大扁平比胎侧曲梁分段解析刚度建模及验证

刘志浩， 马超群， 刘钇汛， 高钦和， 张博宇， 孟 艳

(1. 火箭军工程大学 兵器科学与技术军队重点实验室, 西安 710025; 2. 北京航天发射技术研究所， 北京 100076)

重载轮胎作为军用车辆与地面直接接触的部件，将绝大多数作用力传递至整车，同时还缓解由于路面不平度引起的冲击与振动，因此轮胎的特性影响整车的动力性[1]、平顺性[2]、制动性[3]和操纵稳定性[4]等性能指标。由于轮胎具有极其复杂的结构，具有材料非线性和几何非线性，因此，如何准确描述胎体、胎侧柔性结构振动引起的路面-轮辋振动传递特性一直是轮胎动力学研究中的重点和难点。基于结构柔性的轮胎动力学模型[5]，是轮胎结构模型的典型代表，柔性胎体轮胎模型[6]将轮胎简化成弹性基础上的柔性胎体，弹性基础模拟胎侧-胎体间作用力和充气预紧效应。国内外学者研究了不同的胎体柔性化建模方法，提出了从一维到三维的柔性胎体模型，包括基于弹性基础的弦模型、梁模型、平板模型、环模型、壳模型和分布质量模型等；其中，弦模型和梁模型属于一维模型，平板模型和环模型属于二维模型，考虑横向变形的环模型、壳模型为三维模型。

胎侧作为胎体和轮辋的连接和传力部件，其力学特征和振动特性影响胎体与轮辋间的传递特性。国内外学者也提出了一维到三维胎侧刚度模型。Zhou等[7]建立了胎侧一维径向刚度的力学特性模型；Liu等[8]建立了考虑胎侧惯性质量和分段刚度的一维径向胎侧刚度模型，用以研究柔性胎体与连续胎侧曲梁的耦合振动问题。Pacejia[9]首次引入具有径向和切向刚度的弹簧来表征胎侧二维刚度特性；Gong等[10]基于二维弹性基础的环模型，研究了不同胎侧刚度和充气压力对轮胎振动特性的影响规律；Liu等[11]建立了考虑圆弧结构弯曲刚度的胎侧刚度模型，研究了胎体环与连续胎侧环的耦合振动特性。Noga等[12]将胎侧刚度由二维拓展至三维，在径向和切向弹簧的基础上，考虑了轮胎面外横向刚度，建立了考虑三维胎侧刚度特性的圆环振动模型。

课题组前期以基于弹性基础的欧拉梁模型[13]为基础，建立了柔性胎体与胎侧耦合振动模型，分析了胎侧的分段刚度特性，但缺乏对胎侧刚度解析描述，而胎侧作为连接柔性胎体和轮辋的关键部件，其刚度特性对轮胎的振动特性影响较大，对胎侧刚度特性的解析描述变得尤为关键。可将胎侧等效为圆弧结构，因此胎侧的径向刚度主要体现在两个方面：① 充气预紧力作用下的弦刚度，在充气压力作用下，在胎侧和胎体的连接点处，存在由于充气预紧力产生的拉伸力；② 胎侧结构变形引起的结构刚度，在变形过程中，圆弧单元产生拉伸、剪切和弯曲变形，造成由于胎侧结构变形产生的结构刚度。

为完善大扁平比重载轮胎的胎侧曲梁分段刚度解析关系，考虑弦预紧效应和结构弯曲特性，推导大扁平比重载轮胎的胎侧解析刚度模型，探究胎侧曲梁几何和结构参数的对胎侧分段刚度的影响规律；建立重载轮胎胎体-胎侧耦合动力学模型，分析胎侧几何和结构参数对轮胎振动特性的影响规律。

1 基于虚功原理的曲梁径向刚度建模基础

假定：曲梁为半径为Rs的圆弧，夹角为2θ，弧长ls，胎体与轮辋间距离为L0，圆弧圆心分别为O1和O2，如图1所示，存在几何关系

图1 典型圆弧几何关系示意图

(1)

1.1 考虑充气预紧力的曲梁弦刚度

对单侧曲梁进行受力分析，为简化分析，定义其圆心为O，如图2所示，建立基于充气预紧压力的曲梁弦刚度解析模型。

图2 充气预紧力作用下的弦效应示意图

则，由于弦预紧力T=P0Rs(充气压力引起的弦预紧力)所引起的沿Y方向的力为

Fs=Tcosθ

(2)

则

Fs=P0Rscosθ

(3)

基于曲梁几何关系，Fs转化为

(4)

曲梁沿Y轴长度为

(5)

(6)

则基于充气预紧力作用的曲梁弦刚度可计算为

(7)

1.2 考虑变形特征的曲梁结构刚度

胎侧曲梁除充气预紧力的弦效应外，其在外力作用下，会产生拉伸力、剪切力和弯曲力矩，因此需将曲梁结构变形考虑在内，如图3所示。同时在力和力矩的作用下产生响应的结构变形，基于虚功原理，探究曲梁单元在外力作用下产生的弯曲位移ub、拉伸位移ust和剪切位移ush。

图3 基于外力作用下的胎侧结构变形

在外拉伸力F作用下，胎体任意点处(与X轴夹角为ψ)产生的弯曲力矩Mb，轴向拉伸力Fst和剪切作用力Fsh分别表示为

(8)

则胎侧弯曲、拉伸和剪切能Cb，Cst和Csh分别表示为

(9)

基于最小应变能假设，则弯曲力矩Mb作用下产生的变形ub，拉伸作用力Fst作用下产生的变形ust和剪切作用力Fsh作用下产生的变形ush可分别表示为

(10)

将式(8)和式(9)代入式(10)，则外拉伸力作用下产生的胎侧结构变形ub,ust和ush可计算为

(11)

则胎侧拉伸刚度kst、弯曲刚度kb和剪切刚度ksh可推导为

(12)

(13)

1.3 基于弦刚度和结构刚度的曲梁解析刚度

曲梁单元解析刚度由结构刚度Ks和弦刚度Kr组成，可表示为

kr=Kr+Ks

(14)

则胎侧解析刚度kr可表示为

(15)

2 重载轮胎胎体-胎侧耦合动力学建模

等效连续胎侧梁模拟胎侧单元间的弯曲刚度，胎体微段与胎侧微段通过胎侧上曲梁单元连接，胎侧微段与轮辋通过胎侧下曲梁单元连接，则对重载轮胎的面内振动特性的研究转化为基于弹性连续梁基础的柔性梁模型的动力学分析，如图4所示。

图4 重载轮胎等效连续胎侧梁等效示意图

2.1 基于弹性连续梁基础的柔性梁模型动力学建模

对胎体、胎侧微段进行受力分析，如图5所示，ur和usr分别为距原点θ处胎体梁和胎侧梁微段截面在时间t时刻的横向位移。

图5 重载轮胎胎体梁与胎侧梁微段受力分析图

(16)

利用泰勒展开对Fs_t和Fs_r进行分析，保留两项，则胎体-胎侧、胎侧-轮辋间的作用力转化为

(17)

(18)

将式(17)和式(18)代入式(16)，则轮辋固定支撑约束条件下的，重载轮胎柔性胎体与连续胎侧梁耦合动力学方程为

(19)

2.2 柔性胎体-连续胎侧梁耦合动力学求解

利用模态叠加法将胎体-胎侧耦合动力学偏微分方程组转化为空间和时间的常微分方程进行求解，令胎体和胎侧的变形ur，usr符合谐波规律，为

(20)

整理，得

(21)

则，式(21)的根为

(22)

其中

重载轮胎柔性胎体-连续胎侧梁耦合共振频率[14]为

(23)

3 大扁平比胎侧曲梁解析刚度建模

参照第1章中对大扁平比重载轮胎胎侧解析刚度的分析方法，探究图6中所示的胎侧上、下曲梁单元的解析刚度特性，主要包括：① 由于胎侧曲率引起的曲梁拉伸、弯曲和剪切变形；② 充气预紧力效应的胎侧膜效应，通过建立胎侧曲梁解析刚度式，研究胎侧曲梁几何、结构参数对胎侧刚度的影响规律。

针对大扁平比重载轮胎胎侧的分段刚度特性，将胎侧曲梁等效为上、下胎侧曲梁，以胎侧曲梁轮廓的最外点A为分段点，如图6所示。

分别对胎侧上、下曲梁的曲梁结构刚度和曲梁预紧力刚度进行分析，而胎侧上、下曲梁的总刚度则分别是各自曲梁结构刚度和曲梁预紧力刚度的和。假设：

(1) 胎侧径向曲梁连接轮辋和柔性胎体，点A将胎侧曲梁分为上、下胎侧曲梁。

(2) 假定胎侧为固定曲率圆弧，曲率为1/Rs；O1，O2分别为图中左、右胎侧曲梁的圆弧中心。

(3) 上下胎侧曲梁的弧度夹角不同，分别为θc(OB与OA的夹角) 和θw(OC与OA的夹角)，通过对图6(b)中结构实测，获得θc=42.5°，θw=60.1°。

(a) 横截面结构示意图

L01=Rssinθc，L01为胎体与胎侧点A的Y向垂直距离；L02=Rssinθw，L02为轮辋与胎侧点A的Y向垂直距离；L0=L01+L02，其中L0为轮辋与胎体的Y向垂直距离。

3.1 考虑弦预紧效应和结构变形效应的胎侧解析刚度建模

上、下胎侧曲梁由于充气压力弦预紧力引起的径向力Fsc，Fsw，如图7所示。其中，T为充气压力产生的胎侧弦预紧力，T=P0Rs。

图7 重载轮胎上/下胎侧曲梁弦预紧力

根据胎侧几何结构关系，通过计算胎侧弦充气压力预紧力T产生的Y方向的垂向力Fsc和Fsw，则上、下胎侧曲梁的基于充气预紧力的弦刚度Kcp和Kwp分别表示为

(24)

式(24)为充气压力作用下的胎侧弦刚度，此外，外力作用下由于结构刚度引起的胎侧变形需考虑在内，包括周向拉伸，弯曲和剪切变形，如图8所示。以点A为参考点，分别对上、下胎侧曲梁的胎侧弯曲刚度进行推导，定义：上胎侧曲梁与胎体的连接点为B点，下胎侧曲梁与轮辋的连接点为C点。

图8中所示的在点B作用有拉伸力Fsw，同时点C同样作用有拉伸力Fsw。将胎侧曲梁的弯曲、拉伸和剪切变形考虑在内，分别对上、下胎侧曲梁基于虚功原理，推导上、下胎侧曲梁的结构刚度解析式。

图8 重载轮胎上/下胎侧曲梁的结构变形示意图

3.1.1 胎体弯曲刚度

基于最小应变能假设，则在外力Fsc和Fsw拉伸作用下产生的上、下胎侧曲梁的弯矩Mscb和Mswb所引起的点B，C的变形uscb和uswb可表示为

(25)

推导出

(26)

3.1.2 胎侧弯曲刚度

基于最小应变能假设，则在外力Fsc和Fsw拉伸作用下产生的上、下胎侧曲梁的端点B和C的变形usct和uswt计算为

(27)

整理得

(28)

3.1.3 胎侧剪切刚度

基于最小应变能假设，则在外力Fsc和Fsw拉伸作用下产生的上、下胎侧曲梁的剪切力引起的胎体-胎侧和胎侧-轮辋端点B和C的变形usch和uswh计算为

(29)

整理得

(30)

在外力Fsc和Fsw拉伸作用下产生的上、下胎侧曲梁的胎体-胎侧和胎侧-轮辋端点B和C的结构变形可分别表示为

(31)

(32)

则，上/下胎侧曲梁的拉伸刚度ksct/kswt、弯曲刚度kscb/kswb和剪切刚度ksch/kswh为

(33)

(34)

则上/下胎侧曲梁的结构刚度Kcs和Kws表示为

(35)

3.2 胎侧解析刚度分析及参数辨识

将上、下胎侧曲梁的弦预紧效应和结构变形刚度考虑在内，则，上、下胎侧曲梁的解析刚度为

(36)

将式(24)和式(35)代入方程式(36)，上/下胎侧曲梁的解析刚度分别为

(37)

式(37)表明：

(3) 上、下胎侧曲梁的结构刚度与充气压力P0无关，与胎侧的结构参数包括拉伸刚度EysAys、剪切刚度GysAys和弯曲刚度EysIys。

(38)

式(38)中存在两个未知量Eys和Gys，利用Liu等研究中辨识获得的上、下胎侧曲梁的解析刚度kr1=6.97×106和kr2=3.33×106，采用待定系数法，求解胎侧曲梁的弹性模量Eys和剪切模量Gys，结果为Es=1.90×107和Gys=7.58×106，基于计算的胎侧结构参数，对上、下胎侧曲梁的各刚度组分进行分析，如表1所示。

结果表明：① 式(38)和表1表明，上、下胎侧曲梁不同的弧度角是导致上、下胎侧曲梁刚度不同的原因，同时上胎侧曲梁的结构刚度百分比小于下胎侧曲梁的结构刚度百分比；② 上、下胎侧曲梁的各项刚度组分中，弯曲刚度远小于拉伸和剪切刚度，因此，可忽略胎侧弯曲刚度对胎侧解析刚度的影响；③ 上、下胎侧曲梁解析刚度均与胎侧结构参数和各自的几何参数相关，可基于式(38)开展重载轮胎胎侧曲梁的解析刚度参数影响分析；④ 考虑胎侧结构阻尼的影响，则上、下胎侧曲梁的阻尼系数为

表1 重载轮胎上/下胎侧曲梁的弦刚度和结构刚度分析

(39)

4 大扁平比胎侧解析刚度参数分析

分别对胎侧上、下曲梁的结构和几何参数对胎侧曲梁刚度的影响规律和轮胎振动模态特征开展研究，包括：胎侧径向弹性模量Eys、剪切模量Gys、截面厚度、曲梁圆弧长和曲梁弧度角，结果如图9～图13所示。结果表明：① 胎侧径向方向弹性模量主要影响胎侧拉伸刚度项，见图9(a)、图9(b)，弹性模量增大，胎侧刚度增大，成近似线性比例增长；② 胎侧径向方向剪切模量主要影响胎侧剪切刚度项，见图10(a)、图10(b)，剪切模量增大，胎侧刚度增大，成近似线性比例增长；③ 胎侧截面厚度主要影响胎侧结构刚度项，见图11(a)、图11(b)，截面厚度越大，胎侧刚度增大，成近似线性比例增长；④ 胎侧曲梁弧长主要影响胎侧结构刚度项，见图12(a)、图12(b)，截面弧长越小，胎侧刚度增大，成非线性反比例关系；⑤ 图13为假定上、下胎侧弧度角总和不变的条件下，上胎侧曲梁弧度角变化时的胎侧刚度变化图，结果表明，弧度角对胎侧的弦刚度和结构刚度均有影响，弧度角减小，胎侧弦刚度和结构刚度均增大，成非线性反比例关系。

(a) 上胎侧曲梁刚度分析

(a) 上胎侧曲梁刚度分析

(a) 上胎侧曲梁刚度分析

(a) 上胎侧曲梁刚度分析

(a) 上胎侧曲梁刚度分析

5 胎侧曲梁参数对振动特性影响分析

分别对胎侧上、下曲梁的结构和几何参数对胎侧曲梁刚度的影响规律和轮胎振动模态特征开展研究，包括：胎侧径向弹性模量Eys、剪切模量Gys、截面厚度、曲梁圆弧长和曲梁弧度角，结果如图14～图18所示。

结果表明：① 胎侧径向方向弹性模量增大，胎侧刚度增大，成近似线性比例增长，见图14；② 胎侧径向方向剪切模量增大，胎侧刚度增大，成近似线性比例增长，见图15；③ 图16为假定上、下胎侧弧度角总和不变的条件下，上胎侧曲梁弧度角变化时的轮胎振动模态变化图，结果表明，弧度角减小，胎侧弦刚度和结构刚度均增大，成非线性反比例关系，进而改变轮胎的振动模态；④ 相同胎侧材料比重的前提下(胎侧帘线与胎侧橡胶的体积比)，胎侧截面厚度越大，胎侧刚度增大，成近似线性比例增长，见图17；⑤ 胎侧曲梁弧长越小，胎侧刚度增大，成非线性反比例关系，见图18。

(a) 振动传递特性

(a) 振动传递特性

(a) 振动传递特性

(a) 振动传递特性

(a) 振动传递特性

6 结 论

本文以重载大扁平比轮胎为研究对象，针对其中低频范围内的胎体与胎侧耦合振动特性，建立了基于连续胎侧弹性基础的柔性胎体轮胎动力学模型，并进行了模态频率和振动特性推导；针对重载轮胎胎侧曲梁的大扁平比的结构特点，考虑弦预紧效应和结构弯曲特性，建立了胎侧分段解析刚度模型；并基于该解析分段胎侧模型，分析了胎侧曲梁几何和结构参数对胎侧分段刚度、轮胎传递特性及模态频率的影响规律。得到以下结论：

(1) 大扁平比胎侧曲梁的径向分段刚度由充气压力引起的弦预紧项，及胎侧曲梁的拉伸、弯曲和剪切相关的结构刚度项组成。

(2) 胎侧曲梁分段刚度与胎侧曲梁的几何、结构和充气压力参数直接相关，因此基于胎侧曲梁分段解析刚度模型可实现对轮胎模态频率及传递特性优化。