浅谈“高等数学”教学的实践和体会

徐森荣

（江苏大学 数学科学学院，江苏 镇江 212013）

“高等数学”是高校公共基础课中最重要的课程之一，是包含理工科在内的大面积非数学专业新生的必修课程，也是学生深入学习专业化知识的基石。理工科专业的“高等数学”课程一般开设两个学期，第一学期涉及函数、极限、导数、积分和无穷级数内容，第二学期所学内容以第一学期为基础，进一步深入、拓展并且难度有所增加，具体包括空间解析几何、多元微分、重积分、曲线和曲面积分和微分方程［1］。“高等数学”课程虽然课时上有两个学期，但是课程内容多，概念抽象性强，加之课程安排紧凑，如何从中学的固定教室学习模式过渡到大学修习学分模式，快速适应大学“课程多、进度快”的学习环境，对学生来说至关重要。笔者结合“高等数学”课程教学实践，谈谈自己的体会和建议。

一、“高等数学”课程特点

1.“高等数学”的难点内容在课程教学过程中出现得很早。“高等数学”始终以“极限”这一中心概念贯穿课程始终，并且，极限这一概念在课程教学之初就已出现，后续内容几乎都离不开它。然而，根据实际教学反馈情况来看，短时间内学生要掌握极限这个概念并不容易。它有一套所谓的“ε语言”的定义描述，而且并不像中学时期学生碰到的数学概念那样具体直观。因此，很多学生并不理解为什么极限这个概念的定义会这么复杂，以及“ε语言”到底好在哪里［2］。从另一个角度来说，如果不理解和掌握极限的概念，而仅仅只是做到会背诵极限的相关性质，虽然对于相关极限的计算题可能没有问题，但是对后续定积分、重积分和曲线曲面积分的学习会产生很大的阻碍。由此可见，极限概念是“高等数学”课程学生遇到的第一个“拦路虎”，能否顺利跨过这个难关，对学生学习的积极性、自信心的培养和逻辑思维能力的锻炼具有重大影响。

2.“高等数学”第一学期前半段课程和高中课程有部分重复，学生易有松懈思想。“高等数学”前两章要学的是函数及导数，其中大部分内容学生高中阶段已经碰到过，甚至很多学生都已学过洛必达法则。因此，有不少学生会产生学习懈怠情绪。殊不知这些内容是起着承前启后的作用，必须加以重视，将这些内容看作中学数学到大学数学的平稳过渡，学习的过程中不能掉以轻心，要时刻预备着高等数学新内容的出现，并及时做出应对克服学习困难的实际努力。另一方面，学生在实际学习过程中经常会出现“张冠李戴”的现象。举个例子，洛必达法则一般在“高等数学”第三章才出现，但每年总会有学生“偷偷”地用高中教过的洛必达法则结论求解第二章中的数列极限题目，这是明显的“理不对题”［3］。即使学生高中学过相关概念，但是由于当时课程的限制，讲解没有严格化，如果学生不加以分析而直接套用相关性质，这反而会对学生“高等数学”课程成体系的学习产生一定的阻碍，不利于他们对于“高等数学”整套课程知识体系的理解和把握。

3.“高等数学”两学期课程内容紧密相连，条理严密，自成体系，对学生的综合掌握熟练程度要求较高。进入“高等数学”第二学期的学习之后，学生会明显感觉到所学内容比第一学期难了很多。笔者认为有如下原因：一方面，客观来说，第二学期的内容以第一学期为基础，在知识内容上会更加抽象，计算将更加复杂，如果第一学期的内容没有消化吸收就进入第二学期的学习，学生会产生看上去似曾相识，但是实际做题会“云里雾里”的感觉。另一方面，从主观上来看，很多学生在学习第一学期的内容时，自己并没有认真付出时间和努力，反而是借助中学所学相关的初等数学内容——“吃老本”，第一学期也能勉强及格，但是容易造成对于第二学期课程的“轻敌”现象，结果就是碰到第二学期更加困难的内容之后就感到无所适从，因为第二学期多元微积分学的知识，单凭学生中学时期所学的知识已无力解决，从而造成第二学期课程学习效率低下，课程成绩不及格率相比第一学期有所上升。

二、根据“高等数学”特点采取的应对策略

1.针对“高等数学”课程第一章就出现的“极限”这一重要概念，作为教师，可以把这个概念之后的问题背景“抛给”学生，让学生站在新概念产生前的历史时刻，把自己当成“数学家”，思考极限如何定义的问题。这时需要教师多举一些蕴含“极限”定义背景的例子，让学生揣摩和钻研。这部分可以作为预习材料提前发给学生，可以建立相应的网络在线群组，或者下载安装相关学习软件，督促学生线上或在学习软件中通过上传作业图片等形式反馈自己的预习情况，及时掌握学生的预习情况和存在的问题，再进一步在课堂上有针对性地点拨和讲解。在这个过程中，允许学生提出不同观点，鼓励学生给出对于极限的定义，当遇到学生给出的错误定义时，教师要适当引导，给出反例，逐步将学生引到正确的定义过程中。通过这一过程，学生会切实地感受到，用于定义“极限”的“ε语言”是自然的、严谨的，从而体会到数学定义的准确、优雅和无懈可击，进一步增强对“高等数学”课程的学习兴趣。

2.由于高等数学第一学期内容与学生中学时期所学有所重复，为了防止学生产生懈怠情绪，教师可以设计相关题目让学生解答，设计一些对于学生来说的易错题、常错题，故意给学生“挖坑”。另一方面，这些题中需要包含课程所要求掌握的重点、难点，要对学生的引导和课程内容的掌握起到积极的推动作用和实质帮助。如果学生没有严格掌握高中所学相关知识的应用条件，仅仅记住了结论，凭“套公式”的方法，基本上会形成“一答就错”的局面，这时再把他们从“坑”里带出来，详细讲解他们是在哪一步犯了错误、本质原因是对哪个定理或者性质理解不够透彻、对于结论的应用需要注意哪些条件等，这样学生的接受度会高得多，接下来再进行有条理、有体系的高等数学教学，会得到良好的教学效果。

3.“高等数学”课程进入第二学期以后，就函数变量而言，学生会发现，内容从一元变量变为多元变量，并且第二学期课程内容很大程度上是第一学期的推广，但是如果学生第一学期的基础没有打好，后面学起来就会更加吃力。针对这个问题，笔者认为可以从如下几个方面着手：第一，要提高学生对于学习的关注度和警觉心。新生刚进入大学后，对于大学课程考试情况不了解，事实上，大学时期的挂科率远高于中学时期，并且“高等数学”作为高校重要的必修基础课，挂科率在高校所有课程中一直居高不下，这些情况虽然现实并显得有些“残忍”，但是需要尽早讲给学生，以引起他们对“高等数学”学习的重视和警惕。第二，时刻提醒学生预习的重要性，将预习功课以量化分数形式纳入成绩考核，从评分机制上调动学生预习的积极性。如今“高等数学”课程课时少、内容多、进度快，预习的重要性更加凸显，所以将预习纳入成绩考核很有必要，目的在于使学生在课前能对即将学习的知识和难点有一个整体的把握。与此同时，在学习新课程前，教师把课程中的重点和难点以及这些知识点在后续课程中发挥的作用在课前告知学生，让学生知其为“重点”又知其所以为“重点”，这样学生预习时的目的性就会更强，上课时的积极性也会更高。

三、“高等数学”教学实践体会及建议

1.在思想上，转变学生的固有观念，督促学生尽早做好人生规划，确立人生目标。在现实生活中，普遍存在“高中阶段辛苦一点，考上大学就轻松了”的错误论调［4］，对学生造成了不小的消极影响，于是部分大学生对学习产生了懈怠情绪。事实上，大学阶段的学习并不轻松，在大学的学习中要想取得好成绩往往比高中更难，因为大学四年学生需要修满140至200个学分、几十门课程，求学任务艰巨。如果只是怀着“只要及格就能拿学分，达到毕业要求就行”的态度，那最后对知识只是一知半解，没有真正学会和充分锻炼自己的能力。兴趣是学习动力，理想是指路明灯。因此，教师在新生开学之初就要强调大学学习的不容易，端正他们的学习态度，培养他们对学习的兴趣，帮助他们做好生涯规划，增强学习动力。

2.强调对学生自主学习能力的培养，帮助他们尽快适应大学学习，为大学求学生涯开好头。学生从高中进入大学，求学环境已发生了重大变化。“高等教育学”课程中提到，大学教学方法最主要的特点是强调学生自学能力的培养［5］。“高等数学”课程内容多、课时少、进度快的特点充分体现了这一点。大学阶段也是学生进入社会的过渡阶段，培养学生的研究能力、实践能力也是大学教学的主要任务。如果学生还寄希望于中学时期教师花很多课时重复讲解和练习知识点的教学模式，在大学里是行不通的，这也与大学教学培养目标背道而驰。因此，在新生刚入学时教师就需要和学生强调这一点，积极鼓励、指导和帮助他们，让他们做好应对准备，从思想上转变过来，再从行动上落实，培养自身学习的自觉性。

3.在学习新章节之前，提前引导学生思考新学内容和已学内容的联系，是为了解决什么问题以及学习的重点和难点。比如在第二学期学习的《曲线曲面积分》章节是高等数学的一大难点。所以这一章节学习时要让学生自主思考每一类积分要解决什么实际问题，并比较他们之间的区别和联系。归根结底，让学生体会到它们都是积分，是为了解决不同类的实际问题而有所细分，而积分的定义本质就是极限。因此，只要牢牢抓住“极限”这一中心概念，理解、掌握和应用于导数和定积分，那么第二学期偏导数、重积分和曲线曲面积分等内容的学习正好是第一学期的深入和拓展。并且第二学期所学内容很多都来自生活和实际应用，只要第一学期基础打好，第二学期的学习会变得活泼有趣，学生在学习掌握之后往往也会富有成就感。

4.利用信息化技术手段、讲数学历史故事等方法，增加课堂趣味性。“高等数学”课程比较抽象，推理严密，特别是课堂教学中后段学生往往会产生一定的疲劳，注意力容易变得不集中。针对这个问题，教师可以借助于Maple、Matlab、几何画板等数学软件，动态展示所学知识的数学变化过程，让学生更加直观地感受到所学知识点的具体含义，发挥学生的主体性和参与性。另外，可以在知识讲解中引入相关数学家的故事，例如讲解数学中最美妙的公式之一——欧拉公式时，可以讲欧拉双目失明后并没有放弃数学，反而更加努力，最后达到心算比笔算更快的程度，让人由衷敬佩。还有青年数学家伽罗瓦，虽然只活了21岁，但是创造了现代群论，成为世界上最伟大的数学家之一。所以，人生成就不唯年龄，由此激励学生奋发有为，立足当下，不以自己年轻为由而为人生发展设限，学好本领，为未来人生打下坚实的基础。

5.课后做好总结评价和精准化辅导。教师把课程内容讲解完后，留2～3分钟做课堂总结，加深学生对知识的印象和理解，课后及时总结巩固的学习方法，在心理学上被证明极为有效。另外，一定量的习题训练也是必不可少的。教师在布置习题时应该既考虑覆盖全部知识点，也需要定好合适的题量，以保证学习效果。特别值得注意的是，在批改讲解完题目后，需要关心学习效果不理想的学生，可以利用课间休息或者课后时间，再针对性地帮他们复习和掌握，这个方法需要付出的时间不用太多，由于题目已经做过，只要稍加点拨即可，在实际教学中可以收到良好的学习效果。

结语

笔者根据自己的教学体会，针对“高等数学”课程的特点，对该课程提出了教学应对策略。对于学生，一方面需要从思想上改变其固有观点，使其深刻认识到大学学习和高中学习的不同之处，树立个人目标，培养其自主学习和研究能力；另一方面，鼓励学生从行动上进行落实，继续发挥中学时期刻苦努力学习的精神，认真做好预习和复习工作，达到足够的习题训练量，以“高等数学”学习为例，磨炼勤奋、踏实、持之以恒的求学品质，为大学后续课程打好基础。对于教师，要心系学生，爱护学生，尽己所能关心照顾到每一名学生的学习情况，充分利用课间、课后时间，给予学生提醒、鼓励和辅导答疑。引入相关评分机制，将信息技术融入课堂，调动学生参与课程学习的积极性，同时做好课后教学效果的反馈和总结。综合课程、教师和学生三方面，可以让学生尽快适应大学的学习模式，领略到“高等数学”课程中美不胜收的数学景色，也将为学生深入学习专业知识提供不可或缺的现代数学方法，助力学生在更广阔的知识天地自在翱翔！