“做数学”素材的内涵、特征与开发

范韦莉

［摘 要］小学中的“做数学”是指学生利用各种媒介、工具、材料，通过手脑协同作用的行为理解知识、探究规律、解决问题。学习素材的开发是“做数学”较好地融入课堂教学的基础。文章通过在学习素材的内涵、特征与开发等方面进行研究，帮助教师提升教学质量，发展学生核心素养。

［关键词］做数学；素材；内涵；特征；开发

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）35-0085-03

“做数学”是一种具身认知，其价值已被广泛认可。“做数学”较好融入课堂教学的基础是对“做数学”素材的开发。素材的选择不仅关系到学生数学学习的兴趣、动机及对数学的理解，而且直接影响他们学习潜能的发挥，决定着学习活动能否生动活泼、富有个性。在基于“做数学”进行素材开发时，要重点思考素材开发的价值、目标以及路径，也就是明确“为何开发”“开发时要注意什么”，更要解决“如何开发”的根本问题。

一、“做数学”素材的内涵解读

1.对“做数学”的理解

“做数学”是以陶行知“教学做合一”的教育思想为基础，同时融合了“Hands-on”学习理念、杜威的“从做中学”理念、弗赖登塔尔的再创造思想以及具身认知理论的学习方式。匹兹堡大学在QUASAR研究项目成果中提出，“做数学”是高认知水平层次的任务，它要求学生探索和理解数学观念、过程和关系的本质，在多种表达形式之间建立联系。在小学阶段，“做数学”是指学生利用各种媒介、工具、材料，通过手脑协同作用的行为理解知识、探究规律、解决问题。“做数学”具体包括三个要素。

（1）“做”是关键

学生应在学习任务或问题情境中，调动各种感官参与数学认知活动，通过观察、操作、实验、猜想、计算、推理、归纳及迁移等获得对抽象数学概念和数学原理的直接体验。

（2）“思”是核心

学生在经历“做思共生”的建构活动中，认识“做数学”的价值，产生有质量的对话，经历思维的重组，从而掌握解决问题的一般步骤，掌握基本的数学方法和创新的学习策略。

（3）“创”是目标

经过充分学习，学生能够自主探索未知的数学领域，能运用数学的工具、原理、方法和模型解释现实生活中的问题，能发现新的数学事实或关联，能创造性地解决各种问题。

2.对“做数学”素材的理解

从课程的角度看，“做数学”素材其实就是一种课程资源。数学课程资源是在数学课程设计、实施和评价的过程中各种可利用的显性的素材、隐性的素材、所需要的条件，以及在此过程中生成的各种可加以利用的资源。因此，“做数学”素材既包括实物、学具、计算器等工具，也包括问题、习题、情境等材料。

二、小学“做数学”素材的基本特征

为了使学生对“做数学”产生浓厚的兴趣，教师应首先考虑素材的现实性、趣味性和挑战性；此外，素材還应与学生的生活经验、活动经验紧密相关，且要适合嵌入数学问题情境，方便设置探究路径和空间。具体而言，“做数学”素材应具有以下基本特征。

1.多元化

“做数学”要求学生借助学具（如小棒、七巧板、纸片等）或调动身体（实验、实践），以动脑、动手、动口的方式解决问题，从而完成从数学操作向数学思维建构的升华过程。为丰富建构过程，教师应为学生提供多元的学习素材，如小棒、七巧板、纸片等实物素材，习题、问题等文本素材，既可以是常规素材，也可以是非常规素材，既可以是实物等操作类素材，也可以是题组、问题等思辨类素材。

例如，围绕“长方体和正方体”内容，笔者开发了“表面涂色的立方体”活动，提供给学生的素材是问题“一个大长方体，表面涂色后切开成若干块相同的小正方体，其中三面涂色的小正方体有6块，这样的长方体长什么样？”。

在此之前的学习中，学生接触到的此类切立方体问题中，三面涂色的小正方体都在大长方体的顶点处，大长方体有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8个。然而，上述提供的素材中三面涂色的小正方体却只有6个，这与学生已有认知发生了冲突。这种冲突会引发学生的思考，当原有的经验无法解决问题时，学生会借助小正方体这一直观的几何模型，通过动手操作、空间想象等方式来摆脱思维定式，将解决问题的过程具体、形象地表达出来。

2.开放性

提供给学生的“做数学”素材应区别于标准化习题，要具有更强的开放性，是学生实践的直接经验和书本的间接经验整合的结果。学生在面对这类素材时，可能会有些担心，因为素材本身没有提供明显的解决问题的途径，也没有可以直接得到答案的用于解决整个问题的步骤。因此，学生需要运用已有的知识进行深入探究。这种学习过程曲折且结果具有多样性的素材能够激发学生的探究欲望，为学生数学学习提供有力的支撑。

例如，围绕“用列举的方法解决问题”内容，笔者开发了开放性问题“怎样围面积最大”，设计了层层递进的素材链：①王叔叔用12个1米长的栅栏在空地上围一个长方形花圃，怎样围面积最大？②王叔叔用12个1米长的栅栏围一个一面靠墙的长方形花圃，怎样围面积最大？③如果花圃两面靠墙呢？学生要想成功解决这些问题，必须在不断变化的任务情境中推理验证，最终得出一般化的结论。

3.思考力

在“做数学”的过程中，学生应探索和理解数学观念、过程和关系的本质，以深入知识内核进行深度学习，其重点在于学生应具备独立或者在适当的指导下找到内隐的数学结构的能力。换言之，“做数学”素材，应彰显数学本质、内蕴思考力，促进学生积极思考。因此，教师要加工好适合学生开展“做数学”的学习素材，这既能帮助学生获得对知识的深刻认识，掌握处理新材料、新问题、新情境的方法，又能让学生感受到自我知识的局限性，随着一波三折具有反转活动的径深，进入良性的学习循环。

例如，围绕“10以内数的分与合”内容，笔者开发了“玩转三角数图”活动，将三角数图作为素材，让学生思考“如何把圆片合理地摆在三角数图中？”，并设计了任务串：①规则是什么；②动手摆一摆；③说说你的秘诀。当学生能熟练地在三角数图中摆放圆片后（三角数图及摆放如图1-1），教师提供了如图1-2所示的素材，让学生思考“为什么刚才发现的规律不适用了？”，随着学习的深入，学生逐渐能够探寻到规则的缺陷，并意识到这与素材本身提供的3个数的奇偶性有关，为培养其理性精神奠定了基础。

三、小学“做数学”素材的开发路径

“做数学”素材的开发是通过将素材所承载的数学知识、数学方法、数学意识和数学情感等元素进行整合，把现成的数学学习资源转化为动态的、适合学生建构数学知识体系的学习内容。

1.对教材“动手做”栏目的再组织

（1）栏目分析

“动手做”栏目是苏教版小学数学教材中的特色内容，通常出现在单元结束后，是与单元内容配套的，全套小学数学教材共安排了37个“动手做”栏目，包含数据收集、方案设计、定期观察、动手制作、实验操作、数学游戏等。“动手做”栏目中的活动，具有较强的操作性和实践性，有助于学生在观察、操作、实验的过程中感受数学学习的乐趣，增强实践意识和动手能力；具有较强的探索性和启发性，有助于学生在“做数学”的过程中发现和提出问题，感悟数学的丰富内涵。

然而，有时这个栏目的教学仅止于学生文本阅读层面，虽然学生对这部分内容很感兴趣，但缺乏教师的有效指导和学生之间的互动交流。因此，在研读教材的过程中，教师应联系单元整体内容以领会教材编写意图，对教学内容进行合理组织、适度拓展。

（2）栏目使用

深挖素材内涵。教材就像一根杠杆，教师对待教材的态度以及研读开发教材的能力就是杠杆的支点，“支点”离学生越近，教师在教学活动中付出的价值就越高。因此，教师要理解教材的深层意义，充分挖掘教材的数学内涵，从而更好地引导学生掌握知识、发展能力。

适度改造素材。根据学生情况和教学需求，教师需要对教材所提供的素材进行有选择、有目的地取舍、开发和利用。具体地说，就是从整合、拓展和结构化的视角对素材进行重组和补充，对知识脉络进行联结和延伸，对学习内容进行梳理和重构。

创新素材使用。教师要对素材实施动态层面的创新加工，以引导学生通过“做数学”的方式参与到数学活动中，使素材本身成为展现数学知识形成过程并促进学生探究的媒介。这样，可以拉长学生的探究过程，让学生更易掌握知识。

例如，苏教版教材四年级下册有一则“动手做”，把一幅图平均分成4份后打乱，要求学生经过若干次平移和旋转，把图案恢复成原本的样子。

以此素材为基础，教师可以选择冬奥会吉祥物为素材，开发“冰墩墩还原记”一课。教师引导学生回顾平移和旋转的要素之后，设计闯关活动。第一关：将打乱的冰墩墩图片还原。引导学生比较不同的还原方法，让学生初步學会用数学语言记录还原的步骤。第二关：将一分为二的冰墩墩图片还原。教师鼓励学生寻找最少的还原步骤以及思考这样做的道理。第三关：独立还原一分为四的图片，先想象、再验证，记录操作的步骤。完成以上三个活动，学生不仅需要不断尝试与调整、比较与优化，还需要想象与推理。

2.由例到类对习题深度挖掘

深入思考是“做数学”的关键属性，它将“做数学”与浅显的实践操作相区分，这就带来了开发素材的另一视角，即教师可以聚焦某个习题进行深入探讨，科学、合理、有序地组织学生开展探究活动。具体来说，教师可以运用情境背后的线索，改变习题的条件或结论，以“做数学”为载体将其转化为开放性的探究素材，引导学生形成“继续思考下去”的数学思维方式，促进学生对知识之间关联性理解。通过联想、类比、推广、演变，学生可以在数学学科的学习中建立独特的发现问题方式和思考路径。

例如，认识完“千以内的数”，学生遇到一道思考题：“在计数器上表示212要用5颗算珠，那么用5颗算珠还可以表示哪些三位数？”为了引导学生探讨用若干颗算珠在计数器上表示三位数的问题，笔者以“用若干颗算珠在计数器上表示三位数，有多少种方法”为问题引领，开发了“神奇的组数问题”一课。

简单探索后，有学生提出了“算珠越多，算珠能表示的三位数的个数越多”，马上有学生反驳“用27颗算珠时，只有1种方法，即每个数位上都有9颗算珠，只能表示999”，这一观点引发了热烈讨论，在新的探究中，有的学生验证了用25颗算珠、26颗算珠的情况，觉察“随着用的算珠变多，组成的三位数的个数可能先变多再多少”，并猜想1～27的中间数14是一个反转数。为了确认这一想法，学生合作列举出所有的数据。仔细观察这些数据，学生发现，用1～14颗算珠表示时，算珠越多，算珠能表示的三位数的个数越多，从14颗算珠开始，算珠越多，算珠能表示的三位数的个数越少。

由教材问题延伸的“做数学”，过程为“自主感悟—萌生猜想—分析验证—修正猜想—成功体验”。在这个过程中，学生积极猜想，意识到验证猜想的重要性，并在验证中完善与修正猜想。

总的来说，开发“做数学”素材必须以基础性课程的目标和要求为基础，其目标是发展学生的核心素养，其课程内容是对基础性课程的延伸、补充、拓展和整合。要有效开发“做数学”素材，还需广大教师继续探索和创新。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教学数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 斯登（Stern，M.K.）.实施初中数学课程标准的教学案例［M］.李忠如，译.上海：上海教育出版社，2001.

[3] 章建跃.“做数学”的育人价值探讨[J].教育研究与评论，2021（3）：27-29.