融合我国古代数学史的翻转课堂教学研究

胡坤 王旭

在“等差数列前n项和”的教学中，高斯计算“123100？+++???+=”的故事常作为典型数学史，鲜有其他数学史案例．事实上，我国有着悠久的历史文化，很多方面都有丰富的典籍流传于世，在数学教学上不能忘记自己的传统，不能忽略自己传统中有重要价值的东西[1]．《算经十书》是具有代表性意义的十种数学著作，它们是了解我国古代数学史的必要文献．《算经十书》中的《张丘建算经》就有很多利用等差数列求和公式解决实际问题的案例．若在数学教学设计中融入这些案例，就能让学生更深入了解中华优秀传统文化，激发学习兴趣，开拓视野，从而提升数学核心素养[2]．

1 史料阅读，欣赏古代数学文化成就

《张丘建算经》是一部数学问题集，现传本分为上、中、下三卷．卷中结尾及卷下开头现均已残缺，共保存有92个数学问题及其解答，虽其内容、范围与《九章算术》相似，但在最大公约数与最小公倍数、等差数列、不定方程等方面超过了《九章算术》的水平．其中，关于等差数列的同类结果在三百多年后的印度才首次出现．下面通过阅读史料具体了解一下《张丘建算经》．

材料阅读——《张丘建算经》提要[3]．《张丘建算经》三卷，自序最后题“清河张丘建谨序”，不详著书年代．清河是张姓郡望，未必是作者的籍贯．据卷中题目与魏书《食货志》的记载，断定《张丘建算经》的编书年代是在公元466年～485年．

《张丘建算经》继承了《九章算术》的数学遗产，并且提供了很多推陈出新的创见，主要有以下几点：（1）卷上第10、11题是最大公约数与最小公倍数的应用题．（2）卷上第22、23、32题，卷中第1题和卷下第36题等是等差级数应用问题．（3）有些算术问题比较难解，在《九章算术》中用“盈不足术”来解答．张丘建对这些问题一一加以分析，从而获得直接的解答方法．（4）卷中第22题和卷下第9题都需要采用“开带从平方”（求二次方程正根）来解决，这推广了“开带从平方”的应用，是我国数学史上最早出现的不定方程问题．

现在常见各种版本的《张丘建算经》，皆出于南宋刻本．古本保存于上海图书馆．

问题1 阅读完材料，谈谈你对我国数学史上取得的成就的感受．

设计意图 将数学文化史料融入教学，有利于开拓学生视野、提升学生的数学学科核心素养．同时，让学生感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养．

教师可引导学生交流分享，亦可参与交流．引导学生对我国古代数学家的想象力、创造力产生钦佩之情，及对不屈不饶、精益求精的精神产生敬意．

2 合作交流，古今对比拓宽视野

教师引导各学习小组相互合作，合理分配任务，让学生带着下列问题登录网上图书馆查阅《张丘建算经》，并摘录至学习共享平台．

问题2 根据上述材料，找出《张丘建算经》中的等差数列问题．

设计意图 注重信息技术与数学课程的深度融合，发挥信息技术直观便捷、资源丰富的优势，提高教学的实效性．利用网络实现信息交流，为师生交流、生生交流、人机交流搭建平台，让学生逐渐养成合作交流的学习习惯，提升沟通合作能力．

在各学习小组已经完成任务后，一起来看学习共享平台：

（小组1）卷上第22题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？

（小组2）卷上第23题：今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何？

（小组3）卷上第32题：今有人与钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何？

（小组4）卷中第1题：今有户出银一斤八两一十二铢，今以家有贫富不等，今户别作差品，通融出之，最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何？

（小组5）卷下第36题：今有举取他绢，重作券，要过限一日，息绢一尺，二日息二尺，如是息绢日多一尺．今过限一百日，问息绢几何？

我国古代著书都以文言文记载，《张丘建算经》亦是如此．相对于现代汉语，无文言文常识就难以理解．现在各小组根据自身组员情况，可以尝试自译，也可以寻求其他小组，或借助网络帮助完成．

问题3 尝试将古汉语数学问题翻译为现代汉语数学问题，并上传至学习共享平台．

设计意图 让学生养成能学习、会學习、善学习的数学学习习惯．同时，充分发挥信息技术、教育大数据平台在数学教学上的作用[5]，鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决数学问题．以上五个问题译文如下：

（小组1）卷上第22题：现有一女子善于织布，织得很快，织的尺数逐日增多．已知她某月的第一天织布5尺，一个月共织9匹3丈，问该女子每天多织多少布？（注：1匹=4丈，1丈=10尺，一个月按30天计算．）

（小组2）卷上第23题：现有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织1尺，30天织完，问30天共织多少布？

（小组3）卷上第32题：现在有人要给大家发钱．第一人发3钱，第二人发4钱，第三人发5钱，依次类推，后一人比前一人多发1钱．若将所有人的钱都收上来，再平均分给大家，这样每人可以分得100钱．问，一共给多少人发钱？

（小组4）卷中第1题：每户应交税银1斤8两12铢，经协商，若考虑贫富的差别，贫者少交，富者多交．家最贫者交8两，户别差为3两，则交税银的户数是多少？（注：1斤=16两，1两=24铢）

（小组5）卷下第36题：债主拿欠债方的绢做抵押品，每过期一天便加收一天利息，债务过期一天要收利息1尺绢，过期二天则第二天便再收利息2尺绢，这样，每天利息比前一天增加1尺绢．若过期100天，欠债方共交多少利息？

通过译文，古今对比欣赏到了《张丘建算经》的等差数列实际应用问题．虽然在《张丘建算经》中给出了答案与解题过程，但出于是文言文，专业术语依然晦涩难懂．那么，这些问题能不能古为今用，能不能今法解古？

3 古题今解，夯实基础积累建模经验

众所周知，解决数学实际问题常要数学化，即对实际应用问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题．古题今解，就是让学生实现实际问题数学化，一是对先前知识的巩固；二是提升学生数学建模水平，积累相关经验．

问题4 各小组能否建立适当的数学模型解决《张丘建算经》中摘录的实际应用问题？

设计意图 引导学生对简单的实际问题选择适当的知识（数列）构建数学模型解决．感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，感受数学模型的现实意义与应用．

教师巡视，与各学习小组交流沟通，了解学生情况，予以必要的提点．完成后，请各小组选派一人来分享他们构建的模型和解决问题的思想过程．鼓励学生在听取他人分享的时候，提出合理质疑．如果可以的话，给出解决方案．

（小组1）本组认为此题在现代实际生活中属于工程模型问题．

教师及时点评各小组的分享，强调问题解决的关键点、注意点，最后总结，深化教学目标．在用数列模型解决问题的过程中，教师应引导学生注意数列与方程思想，体会等差数列求和公式的应用展现的数学简洁美．大家都知道，问题解决往往并非只有一种方法，尤其在数学建模中，问题的发现与提出、模型的建立与求解，不同人有不同想法与方案，这就需要进一步对模型检验与完善，对问题加以分析从而解决，让得出的结论更加贴合实际．

4 总结、反思与展望

弘扬我国优秀传统文化，在教育教学上如何将之落到實处？回顾全文可以发现，在数学学科教学中融入古代数学史，不仅能够加强学生数学阅读能力的培养[4]，而且能够让学生通过阅读了解中华优秀传统文化中的数学元素，体会其中的数学精髓，促使学生充分感受社会历史文化、数学知识发展过程中蕴涵的民族精神与情感，从而不断健全学生的人格，培养学生高尚情感，让学生获得自信，实现可持续发展．在数学教学上，尤其是基础知识上，教师不妨尝试放“慢”一点，胆子大一点，预留一些传统文化渗透的空间．

参考文献

[1]周学智，王光明．传统的现代价值——评代钦教授著作《数学教育与数学文化》[J]．数学通报，2016，55（4）：61-63，66

[2]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018

[3]钱宝琮．校点．算经十书[M]．北京：中华书局，1963

[4]任子朝，陈昂，赵轩．加强数学阅读能力考查展现逻辑思维功底[J]．数学通报，2018，57（7）：8-13

[5]胡坤．基于智学教育大数据平台的数学教与学[J]．中学数学月刊，2022（1）：58-59，72