给出解答．

2.1 回归思维起点

问题1)的目的是寻找高考题的落脚点，挖掘高考题背后的主要知识体系．教师在解题教学中不应另起炉灶“发明”新的结论“创造”新的方法[2]，接着通过大量的练习或变式强化这一方法，这样做与深度学习背道而驰．深度学习是让学生联系已有的知识，尤其是课本中的知识，利用已有的知识储备解决一些具有挑战性的问题，让学生明白高考题来源于课本又高于课本．而例1就可以利用课本中等差数列的定义与性质解决，具体思路如下．

当an+1-an=d(其中d为常数)时，数列{an}为等差数列，同时可以用累加法得到通项公式an=a1+(n-1)d．若d是一个变化的量dn，则{an}就不是等差数列了，姑且把它叫做“类等差数列”．直接对“类等差数列”累加求和是没有意义的，但如果限制dn的范围，再累加求和即可以得到an的范围，问题就会有所突破．例1将递推式取倒数变形得到

从而

2.2 获得方法模型

设置问题2)不仅提出了解决例1的难点，更是通过深入剖析问题得到了解决一类题的方法模型，即该问题的范式，这就是所谓的“会一类，通一片”．在教学中，我们会发现这一步的代入限制范围并不容易．若将此步骤直接告诉学生，让学生模仿并记住，那就是所谓的浅层次学习.深度学习则是让学生在剖析“为什么”的过程中发现“利用an的范围限制dn的范围，从而累加进一步缩小an的范围，再限制dn的范围，缩小an的范围……”.这一过程，图示如下:

上述的方法模型可以让学生探索并自行归纳.此类范式不仅可以用于“类等差”数列，也可以用于“类等比”数列．

2.3 探寻问题本质

设置问题3)的目的是希望通过进一步的研究,对此问题有一个更深入的认识，同时也可以让学有余力的学生通过深入研究后得到更高阶的知识，从更高的视角审视问题的本质．在教学中，我们发现递推关系的变形有很多种，如何选择就显得至关重要．代数的变形并不是凭经验、凭记忆的，而是有它的理论依据.斯托尔茨定理就告诉我们“该选择哪一种变形方式，朝着哪个目标变形”，同时这样的变形也为后续的放缩做了铺垫，因此这是一个较高层次的整体把握．

斯托尔茨定理：

①{bn}严格单调递增;

其中L可为有限数，也可为+∞,-∞．

①{bn}严格单调递减且趋于0;

其中L可为有限数，也可为+∞,-∞．

此定理可以用于数列阶的估计．回到例1，由于{an}单调递减，且an→0,设an～αnβ，那么

从而

即

3 多维度的理解：深度学习的应用

深度不应局限于单一的数学知识与技巧，应该让学生从“知道如何思考”到“学会思维”，也就是说要把握好深度学习的基本途径，让深度学习变成一种学习的能力．作为教师,我们不但要联想和本题相关联的模型，对比其相同点和不同点，还要思考能否应用或迁移所学的知识，将其用于其他的有挑战性的问题中．我们知道深度学习能做到“研一题，通一类”，也就是说本例的解决不仅有助于解决此类“类等差数列”或“类等比数列”的问题，还能作为一种活动经验的积累去研究其他有价值的问题．

有了研究例1的经验，可以较快地解决例2：

( )

解由题意可得

因为

即

从而

于是

进而

故选A．

同时我们发现如果对例1有充分的研究，那么例2也就不难解决．因此，这两个例题都能作为较好的载体帮助学生体会其中的思想方法，同时在分析问题、研究问题、解决问题的过程中发展数学核心素养．

最后从教学评价来看，笔者通过深入讲解例2，学生在解决例1时就非常得心应手，据统计有一半以上的学生能较顺利地解决例1．