GeoGebra软件在高中数学教学中的应用探究

雷青兰

【摘要】随着我国社会生产力与科技的不断发展，教育领域也发生了很大变化.改变传统的教学方法和观念，运用现代化的教学技术手段，成为满足教育改革要求和提高课堂教学效果的关键.GeoGebra软件是现代化教学工具，具有操作简单方便、交互性强、学习效率高以及应用范围广等特点，将其运用到高中数学教学中，可将抽象的数学图形直观地展示给学生，帮助学生形象地理解和学习抽象的数学知识，在提升数学课堂教学效果和教学质量等方面具有积极的作用.文章介绍了GeoGebra软件的概念，并深入分析了GeoGebra软件在高中数学中的运用，希望能帮助教师合理掌握GeoGebra软件在高中数学教学中的运用.

【关键词】GeoGebra软件；高中数学；教学应用

【基金项目】本文系2022年湖南省郴州市教育科学“十四五”规划一般课题“GeoGebra软件在高中数学教学中的应用探究”（课题批准号：CJKG2022B028）的阶段性成果.

引 言

随着科学技术的不断进步与社会经济的飞速发展，人们对现代信息传递手段有了新的要求，这也给信息化教学带来了新的发展契机.为满足教育改革的要求，教师需要对传统的教学方法进行创新，实现现代信息化技术与课堂教学的有效融合.而将以GeoGebra软件为代表的现代化教学工具应用到高中数学教学中，能直观地展示抽象的数学知识，提升学生数学学习的兴趣，有效提升学生的数学学习能力.

一、GeoGebra软件简介

GeoGebra是一款结合几何、代数和微积分的动态数学教学软件，其作为动态的几何软件，可以作点，画向量、直线、线段、函数等，还能根据输入的数值对图形进行相应的调整，让学生直观观察抽象图形的动态变化.GeoGebra软件不仅能够提供大量的计算工具，还能进行各种几何变换，如旋转体、旋转角度及平移角等，从而帮助学生多角度认识事物的本质.GeoGebra由几何工作窗口、代数工作窗口和工作表窗口组成.在GeoGebra代数命令窗口输入表达式，按下回车键，代数区内会出现代数表达式，还会有对应的图形出现，实现了数与形的统一，能够让学生用代数方法学习几何.总之，GeoGebra软件具有辅助求解代数、几何问题等功能.教师应用GeoGebra软件开发高中数学实验课件，能发展学生的数学直观意识，简化学生的学习思维方式，帮助学生深入理解深奥的数学问题.

二、GeoGebra软件在高中数学教学中的应用分析

（一）创建直观形象

教师可借助GeoGebra软件为学生创设问题情境、想象情境与实验情境等，让学生在实际教学情境中直观地观察需要学习的知识，也会激发学生的好奇心和求知欲，使学生产生自主探究的意识，由此促进学生对数与形转化规律的掌握.

就高中数学教学而言，最重要的就是让学生通过数形结合理解数学知识，借此对数学知识有一个更深刻的认识.例如，对立体几何，教师在制作课件时可先在GeoGebra软件上使用3D绘图功能画图，再配合GeoGebra里的动态功能制作实验教学课件，借此更直观、更形象地展示数学知识，让学生直观感知图形的性质，使学生在头脑中产生有效的视觉意识，最终提升学生的直观想象能力，帮助学生借助几何图形探索数学问题，促使学生形成几何直观意识，这样既能填补实物模型的空白，还能完成抽象几何向直观图形的转换.以“立体图形的直观图”的教学为例，其教学重点是让学生绘制空间几何体直观图，为学生学好立体几何打下基础.因此，教师在教学中如何帮助学生正确地画出各种形式的空间图形就显得十分重要.课程主要介绍了斜二测画法，它具有形象直观、容易记忆和运用等特点，所以在实际教学中被广泛应用.因此，在本课中教师首先要帮助学生掌握斜二测画法.教材中给出了长方体、圆柱以及圆柱与圆锥组合体的直观图绘制方法.由于这些图形中各部分形状不同，因此它们都有相应的直视图或斜视图.在教学中，教师可运用GeoGebra软件可动态绘制图形的优势进行适当的延伸，让学生探讨圆锥、圆台、球的直观图画法，进而使学生掌握绘制空间几何体直观图的方法，认识空间几何体直观图，从直观层面学习基本的立体图形知识，加深学生对多面体、旋转体、组合体等多种图形的理解，让学生深刻了解平面与空间几何之间的关系，更好地掌握立体几何的概念以及规律.

借助图形这一工具实现数形之间的相互转化是一种行之有效的教学方法.教师可利用几何画板等辅助设备进一步增强直观教学手段的实用性和有效性.例如，教师可使用GeoGebra软件画圓柱体，让学生从不同的角度观察圆柱体，或者将三维立体图像展示给学生，进一步加深他们对物体形状和大小等方面的认识与理解.学生可利用GeoGebra软件的几何功能区绘制圆柱体，然后按照提示在坐标系中对圆柱体上下底面的圆心进行处理，选择下底面圆心，输入底面半径，再点击确认，右边绘图区将自动产生一个圆柱.学生还可借助几何图形辅助运算操作，如要将二维图形转换成三维空间物体模型，则需要根据三维建模方法建立三维坐标系，之后才能创建出具有立体感的物体模型，使学生在动手模拟绘图的过程中更加直观地认识相应图形，并且在数与形不断转化与关联的过程当中对数学知识形成更加明确、直观的理解.

（二）构建知识模型

教师在对不同知识点进行讲解时运用GeoGebra软件，可使学生灵活运用已获得的经验与知识深化对数学知识的把握与理解，建立旧知识和新知识之间的关联，从而有效运用数学方法解决实际问题.

就高中数学教学而言，教师可通过数形结合让学生理解数学知识，用数形结合实现代数问题与几何问题的相互转化，使几何问题代数化，借此让学生对数学问题有一个更深刻的认识，并借助几何直观发展学生的抽象思维能力，帮助学生学会利用图形进行解题分析与求解，将抽象问题具体化，复杂问题简单化，激发学生的学习兴趣与探索欲.教师也可以借助GeoGebra软件进行教学，准备数形结合的数学实验课件，由此直观展现数与形的本质联系，让学生借助建构几何图形探索数学问题，使学生形成几何直观意识.另外，教师借助几何图形进行辅助运算操作，也有利于促进学生对数与形之间相互转化规律的掌握.教师可采用构造图形的方法帮助学生理解代数问题的解决思路，让学生掌握数与形的联系和转化方法，使学生更加容易找到数学问题的解决方法.教师借助这一方式还能够促使学生将抽象的数学知识具体化，从而便于理解和掌握.这种直观的教学手段对学生数形转换能力的构建起到了很好的促进作用，还能激发学生对数学知识的学习兴趣.以“函数的概念和性质”的教学为例，在教学过程中，教师可以利用GeoGebra软件制作课件，以此更直观地显示对应图形和函数式之间的联系，从而让学生在观看课件后学会探讨其内在关系，增强数学转换的意识.在此基础上，教师可将抽象的数学知识转化成具体形象的图像信息，帮助学生更好地理解相关内容.通过这一教学模式，学生既能深刻体会数形结合的含义，又能学会运用图形求解数学问题.

（三）师生共同参与

传统的数学课堂一般都是教師先向学生传授深奥的理论知识，然后布置作业，让学生加深对知识的理解，但是这种教学方法不但不能强化学生的知识学习效果，还会让学生丧失学习的热情.因此，要想提高课堂效率，教师就必须改变传统教学方式，引入更多先进的教育理念和教学方法.教师可应用GeoGebra软件进行演示教学，再依据教学问题或引申问题，让学生亲自动手进行探索.具体的操作如下.第一，教师在学生动手操作的过程中在一旁观摩，在学生遇到问题时予以帮助和指导，让其学会独立动手和自主思考，以此达到GeoGebra软件在高中数学课堂中的运用实效.在实际教学当中，教师不仅应该帮助学生解决疑难问题，还要对学生提出有效的意见和建议，如此才能更好地提升教学质量.第二，教师作为教学活动的组织者，应该发挥主导作用，保证课堂教学活动的有序开展，在教学中掌握节奏，恰当地对课堂中出现的问题加以指导，指出学生在学习上存在的问题，切实发挥教师组织者、策划者的应有作用.第三，教师应充分结合教材内容以及学生学情设计出符合教学要求的问题，让学生把学习中遇到的深奥、不易掌握的知识点记录下来反馈给教师，教师及时给予指导，帮助学生解决疑难问题.

使用GeoGebra软件授课时，教师可在教学中精心设计互动与提问环节，并引导学生上台动手操作，让学生自主探索知识.在这一基础上，教师可以将数学知识与现实生活相结合，借助这一手段培养学生的创新思维能力，从而达到优化教学效果的目的.另外，在教学过程中，教师应结合具体教学内容设置不同类型的问题，鼓励学生积极提出问题与解决方法，从而有效培养学生分析问题和解决问题的能力.在向学生传授重难点知识的过程中，教师可使用GeoGebra软件，采用分组的方式，指导学生开展组内讨论，以此培养学生的合作探究精神.如开展“简单几何体的表面积与体积”的教学，本节主要内容是计算柱体、锥体、台体的表面积与体积，学生初次计算时会因图形太抽象感到无所适从，为此教师可以运用GeoGebra软件绘制柱体、锥体、台体，并向学生展示几何图形的展开图，让学生弄清组合体的组成形式，这样学生就能掌握多面体表面积计算就是求各个面的面积和，圆柱体、圆锥体、圆台体的侧面是曲面，侧面积计算需要将曲面展开，表面积就是侧面积与底面圆的面积的和.之后，教师可根据图形的组成形式，让学生学会利用“拼接面”“切割”“补形”的方法求几何体的表面积和体积.为了进一步探究柱体、锥体、台体的表面积与体积的区别与联系，教师可先将学生分为小组，然后用GeoGebra软件指导学生组内讨论，以此提升学生学习的积极性.之后，教师可根据教学内容选择不同类型的教具展示相关几何体，或者指导学生使用GeoGebra软件绘制相关几何体，通过亲自动手或者组内互动探索这部分数学知识，从而发挥学生在学习中的主观能动性.

（四）学生自主探究

课前预习是提高高中数学课堂教学效率和效果的重要环节之一，也是培养学生学习兴趣以及探索精神的重要途径.对学生不易掌握的内容，教师可将其与其他学科相结合，这样能够激发学生的求知欲和探索欲，提高教学质量.教师可先用GeoGebra软件向学生进行演示教学，然后根据引申问题让学生进行动手操作，切实培养学生的直观观察能力、抽象概括能力、联想能力与读图能力.同时，教师可借助此软件帮助学生分析数学习题，并归纳总结出相应的解题规律与方法，或者借助软件对部分数学知识进行辅助解释，从而使学生借助这一工具加深对所学知识内容的理解与掌握.另外，在这个过程当中，教师可借助教学课件，让学生利用GeoGebra软件观察数学图形，概括数学知识.

以“三角函数”教学为例，学生在初中阶段就学习过锐角三角函数知识，所以对本节课内容学习具备一定的基础.学生面临的一个新的学习问题是：角这一概念扩展后，原来熟知的锐角三角函数能否同样扩展为任意角？这一问题可使学生体验新知识产生的可能性和自然性.教师借助GeoGebra软件导入新课能使这个问题的解决变得更轻松.教师可在GeoGebra软件的辅助下利用几何画板进行动画演示，让学生系统地理解该部分内容，同时让学生借助该软件探究不同角度下正弦和正弦波之间存在着怎样的变化规律，加深学生对该部分内容的认识.然后，教师可让学生求解任意角的三角函数值，学生可以直观观察到只要找到角的终边，使得终边端点与原点之间有1个单位距离，便可求出这个角的三角函数值.然后，教师可引导学生学习弧度的定义：长等于半径长的圆弧所对应的圆心角为1弧度，单位缩写是rad.在此基础上，教师可提出计算圆周长及面积的两种方法.此外，教师可借助GeoGebra软件的动态演示，帮助学生认识π和180°，2π和360°之间的关系.运用GeoGebra软件编制数学实验课件既能有效指导学生学习，又能有效地促进学生观察能力的发展.

结 语

总之，GeoGebra软件在高中数学教学中的运用能帮助学生形成更加形象、直观的数学认识，更好地理解和掌握数学知识.同时，教师通过该软件可以更好地促进教学活动的开展，学生会因GeoGebra软件带来的数学美感而提升学习数学的兴趣.所以，高中数学教学应该从教学和学生实际出发，将GeoGebra软件合理穿插到数学教学中，培养学生的自主探究能力，提升高中数学教学的成效.

【参考文献】

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