新课程背景下高中数学建模教学实践研究

□甘肃省张掖市山丹县第一中学 周相年

在高中数学教学中渗透建模素养，对提高教学效率和加深学生对数学理论知识的理解具有重要意义，且符合新课程改革的要求。本文以新课程背景下高中数学建模教学实践策略为研究主题，分析了在高中数学开展建模教学的意义，得出对提升学生数学素养和促进学生综合能力发展具有积极意义的结论，然后分析了高中建模教学需要遵循的基本原则，并探索了在新课教学中渗透建模知识、在习题讲解中开展建模教学、为学生提供建模训练机会、在教学评价环节开展建模反思的教学策略，以期为高中数学教师群体提供参考。

一、数学建模教学概述

数学模型是利用数学理论得到与研究对象相符合的数学结构，建立该数学结构的过程被称为数学建模。数学建模具有以下本质特点：

第一，数学建模是一个过程或者一种思考方式，并非一种题型或者解决方法，但是在数学建模思想的指导下，学生可以得出某一类题型的具有广泛适用性的解题方法，这一过程可看作一个狭义的数学建模过程。第二，利用数学建模来解决的问题，一般具备较强的开放性，学生可以在求解过程中积极主动地做出决策，最终得到的数学模型也不尽相同。第三，数学建模并不是一个直线型的过程，其中可能存在建模错误的情况，所以学生应该在建成数学模型后对数学模型进行验证修改。第四，数学建模的核心工具是数学模型，数学模型的选择和合理利用对建模过程具有重要影响。

二、高中数学开展建模教学的意义

（一）减轻学生解题负担

高中数学内容的难度和复杂程度都远高于初中数学内容，所以高中学生的学习压力比较大，且由于高中学生面临升学压力，再加上部分教师利用“题海战术”，为学生提供大量数学练习，力求让学生在解题过程中实现能力提升，但实际效果相反。高中数学建模教学能够帮助学生找到一种解决同类问题的解题方法，从而在遇到同类题目时可以直接利用解题模型完成解答过程，学生的解题难度降低，有助于缓解学生的焦虑情绪。

（二）培养学生协作能力

为了帮助学生更好地理解建模思想和形成建模素养，教师通常会安排学生以学习小组为单位，利用建模思想解决实际问题。在此过程中，学生一方面能对数学理论知识产生更清晰、深刻的认识，提升利用所学知识解决实际问题的能力，将数学学习与实际生活相联系，真正认识到高中数学学习对未来生活和发展的意义；另一方面，在小组协作建模的过程中认识到团体协作的力量，重视开发集体智慧，从而形成更加良好的协作能力。这不仅对学生的各学科学习具有很大帮助，还有利于提升学生的学习自信心。

（三）提升学生数学素养

数学建模是数学研究的重要方式，教师在实际教学中渗透数学建模思想，能够提升学生的数学素养，使其掌握基本的数学研究方法。首先，数学建模是一个由具体到抽象的认知过程，有利于提升学生的逻辑思维能力。其次，数学建模是一个开放性的过程，学生不仅要挑选用于建模的知识，还要学习新知识完成建模过程，所以数学建模教学有利于提升学生的数学研究能力。最后，数学建模过程本身是一个创新过程，所以数学建模教学有利于提升学生的数学创新能力。

三、高中建模教学需要遵循的基本原则

（一）循序渐进原则

高中数学建模教学需要遵循循序渐进的基本原则，即在设计教学方案的过程中，教师应该保证数学建模教学内容由易到难、由简至繁、由相对具体到比较抽象。若没有遵循循序渐进原则，随机选择数学建模教学内容，则教学过程不符合学生的认知发展过程，不仅不利于提高数学建模教学效率，还有可能挫伤学生的建模信心。

（二）问题挑选原则

高中数学建模教学需要遵循问题挑选原则，要求教师选择适用数学建模思想的数学问题开展教学，即规律性强、与实际生活联系强、可操作性强的数学问题。例如，人教版高中数学教材中有助于数学建模的数学结构有函数、方程组、不等式、统计、概率、数列、导数等。合适的数学问题和数学建模教学能够取得“相得益彰”的效果，有利于降低学生的理解难度，从而提高教学效率。

（三）学生主体原则

高中数学建模教学需要遵循学生主体原则。数学建模教学属于策略性教学内容，很难通过提问、默写等方式判断学生的学习质量，所以教师应该秉承学生主体原则，为学生设计数学建模项目，鼓励学生利用数学建模思想解决数学问题，虚心听取学生对建模教学过程的意见和建议，设计满足学生学习需求、激发学生学习兴趣的数学建模教学方案。

（四）适应性原则

高中数学建模教学需要遵循适应性原则，即教师设计的数学建模教学内容应该与课堂教学内容相匹配。其中，课内数学建模教学以加深学生对教材知识的理解并提升理论联系实际能力为重要目标，课外数学建模教学以拓宽学生的学习视野和提升学生举一反三能力为重要目标，避免任意拓宽数学知识和增加数学难度，避免加重学生的学习负担。

四、高中数学建模教学实践策略

（一）在日常教学中渗透建模知识

高中数学建模教学实践包括建模知识渗透、建模方式教学、开展建模训练和建模能力评价四个过程。其中，建模知识渗透不仅是高中数学建模教学实践的首要过程，还是高中数学建模实践教学的开展基础，所以教师应该在日常教学中渗透建模知识，包括什么是数学模型、什么是数学建模过程、数学建模思想的重点是什么、数学建模素养对学生的学习有什么积极影响、什么场景适用数学建模思想解题等。

教师应该在日常教学中为学生讲解数学建模思想的具体含义，帮助学生对数学建模思想形成基本的知识，了解数学建模过程的概念和数学建模思想的本质。教师可以为学生创设与教学内容相关的教学情境，使学生感受到所学数学知识在实际生活中的应用，从而为数学学习与实际生活建立联系，进而了解“数学建模是将现实问题转化为数学问题再转化为模型问题”的概念。

例如，在“函数的概念及其表示”教学时，教师为学生提出这样一个问题，即当一杯100℃的水和一杯50℃的水兑在一起，则水温变化情况是怎样的。为解决这一问题，学生想出了用温度计测水温并记录的方式，有的学生利用表格记录水温，能够比较清晰地看出水温的变化趋势，但是不够直观。有的学生利用函数知识解决问题，先利用表格提供的数据绘制直角坐标系第一象限图，以时间为横坐标，以水温为纵坐标，利用表格数据在坐标系中描点，再利用比较平滑的曲线将点连接起来。通过观察图像，不仅可以清晰明了地看出水温变化趋势，还能比较直观地了解水温变化速度，发现随着时间的变化，水温变化幅度逐渐减小这一规律。教师要求学生选择函数来描述水温变化图，由于每组学生记录水温变化的时间间隔不一样，所以学生计算出来的函数解析式也各不相同。在此过程中，教师应告知学生将“水温变化情况”这一实际问题转变为数学问题，并利用恰当的数学方法予以解决的过程即数学建模过程，数学建模过程是一个开放的数学过程，不同的数学方法得出的数学模型在精度和适用性上都不相同，所以应该在建成数学模型后对数学模型进行验证修改。

（二）在习题讲解中开展建模教学

数学建模过程包括提出问题、分析问题、假设模型、建设模型和验证模型五个过程，教师可以在习题讲解中开展建模教学，使学生真切感受到数学建模思想对高中数学学习的积极影响，从而主动自觉地开展数学建模练习，提升自身数学建模能力，同时帮助学生总结解题模型，提高解题效率。

例如，在讲解如图1 所示的题目时，首先，教师要求学生仔细观察表格中的数据并以学习小组为单位讨论3 分钟，选派代表发言。由于该题目提供表格信息含量较大，所以不同小组会得出不同的结论，如“水深最大值为7.5 米，水深最小值为2.5 米”“水深变化呈周期性”等。

图1 高中数学建模教学例题

其次，教师应引导学生利用函数模型知识，尝试利用表格数据绘制水深变化图像，学生绘制结果如图2所示。通过观察水深变化图像，学生发现水深呈现周期性变化且与学过的正弦函数图像比较相似。教师引导学生利用正弦函数知识求出水深变化图像的函数解析式，得到刻画水深与时间关系的三角函数模型。在该过程中，教师利用现实生活例子提出问题，引导学生分析问题，并引导学生思考该题目与所学知识的联系，进而使学生将水深变化图与正弦函数图像联系起来，利用正弦函数图像知识解决这一问题，最终弄得出水深与时间关系的三角函数模型。数学建模还包括检验模型这一过程，所以教师还应引导学生检验所得三角函数模型是否精确。

图2 水深变化图

最后，完成上述步骤后，教师为学生讲解数学建模过程及各个过程所应用的数学方法，使学生对数学建模活动形成更加直观的认识，从而在解决其他类型题目的过程中利用数学建模思想高效解决问题。

（三）为学生提供建模训练机会

数学建模教学是一种策略性教学，教师可以利用项目式学习法，通过布置数学建模任务来检查学生的数学建模素养情况。在设计数学建模任务时，为了提升学生的综合素养，教师可以设计难度较大的数学建模任务，要求学生以学习小组为单位解决问题。

首先，为了激发各学习小组之间的竞争意识，教师应该平衡各学习小组的“实力”，即组间同质、组内异质。教师可以先统计班级学生数学成绩、思维水平、学习态度等综合能力并排名，将班级学生分为6 个学习小组，将1—6 的学生按序分配给A、B、C、D、E、F 六个小组，然后将排名为7—12的学生按序分配给F、E、D、C、B、A，以此类推，保证各学习小组间整体实力均衡。

其次，设计与教学内容相匹配的数学建模任务。例如，在完成“指数函数与对数函数”的教学后，为了利用数学建模任务实现单元复习目的，教师可以设计“利用函数模型解决实际问题”课题任务，要求学生通过调查研究获取数据，建立“每周课外书阅读时间（时）与语文成绩（分）之间的关系”函数模型。

最后，为了增强学生的合作意识和提升学生的综合能力，教师可以将数学建模训练与项目式学习结合起来，要求学生以学习小组为单位完成课题报告，包括课题名称、课题组成员及分工、选题意义、研究计划、研究过程、研究成果、收获与体会等。为了提高学生的学习积极性，教师可以为学生提供开放性的课题研究主题，如根据教学内容设计多个研究课题供学生挑选；根据教学内容限制研究范围，要求学生自由选择课题研究主题等。

（四）在教学评价环节开展建模反思

新课改背景下，教师应该重视数学建模本身，采取有效的方法引导学生实现对数学模型的运用和转化，利用教学评价开展建模反思。

首先，教师改变教学评价模式，重视数学建模的过程性评价，针对学生在数学建模过程中的表现提出具有建设性的发展建议，提升学生的数学建模素养和数学建模能力。其次，教师利用数学建模项目来考查学生的数学建模全部情况，如给予学生一定的问题情境，要求学生根据给定问题情境分享数学建模过程，重点描述如何将问题情境转化为数学问题和利用哪些具体的数学知识来解决这一问题。

五、结语

总而言之，高中数学建模教学有利于降低学生的解题难度、培养学生的协作能力和提升学生的数学素养，高中数学教师应该秉承循序渐进、问题挑选、学生主体和适应性原则，积极探索高中数学建模教学实践策略，为学生提供更高质量的学习体验，提高学生对数学知识的探究兴趣，为我国培养高质量的数学人才。