深度学习视角下的高中数学课堂教学设计——以“直线与平面垂直”为例

文| 张香莉

【教学内容】

人教版数学高一必修第二册（A 版）8.6.2 直线与平面垂直

【理论依据】

以深度学习为理论基础。深度学习强调通过激发学生的内在动机、培养学生的元认知能力、促进学生的深层加工和深层理解、建立学生的知识网络和思维模式、发展学生的创造力和批判性思维等途径，实现对知识、技能、态度、价值观等方面的深入和全面的学习。高中数学是一门重要的基础性和应用性学科，既有严密的逻辑性和抽象性，又有广泛的实际性和启发性。高中数学课堂教学应该遵循深度学习的原则，采用信息技术融合手段，引导学生主动探究、积极参与、合作交流、反思评价。

【教学目标】

1.通过观察探究直线与平面垂直的概念，知道点到平面距离的概念。

2.通过实验探究能准确应用直线与平面垂直的判定定理。

3.遵循“直观感知—探究确认—思辨论证—应用提升”的认识过程，在认识直线与平面垂直的概念、直线与平面垂直的判定定理的过程中，体会立体几何中研究问题的基本思路，培养数学抽象、逻辑推理等素养。

【教学重点】

发现、归纳并确认直线与平面垂直的定义和判定定理，认识斜线在平面内的射影，斜线与平面所成的角等相关概念，并能准确应用。

【教学难点】

运用点到平面的距离和直线与平面所成角的概念和方法，能自主进行探究活动并建模计算，解决实际问题。

【教学过程】

一、问题引入

活动一：你知道吗？——课件展示生活中的垂直现象，激发学生思考

教师课前准备一些生活中常见的垂直现象的图片或视频展示给学生，如旗杆与地面垂直、电线杆与地面垂直、书架与墙壁垂直等。请学生观察并提出以下问题：

1.你能说出图片或视频中有哪些物体之间是垂直关系吗？

2.以上示例中哪些垂直关系可抽象为直线与平面垂直呢？

3.你知道什么叫作直线与平面垂直吗？

教师：通过观察生活中的垂直现象，我们直观了解了垂直、直线与平面垂直的概念。生活中直线与平面垂直的关系还有很多，那么，大家想不想知道更多关于直线与平面垂直的知识和应用呢？

二、探究活动

活动二：你能发现吗？——观察实验，发现直线与平面垂直的判定定理

教师在讲桌上展示出立体几何模型，如正方体、长方体、三棱柱、三棱锥，同时教师在大屏幕上播放两个动画，如沿一条直角边固定在轴上慢慢旋转成圆锥的直角三角板、书脊线竖直固定在桌面上慢慢翻页的一本书等。请学生观察并提出以下问题：

2.你能说出直线与平面垂直时，直线与平面内的直线分别有哪些位置关系呢？

3.你能判断吗？

①直线与平面内的一条直线垂直，能说明直线与平面垂直吗？（不能）

②直线与平面内的无数条直线分别垂直，直线与平面垂直吗？（不能）

③直线与平面内的两条相交直线分别垂直，直线与平面垂直吗？（能）

4.在桌面上（或者在桌面外）取一点O，过点O 作直线与桌面垂直，这样的直线能作几条？在直线上取一点B，过B 画一个平面与直线垂直，这样的平面又能作出几个？（有且唯一）

5.你能归纳出直线与平面垂直的定义和判断方法吗？

师总结：通过反复的实验和推理，我们发现了一条直线与一个平面垂直的性质和判断方法，这就是我们今天学习的定义和判定定理。

4)铡切秸秆时，秸秆中存在有砂石等硬质颗粒，使刀片工作环境非常恶劣，磨损状况更为复杂。刀片与秸秆之间的磨损规律受刀片与硬质颗粒之间磨损情况的影响很大，刀片崩刃现象都比较严重。

直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l⊥α。画图时一般画成直线l 与表示α 的横边垂直。

【注意】定义要点：

①直线与平面的垂直是相互的，直线l 叫作平面α 的垂线，平面α 叫作直线l 的垂面，它们唯一的交点P，叫作垂足。②过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个。③过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条。

直线与平面垂直的判定定理1：如果一条直线与平面内的任意（所有）直线都垂直，那么它就与这个平面垂直。

直线与平面垂直的判定定理2：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么它就与这个平面垂直。

【追问】请同学们思考：为什么平面内的“两条相交直线”，可以代替平面内的“任意一条（所有）直线”，而“两条平行直线”却不能？

师总结：从前边的动画中可以得出：任意改变两条相交直线的角度大小，两条相交线首先可以代表经过交点的任意直线，再根据异面直线所成的角定义可知，平移不改变角度，从而可以代表平面内的所有直线；而两条平行线通过平移后可以重合为同一条直线，不能代表平面内的任意直线。同学们也可以从平面向量的角度做出解释：两条相交线上可以构造两条不共线向量，作为平面的基底，表示平面内的任意（所有）向量，而两条平行线上的向量只能是共线向量。

活动三：你能探究吗？——构造变换，发现直线与平面垂直的性质定理

教师课前准备一些三角板、尺子、圆规等工具展示给学生。教师邀请学生利用这些工具，在纸上画出一个平面α 和它的一条垂线l，垂足为P，并提出以下问题：

1.你能在平面α 内任意画出一条过垂足P 的直线m 吗？能用三角板或圆规测量一下垂线l 和m 所成的角度吗？（可以）

2.你能说出垂线l 和m 所成的角度是多少吗？（90°）

3.你能在平面α 内再画出另一条经过垂足P 的不同于m 的直线n 吗？能用三角板或圆规测量一下垂线l 和n 所成的角度吗？（可以）

4.你能说出垂线l 和n 所成的角度是多少吗？（90°）

5.你能在平面α 内再画出一条不经过垂足P 的直线q 吗？并在平面α 内过垂足P 作出直线q 的平行线q′吗？（可以）

6.垂线l 与直线q 是否垂直？（垂直）

7.你能根据以上结果，归纳出当一条直线与一个平面垂直时，它与平面内的直线都有什么共同特征吗？（它们都与垂线l 垂直）

师总结：通过变换和测量，事实说明，直线与平面垂直的定义也可作为直线与平面垂直的性质。

直线与平面垂直的性质定理1：如果一条直线与平面垂直，那么它与这个平面内的任意（所有）直线都垂直。

三、实践应用

活动四：你能创新吗？——建模计算，掌握点到平面的距离和斜线与平面所成角的概念和方法

课前教师准备与点到平面的距离和直线与平面所成角相关的实际问题，如计算飞机从机场起飞到达一定高度的时间、计算太阳光线与地面的夹角等，课堂展示。并提出以下问题：

1.你能用数学语言描述这个问题吗？（如设飞机从机场起飞时的速度为v，飞机与地面所成的角度为α，飞机到达高度为h 时所需的时间为t，求t 的表达式）

2.你能用数学符号表示这个问题中涉及的点、线、面吗？（如设地面为平面α，飞机起飞时的位置为点A，飞机到达高度h 时的位置为点B，飞机的运动轨迹为直线l，求t 的表达式）

3.你能用图形表示这个问题吗？（如在纸上画出平面α，点A，点B，直线l，并标出相关数据）

4.你能用已学知识建立这个问题的数学模型吗？（如利用直线与平面垂直的性质定理2，得到l 与α 所成的角等于l 与α 内任意一条经过A 的直线m 所成的角，利用三角函数知识，以及匀速直线运动知识，得到AB=vt；联系以上三个式子，得到t=h/〈vsinα〉）

活动五：你能解决吗？——运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理证明和解决空间几何问题

教师在课前准备一些与直线与平面垂直相关的空间几何问题，如证明正方体棱与底面对角线、面垂直，对角线与对角平面垂直、对角线与底面所成角问题等，展示给学生。邀请学生选择一个问题，并提出以下问题：

1.你能分析这个问题涉及哪些已知条件和未知量吗？（如设正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为a，底面对角线AC 和BD 相交于点O，已知条件是正方体边长为a，未知量是底面对角线BD 与对角面AA1C1C是否垂直）

2.你能用已学知识构造证明或解决这个问题的思路吗？（如利用正方体性质，AA1⊥ABCD，利用性质定理1，证明AA1⊥BD；又AC⊥BD，利用判定定理2，证明BD 与对角面AA1C1C 垂直）

3.你能用已构造的思路写出完整的证明或解答过程吗？（按照思路，用数学语言和符号写出证明或解答过程，并给出结论）

教师总结：通过证明和解答，我们运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理，解决了一些简单的空间几何问题。

【课堂小结】

本课我们学习了直线与平面垂直的定义，掌握了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能够运用到证明和解决空间几何问题中。还学习了点到平面的距离和斜线与平面所成角的定义及其计算方法，并能够运用到解决实际问题中。

【作业布置】

课后复习本课的知识要点，巩固对直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的理解和运用；课后完成教材本节练习题，检测对点到平面的距离和直线与平面所成角的概念和方法的掌握。

【教学反思】

优点：本课以深度学习为理论基础，以问题为导向，以实验探究为主要方式，以实践为支撑，以评价为反馈，构建了高中数学课堂教学设计，使学生在有意义的情境中，深入理解直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能够灵活运用到空间几何问题中，同时培养了他们空间想象能力、实验探究能力、逻辑推理能力、数学抽象能力以及创新应用能力等数学核心素养。

不足之处：本课知识颇多，信息量大，问题和实验过程又比较抽象，对于初学者来说需要时间去探究发现和理解，所用时间较长，所以教师上课时不能抢时间赶进度，需要提前布置任务，让学生有充足的时间做好预习和准备，才能达到更好的学习效果。