大范围运动悬臂梁理论模态计算与数值仿真＊

李晨曦，王云海，丛 伟，陈 锋

（山东交通学院航空学院，山东 济南 300357）

飞行器运动过程中气动力引起结构变形，结构变形诱发附加气动力效应，构成了广为人知的气动弹性耦合系统[1]。若结构子系统是线性的，利用模态叠加法求系统的响应无疑是最佳的方案[2]，其前提是获得结构自由振动条件下的模态数据（频率和模态振型）。但有时，需要先行确认结构子系统受力之后的平衡位置，然后再做模态分析[3]。

经典的悬臂梁模型[4]，如伯努利-欧拉梁，是基于四阶偏微分方程的数学模型，不足以描述真实的飞行器机翼运动状态。本文拟以平面内大范围运动的悬臂梁模型[5]为研究对象，基于理论和数值仿真的方法研究其垂直平面内的运动模态。拓展后的梁模型可模拟出机翼根部的角位移以及飞行器整体沉浮运动带动机翼结构产生的位移。为此，首先建立全局坐标系和局部坐标系。然后，基于哈密顿原理构建结构运动方程，以理论推导的方式完成大范围平面运动梁模型的模态计算。同时基于ANSYS 仿真软件，讨论了三维空间运动形式下的悬臂梁模态计算，以及施加摆动方向零位移约束后的悬臂梁模态计算（垂直平面内的二维模态计算）。最后，讨论了拓展梁模型的理论模态结果和基于数值仿真计算的模态结果之间的差异，提出了建议。

1 空间悬臂梁结构建模

图1 是经典的悬臂梁模型，其中W为梁的挠度位移方向，L为梁的长度，O为坐标原点（固支约束条件），Y为飞行器翼展方向，P为翼梢部位受到的集中外载荷[6]，更常见的形式为分布式外载荷。

图1 经典的悬臂梁模型

飞行器的机身通常被视作刚体，它连同机翼部分一起做沉浮运动。机翼结构受空气外载荷分布力（力矩）的作用会绕翼根产生角位移，同时产生纵向挠度位移曲线，如图2 所示。

图2 大范围运动悬臂梁结构示意图

对于空间运动的悬臂梁模型[7-8]，为使问题描述变得简洁，本文选取2 套坐标系统进行描述。具体地说，地面坐标系由单位正交标架矢量所决定，机翼在翼根处的切线方向及其垂直方向构成了局部随体坐标系，由单位正交标架矢量所决定。描述机翼沉浮和转动的弹簧刚度分别定义为ky和kθ，机翼转动角定义为θ（t）。

定义：

根据矢量的仿射不变性，得到：

两套坐标系之间的变换为：

基于小变形假设，有sinθ≈θ。

于是，式（1）关于时间的导数函数的线性部分为：

根据哈密顿原理：

这里，T、V、Wnc分别是系统的动能、势能和非保守外力功，分别为：

将式（3）—（5）代入式（2），依据哈密顿变分原理，得到如公式（6）所示的3 个控制方程以及公式（7）所示的边界条件：

2 求解过程

假设悬臂梁模型做简谐运动，则有：

式（8）中：V（u）、ϑ、Y分别为3 个自由度运动方向的振幅；ω为系统的模态频率。

考虑到θ（t）的转动效应，图2 中的P点在方向的位移可表示为：

将式（8）和（9）代入微分方程组表征的拓展悬臂梁模型式（6）和式（7）中，即可通过求解获得飞行器悬臂梁系统简谐振动的模态解。

3 拓展模型与经典模型之间的联系

本文采取的悬臂梁模型拓展了经典的悬臂梁模型，最主要的特征差异体现在自由度的增加，而经典悬臂梁模型的控制方程仅相当于本文多自由度悬臂梁模型式（6）的简化，注意到经典的情况下，有：

从式（10）可以看出，简化模型忽视了机身刚体运动、机翼绕翼根部位转动引起的惯性力对机翼横向位移的影响。

关于式（9）的理论解，具有如下形式：

关于式（10）的理论解，注意到u≜x，有：

表1 悬臂梁模型的结构参数

表2 模态频率理论值

将式（11）代入控制方程式（8）和边界条件式（7），不妨假设，结构参数仍采用表1 数据。基于Maple 程序求解系统的一阶模态时，模态频率变为4.855 Hz，与固支模型相比，降低了大约1.17%。若取Kθ=0，则模态频率变为4.818 4 Hz，降低了约1.92%。

4 算例分析

ANSYS 算例分析的空间悬臂梁模型，结构参数如表1 所示，采用实体单元建模法（也可采用线体模型），结构网格尺寸设置为0.65 mm，如图3 所示。计算结果显示，空间梁模型出现了摆动方向上的频率，除此之外，模态计算结果和我们的理论值高度吻合，误差在0.5%左右，如表3 所示。

图3 悬臂梁实体单元模型

表3 基于ANSYS 的空间梁模型的模态频率分析

施加零位移约束条件如图4 所示。图4 显示，若追加y轴方向的零位移约束条件，仅获得基于ANSYS软件的悬臂梁模型垂直平面内的模态频率结果。表4给出了ANSYS 软件模态结果与理论计算模态结果的差异，相对误差大约在4.85%附近。

图4 施加零位移约束条件（y 轴方向）

表4 基于ANSYS 的平面运动梁模型模态频率分析

5 结论

针对飞行器结构运动具有多自由度的特点，本文拓展了经典的悬臂梁模型，基于哈密顿原理建立了系统的控制方程和边界条件。在转动角位移是小量的情况下，柔性悬臂梁模型相比经典的固支悬臂梁模型，算例表明其模态频率略有下降，大约在2%以内。

此外，本文基于ANSYS 软件建立了实体单元的固支悬臂梁模型。算例分析表明：固支条件下的空间梁模型会出现摆动方向上的频率信息。如果施加该方向的零约束条件，计算所得模态数据则会高于真实值，算例误差可达4.85%。

综上所述，基于本文提出的拓展悬臂梁模型和理论分析方法，计算结果和ANSYS 仿真结果高度一致。但是，ANSYS 软件会产生多余的模态信息。消除多余模态信息所施加的零位移约束，相当于提高了原始模型的刚度，从而带来了较大的误差，应引起注意。