基于APOS理论的等比数列概念教学思考

高健 李朝喜 唐四雨

1 对APOS理论的基本认识

1.1 APOS理论概述

美国数学家杜宾斯基认为，个体对数学概念的学习不是直接的，需要个体透过心智结构才能对概念产生有意义的认知与建构，因此他在皮亚杰“反思性抽象”理论的基础上进一步拓展，将数学概念的学习过程划分为四个阶段：活动A（Action）、过程P（Process）、对象O（Object）、图式S（Scheme）[1]．该理论作为一种建构主义理论，对数学概念教学具有重要的指导意义和应用价值．思维是素养的核心，思维以知识为基础[2]．APOS理论的教育价值在于促进学生数学思维的发展，使学生经历“直观思维——程序思维——抽象思维——图式思维”的转变[3]．“活动阶段”是学生建构数学概念的起始阶段，通过外显的“活动指令”帮助学生感受概念的背景来源，触动学生的直观思维；经过对“活动”反复操作和思维内化，学生对概念有了一定的思考和顿悟，进而达到“过程阶段”，在程序操作和表象描述中发展学生的程序思维；基于前两个阶段，学生对概念的本质属性有了一定的认知和理解，此时把概念作为一个整体对象进行操作，运用抽象思维对概念的本质特征进行有机组合，由此演变为“对象阶段”；而“图式阶段”的达成并不是一蹴而就的，需要学生在后期的知识深化以及其他概念图式的联系中不断进行完善，进而帮助学生形成图式思维认知现实世界．

1.2 利用APOS理论进行概念教学的注意点

1.2.1 基于学生心智技能，创设数学问题情境

数学心智技能是学生通过对数学模式的具体实例进行操练，将获得的动觉经验与原有认知结构进行整合，进而内化的一种经验模式．如学生的计算能力、推理能力、调控学习过程的能力等[4]．APOS理论的核心聚焦于“如何建立学生的心智结构使学生对数学概念产生意义和价值”，而心智结构的建立离不开学生心智技能的习得与发展．因此，基于APOS理论进行概念教学时，教师应当立足于学生的“最近发展区”，使学生利用已有经验同化或顺应新概念，注重将数学概念的背景置于数学问题情境中，设计既与数学概念背景来源有联系性、现实性、社会性的问题情境，又能使学生进入愤悱境界、提升学生数学思维的问题情境．

1.2.2 注重教學阶段螺旋，强调学生自主建构

APOS理论的四个阶段并非按照直线路径逐层过渡，而是螺旋上升、循序渐进达成的，目的是确保学生概念的学习不只是停留在具体直观、视觉化阶段，而是需要不断反省抽象、深化升华，进而促进学生知识习得和思维发展[5]．同时，该理论所蕴含的建构主义色彩也强调教师在进行概念教学时，应当注重学生对知识的自我探究与发现，适当进行教学干预，帮助学生明确概念本质、熟悉概念应用，使学生在发现新知、活动参与、互动交流的学习过程中，体验数学概念来源、掌握数学概念本质、领悟数学思想方法、熟练数学知识应用，促进学生认知水平的提升．

1.2.3 引导学生知识联结，帮助学生完善新知

APOS理论四个阶段的形成不是一蹴而就的，也并非在一堂课、一个单元教学片段就可完成，需要经过长期的学习活动不断完善[6]，特别是APOS理论的图式阶段，需要学生在数学概念的实践应用、拓展完善中深化知识结构，实现概念的结构化，最终将数学内容建构成一个相互交织、相互联系的知识网络．因此，教师在图式阶段乃至后续相关图式知识的教学中，应当加强学生新、旧知识的联结，引导学生在新图式的建构上联结旧图式、在旧图式的基础上学习新图式，在知识联结、演绎拓展、实践应用中完善学生的概念认知体系，固化学生的数学心智结构，促进学生数学思维的发展和数学素养的提升．

2 基于APOS理论的等比数列概念教学设计

2.1 活动阶段——设置情境，带领学生感知概念背景

APOS理论的活动阶段是帮助学生感知概念背景来源、初步认识数学概念的起始阶段，以科学的问题情境进行概念引入是教师进行活动阶段教学的必要手段，教师应基于学生的心智技能，创设具备现实性、社会性、真实性的问题情境激发学生的直观思维，促使学生以原有的认知经验体验数学情境中蕴含的数学问题，密切联系学生的认知经验、学习水平、思维发展，进而达到帮助学生感悟背景来源的目的．

设计意图在APOS理论的“图式阶段”，思维导图的呈现、概念模型的应用，不仅有利于学生合作发现、综合完善等比数列的知识体系，而且有助于加强学生对等比数列概念的实践性操作，在相关图式概念的联结中进一步感受等比数列内容的价值与意义，达到学有所思、思有所获、获有所感的学习效果．

3 教学思考

3.1 筛选情境素材，聚焦学生概念认知情境化问题作为学生知识探究的重要载体，成为教师概念教学中必不可少的重要工具，在以“情境—问题—概念认知—思维建构”的层级价值目标导向下，筛选符合学生认知规律、与学生现实生活密切相关的情境素材尤为重要．夏小刚教授强调，应在学生现实的基础上，筛选可激活学生数学思维、便于情境问题数学化的情境素材，还原数学问题的生成过程、激活学生的思维活力[9]．在APOS理论指导下的等比数列概念教学中，选取“正方形纸片十字分割”的问题情境旨在促进学生对等比数列概念的初步感知，突显等比数列与现实生活的密切联系，为后续对概念本质的认识和理解做铺垫．

3.2 注重启发教学，逐步完善概念体系

启发式数学教学以激活学生的数学思维为目的，而学生数学学习心智活动的核心又是以数学思维活动为载体[10]，这与APOS理论促进学生数学思维发展的教育价值不谋而合．因此，教师进行等比数列概念教学时，应注重阶段之间的层次性、紧密性、螺旋性，以触发数学思维活动，帮助学生完善概念体系，增强主动学习、概念探究的强烈愿望，密切关注素质教育背景下数学学科性与育人性的科学融合．如过程阶段探究等比数列的通项公式，既是对活动阶段概念背景的特征化，又为对象阶段概念整体化做铺垫，在方法类比、公式推导中激发学生思考问题的灵活性，培养应用创新的数学思维．

3.3 强调发现学习，突显概念教育价值

APOS理论作为建构主义理论，揭示了数学概念学习的本质，指明了概念建构的层次，强调了建构的最终结果[11]．因此，教师基于APOS理论进行概念教学时，应注重学生自主思考、合作探究、发现新知的学习体验，营造寓教于乐、寓学于趣的课堂氛围，落实素养本位指导下学生的课堂主体教育价值，使学生在数学概念的抽象、数学思想的领悟、数学语言的运用中，体会概念学习的意义和价值，使学习达到转识成智、化知为能的效果．如在等比数列概念教学中，图式阶段思维导图的展示与对比，一方面帮助学生综合完善图式知识结构，另一方面培养学生自主发现、共同探究的学习品质．

4 结语

高中数学教学应该努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，揭示人们探索真理的艰辛与反复[12]．APOS理论指导下的数学教学是概念本质揭示、学生思维提升的教学，教师应注重在“活动”“过程”“对象”“图式”四阶段的概念教学中培养学生的数学思维和理性精神，使学生在知識探究、本质突显、思想渗透、方法获得、技能提升的过程中，领会数学概念学习的意义和价值．

参考文献

[1]鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程[M]．上海：上海教育出版社，2009

[2]夏小刚，张晶．关于情境真实性的理解[J]．湖北教育（教育教学），2022（6）：30-32

[3]席爱勇．基于APOS理论的学生心智结构发展研究——以《认识一位小数》一课教学为例[J]．教育研究与评论（小学教育教学），2018（10）：27-30

[4]孙杰远，唐剑岚．数学心智技能及其教学策略[J]．基础教育研究，2001（11）：35-36

[5]李莉．学生学习数学概念的层次分析[J]．数学教育学报，2002（3）：12-15

[6]张颖．基于APOS理论的高中数列概念教学案例研究[D]．天津师范大学，2016

[7]马晓丹．APOS理论探索的反思与超越[J]．教学与管理，2020（33）：74-77

[8]李旭．基于APOS理论的数列知识教学研究[D]．西华师范大学，2019

[9]夏小刚，张晶．基于学习体验的情境化问题设计[J]．湖北教育（教育教学），2022（3）：33-35

[10]罗蓉，张昆．启发式数学教学的探索与实践——以“弧度制”概念教学设计为例[J]．中学数学月刊，2020（6）：23-25，54

[11]李彩红，李祎．基于三种学习理论整合的数学概念教学设计[J]．数学通报，2014，53（5）：19-23

[12]林燎．中学数学教学要注重数学本质的呈现[J]．数学通报，2009，48（8）：45-48